部分ベクトル空間の集合算：トピック一覧　　～　　数学についてのwebノート

　　・定理：部分ベクトル空間の共通部分、部分ベクトル空間の合併　

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※Rnの部分ベクトル空間：定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/～に張られた部分ベクトル空間/和･直和分解･補空間/部分空間の基底/部分空間の次元　　　
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定理：部分ベクトル空間の共通部分も部分ベクトル空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1：Rnの部分ベクトル空間　　
W2：Rnの部分ベクトル空間

[文献：実n次元数ベクトル空間について]
佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.96)
[文献:ベクトル空間一般について]
ホフマン『線形代数学I』2.2定理2(p.37):証明付;
斎藤『線形代数入門』4.1(p.108):
永田『理系のための線形代数の基礎』1.5問1(p.32):証明なし;
砂田『行列と行列式』§5.2(p.162):証明なし;

本題1

「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 の共通部分W1∩W2 も、
　「Rnの部分ベクトル空間」となる。　　

本題2

「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 , … ,Wkの共通部分
　　　W1∩W2∩…∩Wk
も、「Rnの部分ベクトル空間」となる。　

※

活用例：～が張る部分空間　

証明
↓　
本題1

仮定1：W1は「Rnの部分ベクトル空間」　　
仮定2：W2は「Rnの部分ベクトル空間」　　　
この仮定のもとで、W1∩W2 は、「Rnの部分ベクトル空間」となるための必要十分条件を満たすことを示す。
1. W1∩W2 は、『Ｒnの空でない部分集合』である。　
　仮定1,2より、
　W1もW2も「Rnの部分ベクトル空間」の定義：条件I-2-2を満たし、
　W1にもW2にも零ベクトル０=( ０,０,…,０ )が属す。　
　　　つまり、０=(０,０,…,０)∈W1かつ０=(０,０,…,０)∈W2　
　したがって、W1∩W2 には、零ベクトル０=( ０,０,…,０ )が属す。　
　　　つまり、０=(０,０,…,０)∈(W1∩W2 )　
　よって、 W1∩W2 は、Ｒnの空でない部分集合。　
2.W1∩W2 は、『Ｒnに定められているベクトルの加法』について閉じている。　　　　
　・W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルu,vは、　　　
　　　∩の定義から、u,v∈W1かつu,v∈W2　を満たす。　
　・仮定1,2より、W1もW2も「Rnの部分ベクトル空間」の定義：条件I-1を満たし、
　　　　u,v∈W1　にたいして、u+v∈W1　　
　　　　u,v∈W2　にたいして、u+v∈W2　　
　・上記二点をあわせてかんがえると、
　　　W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルu,vにたいして、
　　　　　　　　u+v∈W1　かつ　u+v∈W2　
　・したがって、
　　　W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルu,vにたいして、u+v∈(W1∩W2 )　
　　以上から、W1∩W2 は、『Ｒnに定められているベクトルの加法』について閉じていることが示された。
3.W1∩W2 は、『Ｒnに定められているスカラー乗法』について閉じている。
　・W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルvは、　　　
　　　∩の定義から、v∈W1かつv∈W2　を満たす。　
　・仮定1,2より、W1もW2も「Rnの部分ベクトル空間」の定義：条件I-1を満たし、
　　　　任意の実n次元数ベクトルv∈W1 と、任意の実数a∈Rにたいして、av∈W1　　
　　　　任意の実n次元数ベクトルv∈W2 と、任意の実数a∈Rにたいして、av∈W2　　
　・上記二点をあわせてかんがえると、
　　　W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルv と、任意の実数aにたいして、
　　　　　　　　av∈W1　かつ　av∈W2　
　・したがって、
　　　W1∩W2に属す任意の実n次元数ベクトルvと、任意の実数aにたいして、av∈(W1∩W2 )　
　　以上から、W1∩W2 は、『Ｒnに定められているスカラー乗法』について閉じていることが示された。　
以上1.，2.，3. より、
仮定1：W1は「Rnの部分ベクトル空間」　　
仮定2：W2は「Rnの部分ベクトル空間」　　　
のもとで、
W1∩W2 が「Rnの部分ベクトル空間」となるための必要十分条件を満たすこと　　
を示した。
したがって、「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 の共通部分W1∩W2 も、
　「Rnの部分ベクトル空間」である。　　　

