実行列の加法・スカラー乗法　―　トピック一覧 　　[数学についてのwebノート]

定義：実行列の和/実行列のスカラー倍/−A/実行列の差　
定理：実行列の加法の性質/実行列のスカラー乗法の性質

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定義：実行列の和

定義
・実行列の和A＋Bは、
　AとBの型が一致する場合に限り、
　対応する成分の 「実数体Rに 定義されている和」を成分とする行列として定義される。
・つまり、A, Bともに m×n行 列であるならば、
　A＋B　
　　実行列の和の定義1
　　　実行列の和の定義2
　と定義される。
　なお、aij,bijは実数で あり、
　最終式の行列内の"＋"は、実数体Rに 定義されている加法を指 す。　
・上記定義を略記すると、 m×n行列A=(aij), B=(bij)にたいして、A＋B　=(aij＋bij)　
[文献]
『岩波数学辞典』83行列B (pp.219-220);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24);
斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32);
藤原『線形代数』2.1(p.22)




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 定義：実行列のスカラー倍
定義
 ・k∈Rによる、実行列Aの スカラー倍・スカラー積 kA とは、　　
　　Aの各成分の 「実数体Rに 定義されている乗法」に よるk倍を成分とする実行列のこと。　　
・つまり、　
　　kA　 　　
　　　　実行列のスカラー倍定義1
　　　　実行列のスカラー倍定義2
　と定義される。
　なお、
　　aijは実数で あり、
　最終式の行列内のkaijは、
　「実数体Rに 定義されている乗法」に よるkとaijと の積を指す。
・上記定義を略記すると、k∈R, A=(aij)にたいして、kA=(kaij)　

[文献]
『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24);
斎藤『線形代数入門』2 章§1(p.32);
藤原『線形代数』2.1(p.22)
設定 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
k：実数　 　（実数体Rの元）　　
A：実行列

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定義：−A
定義
 ・「−A」 とは、(−1)∈Rと実行列Aとのスカラー積のこと。
・つまり、
　−A＝(−1)A
　　　　実行列のマイナス定義1
　　　　実行列のマイナス定義2　　∵スカラー積の定義　　
　　　　実行列のマイナス定義3　　　　　∵実数の積と符号の性質　　

[文献]
・藤原『線形代数』2.1(p.23);『高等学校代数幾何』(p.79)
設定 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
k：実数　 　（実数体Rの元）
A：実行列

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定義：実行列の差　
定義
 ・実行列Aと実行列Bの差（A−B）とは、A＋(−B)のこと。　　　
・つまり、AとBの型が一致する場合に限り、A−B＝A＋(−1)Bと定義される。
　　A,Bともにm×n行列であるならば、
　A−B
　実行列の差定義1
　実行列の差定義2
　実行列の差定義3　　∵行列のスカラー積の定義　　
　実行列の差定義4　　　　　　∵実数体における積と符号の性質　
　実行列の差定義5　　　∵行列の和の定義　

[文献]
・藤原『線形代数』2.1(p.23);『高等学校代数幾何』(p.79)
設定 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A,B：実行列

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定理：実行列の加法の性質
定理
 1：可換則
　同じ型の任意の実行列A,B,Cについて、行列の加法＋は、
　　　　A+B＝B+A
　を満たす。
2：結合則　　
　同じ型の任意の実行列A,B,Cについて、行列の加法＋は、
　　　　 (A+B)+C ＝ A+(B+C)
　を満たす。　　　
3：零行列との和　　
　任意の実行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、
　　　 A+O＝ O+A＝A　　
　が成り立つ。　
4：　　　
　任意の行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、　
　　　A＋(−A)＝(−A)＋A＝O　　　　
　が成り立つ。 		[文献]
・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220);
・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33);
・藤原『線形代数』2.1(p.23);
・『高等学校代数幾何』(p.79);]
設定 以上の定理は、下記の舞台設定上で成り立つ。
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A,B：実行列

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定理：実行列のスカラー乗法の性質
定理 1：　　
　任意の実行列Aと、実数体R上で定義された乗法の単位元"1" との、スカラー積1Aは、Aに等しい。　
　　　つまり、　1A＝A　
2：結合則　
　任意の実行列Aと、任意のa,b∈Rについて、
　　「実数体R上で定義された積ab」とAとのスカラー積(ab)Aは、
　　　　　　aと「bとAとのスカラー積bA」とのスカラー積a(bA)に等しい。　　　　
　つまり、任意の実行列Aと、任意のa,b∈Rに対して、(ab)A＝a(bA)　　　　
3：実行列に関する分配則　　
　同じ型の任意の実行列A,Bと、任意のa∈R について、
　　　aと「AとBとの和」とのスカラー積a(A+B)は、
　　　　　　「aとAとのスカラー積aA」と「aとBとのスカラー積aB」との和に等しい。　
　つまり、同じ型の任意の実行列A,Bと、任意のa∈R について、a(A+B)＝aA+aB　　　
4：スカラーに関する分配則　　
　任意の実行列Aと、任意のa,b∈R について、
　　「実数体R上で定義された和a+b」とAとのスカラー積(a+b)Aは、
　　　　　「aとAとのスカラー積aA」と「bとAとのスカラー積bA」との和に等しい。　
　つまり、任意の実行列Aと、任意のa,b∈R について、(a+b)A＝aA+bA　　

 [文献]
・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33);
・藤原『線形代数』2.1(p.23);
・『高等学校代数幾何』(p.79);
設定 以上の定理は、下記の舞台設定上で成り立つ。
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A,B：実行列

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