線形部分空間・部分ベクトル空間の定義：トピック一覧

・部分ベクトル空間の定義　
・部分ベクトル空間であることの必要十分条件：1/2　
※関連ページ
　部分ベクトル空間：部分ベクトル空間の性質/～に張られた部分ベクトル空間/和･直和/部分空間の次元　　　
　ベクトル空間関連ページ：ベクトル空間の定義/一次結合/線形従属･線形独立/基底/次元　　
※いろいろなベクトル空間の部分空間：実ベクトル空間の部分空間/実n次元ベクトル空間の部分空間　
※高校で習ったようなベクトルを扱う場合は、実n次元ベクトル空間の部分空間を見よ。

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定義：線形部分空間linear subspace・部分ベクトル空間　

【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　+：ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　

【本題】

　「Wが、Vの部分ベクトル空間である」とは、
　WがVの部分集合であって、
　なおかつ、
　「Vに定められたベクトルの加法"+"とスカラー乗法」を以って「Wにおけるベクトルの加法とスカラー乗法」と定義した場合に、WがK上のベクトル空間となることをいう。
　つまり、　　
　Vの部分ベクトル空間Wとは、次の4条件を満たすVの部分集合のこと。
　条件Ⅰ-1.「Vにおけるベクトルの加法"+"」が「Wにおける二項演算」の定義を満たし、
　　　　　　　したがって、
　　　　　　　これをWにおけるベクトルの加法"+"と定義した場合に、
　　　　　　　Wは、この+について代数系となること。
　　　　　つまり、「Vにおけるベクトルの加法"+"」によって、
　　　　　　　　　任意のu,v∈Wに対して、それに対応するu+v∈Wが一つずつ定まること。

　条件Ⅰ-2. Wは、「Vにおけるベクトルの加法"+"」に関して加法群(加法に関する可換群)をなすこと。
　　つまり、
　　-1. Vにおけるベクトルの加法"+"が、「結合則：( ∀u,v,w∈W ) ( ( u＋v )＋w = u＋( v＋w ) )」を満たすこと。
　　-2. Vにおけるベクトルの加法"+"に関して、
　　　　　　零ベクトル「( ∀v∈W ) ( ０＋v = v かつ ０＋v = v )を満たす０∈W」が存在すること。
　　-3. Wのすべての元vに対して、
　　　　　　Vにおけるベクトルの加法"+"に関するvの逆ベクトル－v∈Wが存在すること。
　　-4. Vにおけるベクトルの加法"+"が、「可換則：( ∀u,v∈Ｗ ) (u＋v =v＋u )」を満たすこと。　

　条件Ⅱ-1.「Vにおけるスカラー乗法」が、「Wにおけるスカラー乗法」の定義を満たすこと。
　　　　　　つまり、「Vにおけるスカラー乗法」が、
　　　　　　　　　　Kの任意の元aと、Wの任意の元vの組に対して、Wの元を一意的に定める演算
　　　　　　にもなっていること。　
　条件Ⅱ-2.　「Vにおけるスカラー乗法」が次の4条件を満たすこと。　
　　　　　-1. 任意のv∈Wに対して、1v=v
　　　　　　　　　　　　　　　　　※左辺の"1"は体K上で定義された乗法の単位元を指す。　
　　　　　-2. 結合則：
　　　　　　　任意のa,b∈Kと、任意のv∈Wに対して、(ab)v=a(bv)
　　　　　-3. ベクトルに関する分配則：
　　　　　　　任意のa∈Kと、任意のu,v∈Wに対して、a(u+v)=au+av　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　※両辺の"+"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　
　　　　　-4. スカラーに関する分配則：　
　　　　　　　任意のa,b∈Kと、任意のv∈Wに対して、(a+b)v=av+bv　　
　　　　　　　　　　※左辺の"+"は体K上で定義された加法、右辺の"+"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　
　※部分ベクトル空間の例：一次写像の像image、部分空間の和空間
　※部分ベクトル空間であるための必要十分条件：1/2　
　※いろいろなベクトル空間の部分空間：実ベクトル空間の部分空間/実n次元ベクトル空間の部分空間　
　※高校で習ったようなベクトルを扱う場合は、実n次元ベクトル空間の部分空間を見よ。　　

【文献】

　・『岩波数学辞典』項目210-F(p.571);
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.31);
　・砂田『行列と行列式』定義5.19(p.161);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1.2(p.106);
　・ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間(pp.34-5);　
　・佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.114);
　・志賀『線形代数30講』21講(p.132):わかりやすい;
　・藤原『線形代数』4.1(p.93):きちんとした定義なし;
　・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.23);
　・松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133);　

定理：部分ベクトル空間であることの必要十分条件1

　　　　　　
【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　+：ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　

【本題】

　以下の２命題は、同値。
　命題P：Wは、Vの部分ベクトル空間。
　命題Q：WはVの空でない部分集合であり、
　　　　　かつ、
　　　　　任意のベクトルu,v ∈Wと、任意のスカラーc∈Kに対して、
　　　　　　　　cu+v ∈W　
【文献】
　
　・砂田『行列と行列式』定義5.19(p.162);　
　・ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間:定理1(p.35



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定理：部分ベクトル空間であることの必要十分条件2

　　
【舞台設定】
　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　+：ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　

【本題】
　以下の２命題は、同値。
　命題P：Wは、Vの部分ベクトル空間。
　命題Q：Wが次の3条件を満たす。
　　1. Wは、Vの空でない部分集合。
　　2.任意のベクトルu,v ∈Wに対して、u+v ∈W　
　　　　[Wは「Vに定められているベクトルの加法」について閉じている]
　　3.任意のベクトルv ∈Wとスカラーc∈Kに対して、cv∈W　
　　　　[Wは「Vに定められているスカラー乗法」について閉じている]　

※永田『理系のための線形代数の基礎』は、これを、部分ベクトル空間の定義としている。

【文献】

　永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.31);
　砂田『行列と行列式』定義5.19(p.161);
　松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133);


(reference)

　日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)

【線形代数のテキスト】

　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
　砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
　永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
　佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
　志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)21講線形写像の核と行列の階数(p.132):。
　藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91-)。
　斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

【代数学のテキスト】

　本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
　酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

【数理経済学のテキスト】

　神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。