二次形式　―　トピック一覧 　　[数学についてのwebノート]

　・定義：二次形式/正値定符号二次形式/正値定符号行列/半正値定符号二次形式/半正値定符号行列
　　　　　負値定符号二次形式/負値定符号行列/半負値定符号二次形式/半負値定符号行列
　　　　　同値な二次形式/二次形式の標準形　　
　・定理：単位ベクトル化の二次形式の計算／単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理
　　　　　二次形式の基底変換公式/二次形式の標準化　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　正値定の必要十分条件-固有値/負値定の必要十分条件-固有値/正値定の必要条件-行列式/負値定の必要条件-行列式/
　　　　　正値定の必要条件-小行列/負値定の必要条件-小行列/正値定の必要十分条件-主小行列式/負値定の必要十分条件-主小行列式　　

※応用：2変数関数の極値問題/ n変数関数の極値問題　
※関連：主小行列/主小行列式/固有値　

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定理：二次形式の基底変換公式
定義：対称行列・二次形式の同値
要旨
 ・実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)についての対称行列Aによって定まる二次形式
　　A[x]
　は、
　「xの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル」x'=(x'1, x'2, …, x'n)についての、
　「『《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》から《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》へ の基底変換行列』Pを用いて作った対称行列」　tPAP　によって定まる二次形式　
　　tPAP[x']　
　としても表せる。
　　　すなわち、A[x]＝tPAP[x']　。
・対称行列AとtPAP　、および、　二次形式　A[x]　とtPAP[x']　とは、同値であるといわれる。　
　　　　　　　　　　　
設定
 この定理は、以下の舞台設定上で、成り立つ。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn=R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、
　　　　　　　 n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。		 [文献－線型代数]
・佐武『線型代数学』Ⅳ§4 (pp.158-9)。「同値」
＊斎藤『線形代数入門』5章§4[4.1]の前段(p.154);
・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.3.3の後(p.145):対称双一次形式一般について。「同値」;
・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.1の前段(p.289)
・木村『線形代数：数理科学の基礎』2.1(p.36);4.6(pp.93-98)
[文献－解析]
＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.2-2(p.154)
＊松坂『解析入門4』18.2-E 命題9(p.106);。
[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.33(p.113)
詳細
 		step1―設定
　(1) 「Rnの基底」として、 { p1, p2, …, pn } をとる。　　　
　(2)
　すると、
　『《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》から《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》へ の基底変換行列』は、
　第1列をp1, その第2列をp2, …, その第n列をpnとする実n次正方行列となる。
　この実n次正方行列をP で表すことにする。


　(3)
　基底変換行列の性質から、
　実n次元数ベクトルx　と「xの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル」x'とのあいだに、
　　　　　　　　　Px'＝x
　という関係が成立する。（ただし、x,x'は縦ベクトルとする）
step2―展開
　(0)
　以上の設定を使って、
  「実n次元数ベクトルxについての対称行列Aによって定まる二次形式」　A[x]
　について、ほかの表し方ができないか、考えてみよう。
　(1)
　まず、step1-(3)で得られた関係を使うと、
　「xの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル（縦ベクトル）」x'を用いて
　次のように、表しなおすことができる。
　　　A[x]＝A[Px']　　　
　(2)
　ここから、二次形式の定義式に遡り、さらに、転置行列の性質などをつかって、どんどん書き換えていってみよう。
　　　A[x]＝A[Px']　　　∵step1-(3)
　　　　　　＝t(Px')A(Px')　　　　∵二次形式の定義　　　
　　　　　　　＝(tx'　tP　) A (Px')　　∵転置行列と積の性質　　　　　
　　　　　　　　＝tx' (tPAP) x'　　　　∵行列積の結合則
　(3)
　だから、結局、
  「実n次元数ベクトルxについての対称行列Aによって定まる二次形式」　A[x]　は、
　「xの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル」x'（ただし、縦ベクトル）
　「《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》から《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》へ の基底変換行列」P
　を用いて、
　　　tx' (tPAP) x'　
　と表せることになる。
　つまり、A[x]＝tx' (tPAP) x'　　
step3―結論
　(1)
　二次形式の定義式と見比べてみると、
　　tx' (tPAP) x'　とは、
　「x'についての対称行列(tPAP)によって定まる二次形式」tPAP[x']に他ならないことに気づく。
　(2)
　なお、(tPAP)が対称行列であることは、(tPAP)の転置をとってみると、(tPAP)自身であることからわかる。
　実際、
　　　　t(tPAP)＝tP tA t(tP)　　∵転置行列と積の性質　
　　　　　　　　＝tP tA P　　　∵転置の転置　
　　　　　　　　　＝tPAP　　　 ∵対称行列の定義から　tA＝A
　(3)
　step2-(3)とstep3-(1)とをあわせると、
  「実n次元数ベクトルxについての対称行列Aによって定まる二次形式」　A[x]　は、
　「xの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル」x'
　「《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》から《Rnの基底 { p1, p2, …, pn }》へ の基底変換行列」P
　を用いて、
　「x'についての対称行列(tPAP)によって定まる二次形式」
　としても表せることになる。
　　すなわち、A[x]＝tPAP[x']　　