証明
↓　
本題2

本題1への証明と、まったく同じ論理で証明できる。

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定理：部分ベクトル空間の合併は部分ベクトル空間になるとは限らない

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1：Rnの部分ベクトル空間　　
W2：Rnの部分ベクトル空間

[文献]
佐武
『線形代数学』
　Ⅲ§2(p.96):反例つき

本題

「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 の合併集合W1∪W2 は、
「Rnの部分ベクトル空間」になるとは限らない。　　

証明

W1∪W2 が、「Rnの部分ベクトル空間」にならないような、
「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 の例をあげる。
（例）
1.
W1を、基本ベクトル e1 1個のみから生成された部分ベクトル空間〈e1〉とする。
　　つまり、W1は、実n次元数ベクトル ( 1,０,…,０ ) の一次結合をすべて集めた集合。
　　といっても、一個のベクトルの一次結合だから、
　　要するに、
　　W1は、実n次元数ベクトル ( 1,０,…,０ ) の任意スカラー倍をすべてかき集めた集合　　　
　　　　　{ (a ,０,…,０)｜a∈R }　
　　　　　となる。　　　
W2を、基本ベクトル e2 1個のみから生成された部分ベクトル空間〈e2〉とする。
　　つまり、W2 は、実n次元数ベクトル(０, 1 ,０,…,０ ) の一次結合をすべて集めた集合。
　　といっても、一個のベクトルの一次結合だから、
　　要するに、
　　W2は、(０, 1 ,０,…,０ ) の任意スカラー倍をすべてかき集めた集合　　
　　　　　　{ (０, b ,０,…,０ )｜b∈R }　
　　　　　となる。　　　
2.
この「Rnの部分ベクトル空間」W1 ,W2 の例において、
　　　　W1∪W2 ={ (a ,０,…,０)｜a∈R }∪{ (０, b ,０,…,０)｜b∈R }
は「Rnの部分ベクトル空間」とはならない。
「Rnの部分ベクトル空間」となるための必要十分条件のなかの一要件を満たさないからである。　　　
3.
Q1：「『Rnの部分ベクトル空間』となるためには、Ｒnの空でない部分集合でなければならない」　　
Q3：「『Rnの部分ベクトル空間』となるためには、『Ｒnに定められているスカラー乗法』について閉じていなければならない」
という二要件については、
　W1∪W2 ={ (a ,０,…,０)｜a∈R }∪{ (０, b ,０,…,０)｜b∈R }
は満たしている。　　　
しかし、
Q2：「『Rnの部分ベクトル空間』となるためには、『Ｒnに定められているベクトルの加法』について閉じていなければならない」
という要件について、
　W1∪W2 ={ (a ,０,…,０)｜a∈R }∪{ (０, b ,０,…,０)｜b∈R }
は満たさない。
実際、
 ( 1,０,…,０)∈W1　、したがって、( 1,０,…,０ )∈（W1∪W2）　　
 (０, 1 ,０,…,０)∈W2　、したがって、(０, 1 ,０,…,０)∈（W1∪W2）　
にたいして、
　 ( 1,０,…,０)＋(０, 1 ,０,…,０)＝( 1, 1 ,０,…,０)　　
は、
　　W1∪W2 ={ (a ,０,…,０)｜a∈R }∪{ (０, b ,０,…,０)｜b∈R }
に属しておらず、
　　W1∪W2 ={ (a ,０,…,０)｜a∈R }∪{ (０, b ,０,…,０)｜b∈R }　
の外へ飛び出してしまう。

関連

W1∪W2 を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』は、和空間（W1＋W2）。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。


　

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