～が張る部分ベクトル空間 ：トピック一覧　

定義：～を含む最小の部分ベクトル空間 、～が張る部分空間、両者の一致
※部分ベクトル空間関連ページ：部分ベクトル空間の定義、部分ベクトル空間の性質、和･直和、、部分空間の次元　　　
※実ベクトル空間関連ページ：実ベクトル空間の定義、一次結合、線形従属･線形独立、基底と次元、　
　
→線形代数目次　
→総目次　
 　

定義：～を含む最小の部分ベクトル空間　

[ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間:定理2(p.37);永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.32);]

【舞台設定】
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　
S：実ベクトル空間Vの部分集合。Vに属すベクトルの集合。（Vの部分ベクトル空間でなくてよい。）　　

【本題】
Sを含む最小の「Vの部分ベクトル空間」とは、
　任意の「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」に含まれる「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」のこと。
つまり、
「W0が、Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』である」とは、
　W0が、以下の3条件を満たすこと。
　条件1.W0⊃Sであること。
　条件2.W0が『Vの部分ベクトル空間』であること。(→その必要十分条件)　　
　条件3.任意のWに対して、
　　　　　Wが『Vの部分ベクトル空間』(→その必要十分条件)　かつ　W⊃S ⇒ W⊃W0　
　　　　が成立すること。　
　　　　すなわち、「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦで表すと、
　　　　　　　　　（∀W∈Ц）（W0⊂W）　　　
（噛み砕いた説明）
Step1. 「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」として、いろいろなものが考えられるが、そのすべてを考えるとしよう。これら、様々な「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」を、W1,W2,W3,W4,…と名づけることにする。
　　　　　　　　　　　　つまり、WiはVの部分ベクトル空間であって、S⊂Wi　　
Step2.　「W0が、Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』である」とは、
　　　　　・W0が「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」であって、
　　　　　　　　　　　　つまり、W0はVの部分ベクトル空間であって、
　　　　　　　　　　　　　　　　S⊂W0　　
　　　　　・W0⊂W1 , W0⊂W2 , W0⊂W3 , W0⊂W4 ,…　を満たす
　　　　　ことをいう。　　　
※例：Sから生成された部分ベクトル空間　　
※これはSが張る部分空間と一致する（→理由）
Cf. ～を含む最小のσ加法族　


→トピック一覧：～が張る部分ベクトル空間
→線形代数目次・総目次

定義：～が張る部分空間、～によって張られる部分空間　　

[砂田『行列と行列式』§5.2(p.162)；2ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間(p.37);松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133);　]]
【舞台設定】
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
S：Vの部分集合。つまり、Vに属すベクトルの集合。（Vの部分ベクトル空間である必要はない。また、無限個のベクトルがSに属していてもよい。）　

【本題】
実ベクトル空間Vに属すベクトルの集合Sが張る部分空間とは、あらゆる「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」の共通部分。
記号《S》で表す
つまり、「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおくと、
　《S》≡∩Ц　　
※これは、Sから生成された部分ベクトル空間〈S〉に一致する。　
※これは、Sを含む最小の部分ベクトル空間に一致する。（→理由）

定義：有限個のベクトルが張る部分空間、有限個のベクトルに張られた部分空間　　

[ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間(p.37);]
【舞台設定】
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
v1, v2, …, vl：V上のベクトル。つまり、v1, v2, …, vl ∈V 　　

【本題】
v1, v2, …, vlが張る部分空間とは、
あらゆる「v1, v2, …, vlを含む『Vの部分ベクトル空間』」の共通部分。
※これは、v1, v2, …, vlのあらゆる一次結合の集合に一致→定理　　 

→トピック一覧：～が張る部分ベクトル空間
→線形代数目次・総目次

定理：「～を含む最小の部分ベクトル空間」と、「～が張る部分ベクトル空間」は一致する。

[砂田『行列と行列式』§5.2補題5.23の議論の骨格から(p.163)；]
【舞台設定】
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　
S：Vの部分集合。Vに属すベクトルの集合。（Vの部分ベクトル空間でなくてよい。）　　
Ц：「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系
W0：Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』　
《S》：Sが張る『Vの部分ベクトル空間』　

【本題】
「Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」W0と、「Sが張る『Vの部分ベクトル空間』」《S》は一致する。
(証明)
W0⊃《S》かつ《S》⊃W0を示せばよい。
Step1:　
・「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。
・「Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」W0は、「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」である。
　　　　　　　　　∵「Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」の定義　
　したがって、W0∈Ц　　　　　　　…(1-1)　
・《S》の定義より、《S》＝∩Ц　　　…(1-2)　
・集合系の積集合の性質より、任意のW∈Цにたいして、W⊃∩Ц　…(1-3)　　
・(1-3)に(1-2)を代入すると、　　
　　　任意のW∈Цにたいして、W⊃《S》　…(1-4)　
　となる。　
・(1-1)と(1-4)より、W0⊃《S》　
以上によって、W0⊃《S》は示された。　　　
Step2:　
・「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。
・「Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」W0は、
　　　　　（ ∀W∈Ц ）（ W⊃W0 ）　　　…(2-1)　
　を満たす。　∵「Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」の定義　
　したがって、集合系の積集合の性質より、(2-1)のもとで、
　　　　　∩Ц⊃W0　　　…(2-2)　
　が成立する。
　《S》＝∩Ц　（∵《S》の定義）　を用いて、(2-2)を書きかえると、
　《S》⊃W0　
以上によって、《S》⊃W0　は示された。　　　　


→トピック一覧：～が張る部分ベクトル空間
→線形代数目次・総目次

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。