ユークリッド空間Rn上の対称変換の固有値問題　―　トピック一覧 　　[数学についてのwebノート]

定理：対称変換の固有値は実数/対称変換の固有ベクトルの直交/対称変換の固有ベクトルと正規直交基底/　
定理：対称変換は対角化可能/

※対称変換について：対称変換の定義/対称行列の定義/対称行列の固有値/対称行列の対角化　　
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定理：対称変換の固有値・固有ベクトル

定理
対称変換「f: Rn→Rn」の固有値は、すべて実数。
対称変換「f: Rn→Rn」の 固有ベクトル は、すべて実n次元数ベクトル。

※なぜ？
　以下三点を追えば、わかる。
　・定理より、　　
　　対称変換「f: Rn→Rn」の固有値・固 有ベクトルは、
　　対称変換「f: Rn→Rn」の標準基底に関する表現行列の固有値と、それに対応する固有ベクトル。
　・定理より、
　　対称変換「f: Rn→Rn」の標準基底に関する表現行列は、対称行列。　　　　　
　・定理より、
　　対称行列の固有値・固有ベクトルは、すべて実数・実n次元数ベクトル。
　　　 

[文献]
・斎藤『線形代数入門』5章§3定理3.1(p.149)
・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.2.5(pp.138-9)

※対称変換について：
　　対称変換の定義/対称行列の定義/対称行列の固有値/対称行列の対角化

設定

 なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。
R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1, v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d(v1, v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　　




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定理：ユークリッド空間Rn上の対称変換の固有ベクトル・固有空間の直交性

定理
・対称変換「f: Rn→Rn」の異なる固有値に対応する固有ベクトルは、直交する。

・対称変換「f: Rn→Rn」の異なる固有値に対する固有空間は、直交する。

 [文献]
・斎藤『線形代数入門』5章§3定理3.1(p.149)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.2.9(pp.141)
※対称変換について：対称変換の定義/対称行列の定義/対称行列の固有値/対称行列の対角化/

設定

 なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。

R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1, v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d(v1, v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　
　　




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定理：ユークリッド空間Rn上の対称変換の固有ベクトルから、Rnの正規直交基底をつくれる

定理
　Rnは、対称変換「f: Rn→Rn」の固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ。
[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.2.8(pp.141)

設定

 なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。

R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1, v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d(v1, v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　
　　




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定理：ユークリッド空間Rn上の対称変換の対角化

定理
・対称変換「f: Rn→Rn」は、無条件に対角化可能。

　詳しく言えば、
・対称変換「f: Rn→Rn」の固有値を、λ1,…,λn（ただし、重複を許すとする）とし、
　対称変換「f: Rn→Rn」の互いに 直交しあう 固有ベクトル を、p1, p2, …,pnとすると、
　「fの標準基底に関する表現行列」A、　　
　「第1列をp1, 第2列をp2, …, 第n列をpnとする実n次正方行列」P
　は、
　　　　diag(λ1,λ2,…,λn) = P−１AP
　を満たす。　　　
・対称変換「f: Rn→Rn」の固有値を、λ1,…,λn（ただし、重複を許すとする）とし、
　対称変換「f: Rn→Rn」の 固有ベクトル の単位ベクトル化を選んで、
　「Rnの正規直交基底」{p1,p2,…,pn}をつくることができ（∵）、
　この「Rnの正規直交基底」{p1,p2,…,pn}に関するfの表現行列が、
　n次対角行列diag(λ1,λ2,…,λn)となる。

[文献]
・斎藤『線形代数入門』5章§3系3.2(p.150)証明なし・結論だけ。
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理5.2.7-系5.2.8(pp.141)
・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.8.2(pp.112-3) :1.のみ証明2は大まかな解説のみ;

※対称変換について：対称変換の定義/対称行列の定義/対称行列の固有値/対称行列の対角化/
※一次変換一般の対角化について：
　　　・定義―対角化可能
　　　・条件―固有ベクトルの観点/固有値の観点/固有空間の観点　
設定 なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。
R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1, v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d(v1, v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　







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