| Rn上の直交変換 |
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・定義： 直交変換・性質：直交変換の行列表示/直交変換による正規直交基底の像 |
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※ 計量ベクトル空間上で定義される〈一次写像の下位類型〉： ユークリッド空間Rn上の対称変換/計量実ベクトル空間上の対称変換/計量実ベクトル空間上の随伴写像/計量同型写像※線形代数目次・総目次 |
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定義：ユークリッド空間Rn上の直交変換 symmetric transformation |
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線形変換『f : Rn→Rn』の前後で内積が変わらないということ、 すなわち、 n次元ユークリッド空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトル v1, v2にたいして、 v1・v2 = f (v1 ) ・ f (v2 ) が満たされること （∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（ v1・v2 = f (v1 ) ・ f (v2 ) ） をいう。 |
[ 文献]・佐武『線形代数学』Ⅲ§7定理11(p.124); ・斎藤『線形代数入門』4章§6(p.125) ・永田『理系のための線形代数の基礎』4.5問3(pp.123-4) ※ 一般化：計量同型写像 |
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設定 |
なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。 Rn：実n次元数ベクトル空間 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。 これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム （自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d）：n次元ユークリッド空間 |
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→ [トピック一覧：直交変換]→[線形代数目次/総目次] |
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定理：ユークリッド空間 Rn上の直交変換の行列表現 |
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次の二つの命題は同値。 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 命題Q:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」の標準基底に関する表現行列が、 直交行列」 2. 次の二つの命題は同値。 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 命題R:「任意の『n次元ユークリッド空間Rnの正規直交基底』に関する線形変換fの行列表示は、 直交行列」 |
[ 文献]・佐武『線形代数学』Ⅲ§7定理11(pp.122-124):証明つき; ・斎藤『線形代数入門』2章§6 [6.4'] (p.65);4章§6[6.6](p.125) ・永田『理系のための線形代数の基礎』4.5問3(pp.123-4)
※ 直交行列： |
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設定 |
なお、この定理は、以下の舞台設定上で得られる。 Rn：実n次元数ベクトル空間 v1, v2：実n次元数ベクトルの縦ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=t( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=t( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。 これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム （自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d）：n次元ユークリッド空間 |
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証明 |
1 .[命題P⇒命題Q] (step1) 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 すなわち、n次元ユークリッド空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトル v1, v2にたいして、 f (v1 ) ・ f (v2 ) =v1・v2 ⇒ Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }にたいして、 f (ei ) ・ f (e j ) =ei ・e j （i,j=1,2,…n） (step2) ei ・e j =δij（i,j=1,2,…n） ∵ei ・e j を計算したらわかる。 (step3) 定理より、 f (e1 )は、fの標準基底に関する表現行列の第1列 f (e2 )は、fの標準基底に関する表現行列の第2列 ： ： f (en )は、fの標準基底に関する表現行列の第n列 (step4) Step1,2より、 [命題P] ⇒f (ei ) ・ f (e j ) =δij（i,j=1,2,…n） つまり、 [命題P] ⇒ 「{ f (e1 ), f (e2 ), …, f (en ) }は、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす。」 (step5) ・Step3,4より、 [命題P] ⇒「fの標準基底に関する表現行列の各列は、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす」 ・直交行列とは、その各列がn次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす n次正方行列であった。 ・以上二点より、 [命題P] ⇒ 命題Q「fの標準基底に関する表現行列は、直交行列」 |
・佐武『線形代数学』Ⅲ§7 (pp.122-123)：左欄同様。 ・斎藤『線形代数入門』2章§6 [6.4'] (p.65):左欄と異なる。 |
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命題Q:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」の標準基底に関する表現行列が、 直交行列」 ⇒ f (v1) = Av1 かつ f (v2) =Av2 …(1) （∵標準基底に関する表現行列の定義） かつ tA=A …(2) （∵直交行列の定義） ⇒ f (v1 ) ・ f (v2 ) = (Av1 ) ・ (Av2 ) ∵(1) =(tA A v1) ・v2 ∵自然な内積の性質 =( In v1) ・v2 ∵直交行列の定義 =v1・v2 すなわち、 命題P「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』は直交変換」 が成り立つ。 よって、命題Q⇒命題P |
・佐武『線形代数学』Ⅲ§7 (p.123) ：左欄同様。 |
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証明 |