・ベクトルの中身を開いた状態で、議論すると…　　
・ベクトル・行列を使わずに、議論すると…　　

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定理・定義：二次形式の標準形
要旨 ・うまく、実n次元数ベクトルx'=(x'1, x'2, …, x'n)　を決めてあげると、
　「実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)についての対称行列Aによって定まる二次形式」A[x]は、
　　　　「『対称行列Aの固有値λ1,λ2,…,λnを対角成分とする対角行列diag(λ1,λ2,…,λn)』
　　　　　　によって定まる
　　　　　　実n次元数ベクトルx'についての二次形式」
　　　　　　　　diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2
　　として表現しなおすことができる。
　　つまり、
　　　　A[x]＝diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2
　　　　を満たすx'=(x'1, x'2, …, x'n)　の決め方が存在する。
・diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2 を、
　　二次形式A[x]の標準形と呼ぶ。

 [文献－線型代数]
・佐武『線型代数学』Ⅳ§4定理4'';定理5 (pp.159-161)
・斎藤『線形代数入門』5章§4[4.1](pp.154-155);
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理5.3.9(p.148);
＊川久保『線形代数学』11.3定理11.3.1(p.289)
・木村『線形代数：数理科学の基礎』2.1(p.36);4.6(pp.93-98)
[文献－解析]
＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.2-2(p.154)
＊松坂『解析入門4』18.2-E 命題9(p.106);。
[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.33(p.113)
＊戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8)
※活用例：正値定符号行列になるための必要十分条件　　
※関連：対称行列の対角化,対称変換の対角化,

※なぜ？
　　対称行列の対角化により、
　　対称行列Aにたいして、ある直交行列Pが存在して、A = P diag(λ1,λ2,…,λn) P－１を満たす。
　したがって、この直交行列Pをつかって、A[x]を書き換えると、
　　　A[x]＝txAx　　　∵二次形式の定義　　
　　　　　　＝tx ( P diag(λ1,λ2,…,λn) P－１ )x　　∵　A = P diag(λ1,λ2,…,λn) P－１　　　　　　　
　　　　　　＝(tx P) diag(λ1,λ2,…,λn) ( P－１ x)　∵行列積の結合則　　　　　　
　　　　　　＝t(tP x ) diag(λ1,λ2,…,λn) ( P－１ x)　∵行列積と転置の性質　　　　　　　　
　　　　　　＝t(P－１x ) diag(λ1,λ2,…,λn) ( P－１ x)　∵直交行列の性質　tP＝P－１　　　　　
　すると、x'=P－１x 　と決めてあげれば、
　　　A[x]＝tx' diag(λ1,λ2,…,λn) x'　＝　diag(λ1,λ2,…,λn)[x']
　が成り立つことになる。

※この説明では、あまりに表面的で、理論的に納得がいかない、というのであれば、
　下記説明参照。

[文献]
・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.1(p.289);
・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8)
設定
 この定理は、以下の舞台設定上で、成り立つ。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）
　Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn=R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、
　　　　　　　 n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
　・：自然な内積。これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。
　∥∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
　　d (　,　)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
　（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　
詳細
「対称行列Aによって定まる実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)についての二次形式」
　　A[x]　＝txAx　　
は、
《Rnの正規直交基底》」{ p1,p2,…,pn }をうまくとると、
この《Rnの正規直交基底{p1,p2,…,pn}》に関する「xの座標ベクトル」x'=(x'1,x'2,…,x'n)　をつかって、
　　　　「『対称行列Aの固有値λ1,λ2,…,λnを対角成分とする対角行列diag(λ1,λ2,…,λn)』
　　　　　によって定まる
　　　　　x'についての二次形式」
　　　　　diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝tx' diag(λ1,λ2,…,λn) x'　＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2
として表すことができる。
すなわち、　
　任意の対称行列Aにたいして、ある《Rnの正規直交基底{p1,p2,…,pn}》が存在して、
　この《Rnの正規直交基底{p1,p2,…,pn}》に関する「xの座標ベクトル」x'=(x'1,x'2,…,x'n)　が、
　　A[x]＝diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2 　　　
　を満たす。
・diag(λ1,λ2,…,λn)[x']＝λ1x'12+λ2x'22+λ3x'32+…+λnx'n2 を、
　　二次形式A[x]の標準形と呼ぶ。
 [文献]
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.2-2(p.154)
・松坂『解析入門4』18.2-E 命題9(p.106);
・斎藤『線形代数入門』5章§4[4.1](pp.154-155);
　　

証明
・対称行列の対角化より、
　対称行列Aにたいして、
　　　ある直交行列Pが存在して、
　　　　　　　　diag(λ1,λ2,…,λn)= tPAP　　…(1)　　　　　　　　　　　　　　　
　を満たす。　　　　　　
・この直交行列Pの各列{ p1, p2, …, pn }は《Rnの正規直交基底》をなす。∵直交行列の性質　　
・そこで、
　A[x]を「《Rnの正規直交基底{p1,p2,…,pn}》に関する『xの座標ベクトル』」を使って表現しなおす。
　「《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》から《Rnの正規直交基底 { p1, p2, …, pn }》へ の基底変換行列」は、直交行列Pになるから、　　　
　二次形式の基底変換公式より、　
　　　　A[x]＝tPAP[x']　　　
　ところが、
　直交行列Pは(1)を満たすから、
　　　　A[x]＝tPAP[x']＝diag(λ1,λ2,…,λn)[x']　


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