定理

次の二つの命題は同値

命題S:実n次対称行列Aが正値定符号行列（二次形式A[x]が正値定符号）
命題T:実n次対称行列Aの固有値が全て正

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献−線型代数]
・佐武『線型代数学』�W§4 (p.161)
・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.3.10(p.149);
・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.2(p.290)
・木村『線形代数：数理科学の基礎』4.6(pp.93-95)。
・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,pp.326-330.

[文献−解析]
・松坂『解析入門4』18.2-E 定理2(p.107);
＊杉浦『解析入門１』�U§8定理8.3(p.156):「命題S⇒命題T」の証明付。　　　
　
[文献−数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.34(p.114)

[文献−数理統計]
・久米『数理統計学』1.34(p.33);
・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8)
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.26(p.314)

定理

次の二つの命題は同値

命題S:実n次対称行列Aが負値定符号行列（二次形式A[x]が負値定符号）
命題T:実n次対称行列Aの固有値が全て負

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献−線型代数]
・佐武『線型代数学』�W§4 (p.161)
・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.3.10(p.149);
・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.2(p.290)
・木村『線形代数：数理科学の基礎』4.6(pp.93-95)。
・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,pp.326-330.

[文献−解析]
・松坂『解析入門4』18.2-E 定理2(p.107);
＊杉浦『解析入門１』�U§8定理8.3系(pp.157-8)。　　　
　
[文献−数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.34(p.114)
・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8)
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.26(p.314)

n次対称行列Aが正値定符号行列（二次形式A[x]が正値定符号）
⇒　 n次対称行列Aの行列式は正
　　　　　　det A＞0

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献]
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.27(p.317)

※

n次対称行列Aが負値定符号行列（二次形式A[x]が負値定符号）　
⇒　 n次対称行列Aの行列式は、nが偶数のとき正、nが奇数のとき負。　　
　　　　(−1)ⁿdet A＞0　　

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献]
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.27(p.317)

(証明)

n次対称行列Aが正値定符号行列（二次形式A[x]が正値定符号）
　　　　⇒　Aのすべての小行列は、正値定符号行列　

[文献]
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.32(p.317)

n次対称行列Aが負値定符号行列（二次形式A[x]が負値定符号）　
　　　⇒　Aのすべての小行列は、負値定符号行列　　

[文献]
・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.32(p.317)

※

に対して、
　
をとる。　　

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献−線型代数]
・佐武『線型代数学』�W§4 定理6(p.163) 主小行列式：対角線上にある小行列式
・木村『線形代数：数理科学の基礎』定理2.1(p.43)。
・斎藤『線形代数入門』156.
・Chiang322-326.
[文献−解析]
・杉浦『解析入門１』�U§8定理8.3(p.156):主小行列式。左上からk行k列をとった行列(1≦k≦n)＝右下から(n-k)行(n-k)列除去した行列

[文献−数理統計]
　・久米『数理統計学』1.33(p.32);

　　つまり、行列A_k　(k=1,2,…n)は、　
　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−1)個潰してできた主小行列：a₁₁ 、
　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−2)個潰してできた主小行列：
　　　　　　　　　　　
　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−3)個潰してできた主小行列：
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・　
　　・行列A自体
　　を表している。　
　　対称行列Aが正値定符号行列（二次形式A[x]が正値定符号）
　　　　⇔k=1,2,…nに対して、行列式det A_k>0　

※

(例)　
　　　　
　　　が正値定符号行列ならば、
　　　　　　　
　　　a₃₃＞0、a₂₂、＞0、a₁₁＞0　

(証明)

　　　
　　に対して、
　　　
　　をとる。　　
　　　　　　つまり、行列A_k　(k=1,2,…,n)は、　
　　　　　　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−1)個潰してできた主小行列：a₁₁ 、
　　　　　　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−2)個潰してできた主小行列：
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　・行列Aから、同じ番号の行・列を、後から(n−3)個潰してできた主小行列：
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　・行列A自体
　　　　　　を表している。　
　　対称行列Aが負値定符号行列（二次形式A[x]が負値定符号））
　　　⇔k=1,2,…nに対して、(−1) ^kdet A_k >0　

※具体例：2変数の二次形式のケース　

[文献−線型代数]
・佐武『線型代数学』�W§4 定理6-注意(p.164) 主小行列式：対角線上にある小行列式
・斎藤『線形代数入門』156. Chiang322-326.

※

(例)　
　　　　
　　　が負値定符号行列ならば、
　　　　　　　
　　　a₃₃＜0、a₂₂＜0、a₁₁＜0　

(証明)