2 .[命題P⇒命題R] (step1) 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 すなわち、n次元ユークリッド空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトル v1, v2にたいして、 f (v1 ) ・ f (v2 ) =v1・v2 ⇒ 任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }にたいして、 f ( pi ) ・ f ( pj ) = pi ・ pj （i,j=1,2,…n） (step2) 任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }にたいして、 pi ・ pj =δij（i,j=1,2,…n） ∵正規直交基底の定義。 |
・佐武『線形代数学』Ⅲ§7 (p.123) ：左欄同様。 |
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(step3) A=(aij) とおく。 線形変換fの任意基底に関する表現行列の定義より、 f (p1)=a11 p1＋a21 p2＋…＋an1 pn f (p2)=a12 p1＋a22 p2＋…＋an2 pn ： ： f (pn)=a1n p1＋a2n p2＋…＋ann pn したがって、 f ( pi ) ・ f ( pj ) =（a1i p1＋a2i p2＋…＋ani pn）・（a1j p1＋a2j p2＋…＋anj pn） = （a1i p1）・（a1j p1）+（a1i p1）・（a2j p2）+…+（a1i p1）・（anj pn） +（a2i p2）・（a1j p1）+（a2i p2）・（a2i p2）+…+（a2i p2）・（anj pn） +… …+（ani pn）・（a1j p1）+（ani pn）・（a2i p2）+…+（ani pn）・（anj pn） ∵自然な内積の線型性1 = a1i a1j（p1・p1）+ a1i a2j（p1・p2）+…+ a1i anj（p1・pn） + a2i a1j（p2・p1）+ a2i a2j（p2・p2）+…+ a2i anj（p2・pn） +… …+ ani a1j（pn・p1）+ ani a2i（pn・p2）+…+ ani anj（pn・pn） ∵自然な内積の線型性2 = a1i a1j 1+ a1i a2j０+…+ a1i anj０ + a2i a1j０+ a2i a2j１+…+ a2i anj０ +… …+ ani a1j０+ ani a2i０+…+ ani anj１ ∵step2 = a1i a1j + a2i a2j +…+ ani anj これは、 「Rnの正規直交基底」{ p1, p2, …, pn }に関する線形変換fの行列表示A=(aij)の 第i列と第j列との自然な内積にほかならない。 (step4) Step2,3を使って、step1に登場する「f ( pi ) ・ f ( pj ) = pi ・ pj 」の右辺、左辺を書き換えると、 step1は、次のようになる。 [命題P] ⇒「任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }に関する線形変換fの行列表示」の第i列と第j列との自然な内積=δij（i,j=1,2,…n） つまり、 [命題P] ⇒「任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }に関する線形変換fの行列表示」の各列は、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす。」 (step5) ・直交行列とは、その各列がn次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす n次正方行列であった。 ・step4より、 [命題P] ⇒ 命題R「任意の『Rnの正規直交基底』に関する線形変換fの行列表示は、直交行列となる。」 |
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命題S「任意の『Rnの正規直交基底』に関する線形変換fの行列表示は、直交行列」 ⇒命題Q「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」の標準基底に関する表現行列が、直交行列」 ⇔命題P ∵ 本定理-1.を見よ。 よって、命題R⇒命題P |
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→ [トピック一覧：直交変換]→[線形代数目次/総目次] |
| 定理：ユークリッド空間Rn上の直交変換の性質 | ||
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命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 命題Q: 任意の「Rnの正規直交基底」{ p1, p2, …, pn }に対して、 n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』による像 { f ( p1), f ( p2 ), …, f ( pn ) } も、「n次元ユークリッド空間Rnの正規直交基底」。 |
[ 文献]・佐武『線形代数学』Ⅲ§7定理11-2(p.124); ・川久保『線形代数学』定理1.7.4(p.270):計量実ベクトル空間一般。P⇒Qの証明はそのまま使えるが、Q⇒Pの証明は、このまま数ベクトル空間で使っていいものかどうか…。
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設定 |
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。 Rn：実n次元数ベクトル空間 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。 これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム （自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d）：n次元ユークリッド空間 |
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証明 |
[ 命題P⇒命題Q](step1) 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 すなわち、n次元ユークリッド空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトル v1, v2にたいして、 f (v1 ) ・ f (v2 ) =v1・v2 ⇒ 任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }にたいして、 f ( pi ) ・ f ( pj ) = pi ・ pj =δij （i,j=1,2,…n） ∵正規直交基底の定義。 つまり、 命題P:「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が直交変換である」 ⇒命題P' :「任意の「Rnの正規直交基底」{ p1, p2, …, pn }に対して、{ f ( p1), f ( p2 ), …, f ( pn ) }は、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす。」 (step2) ・n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系は、一次独立。（∵定理） ・n個の一次独立な実n次元数ベクトルは、実n次元数ベクトル空間Rnの基底をなす。（∵定理） この二点より、 命題P' :「{ f ( p1), f ( p2 ), …, f ( pn ) }は、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系をなす。」 ⇒ 命題Q: 任意の「Rnの正規直交基底」{ p1, p2, …, pn }に対して、 n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』による像 { f ( p1), f ( p2 ), …, f ( pn ) } は、「n次元ユークリッド空間Rnの正規直交基底」。 |
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