n変数関数の極値問題　　―　トピック一覧

　・定義： 広義の極小点/広義の極小値/狭義の極小点/狭義の極小値/広義の極大点/広義の極大値/狭義の極大点/狭義の極大値/
　　　　　　広義の極値/狭義の極値/臨界点/臨界値/鞍点･峠点
　・定理：極大極小の1階の必要条件/極大の2階必要条件/極小の2階必要条件/極大の2階十分条件/極小の2階十分条件　

※極値問題関連ページ：1変数関数の極大極小/2変数関数の極値問題　　
※n変数関数の微分関連ページ： 偏微分/高次の偏微分/微分演算子/全微分/
※n変数関数の微分の応用関連：合成関数の微分、極値問題、陰関数定理、逆関数定理/テイラーの定理/ラグランジュ未定乗数法
→総目次　
　 　

定理：n変数関数の極大極小の1階の必要条件



次の命題P,命題Qについて、
　　　命題Pが成り立つならば、命題Qが成り立つ。
　　　すなわち、命題P⇒命題Q
　　
命題P：n変数実数値関数fが点A=(a1,a2,…,an)で極小または極大
　　　　すなわち、
　　　　　　(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) ( f (P)≧f (A) )
　　　　　　または (∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) (f (P)≦f (A) )　　

命題Q： 点Aは、n変数実数値関数fの臨界点である。
　　　　すなわち、
　　　　　　grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）


[文献－数学]
・『岩波数学辞典』333L(p.986)
＊松坂『解析入門3』14.3-A定理1(p.164)
・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定理8.15(p.307)
＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.1(p.150)

[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.4(p.123)
・入谷久我『数理経済学入門』定義7.7(p.173).
＊神谷浦井『経済学のための数学入門』7.3.2(pp.271-5)
＊西村和雄『経済数学早分かり』３章4.1(p.133)
・西村清彦『経済学のための最適化理論入門』2.2.1(p.43)

※

 　 　
　 　

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定理：n変数関数の極大の2階必要条件


「 n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で極大」ならば、
下記の同値な条件P,Q,Rが満たされる。
すなわち、
　条件P⇔条件Q⇔条件R
　であって、　
　(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) (f (P)≦f (A) )　⇒ 条件P,Q,R


[文献－数学:未確認]
＊松坂『解析入門3』14.3-A定理1(p.164)
・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定理8.15(p.307)
＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.1(p.150)

[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.5;3.7(p.124;126)
・入谷久我『数理経済学入門』定理7.7(p.173).
・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理7.3.3(p.275)
＊西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136)

　
　

[条件P ：2次形式・行列を持ち出さない表現]
任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　Q(h1,h2,…,hn)
　　　＝
　　　　　
　　　　　：
　　　　　…
　が非正値。

　　　すなわち、任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　
　

[条件Q ：負値定符号2次形式を持ち出す表現]
点A=(a1,a2,…,an)における n変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an)によって定まる二次形式が
半負値定符号　　
すなわち、
任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(a1,a2,…,an)h≦０　

 　
　

[条件R ：ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出す表現]
点A=(a1,a2,…,an)における n変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) が非正値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(a1,a2,…,an)h≦０　

 　
　 　 　

※

 　 　
　 　

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定理：n変数関数の極小の2階必要条件


「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で極小」ならば、
下記の同値な条件P,Q,Rが満たされる
すなわち、
　(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) (f (P)≦f (A) )　⇒ 条件P,Q,R
　であって、
　条件P⇔条件Q⇔条件R　


[文献－数学:未確認]
＊松坂『解析入門3』14.3-A定理1(p.164)
・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定理8.15(p.307)
＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.1(p.150)

[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.5;3.7(p.124;126)
・入谷久我『数理経済学入門』定理7.7(p.173).
・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理7.3.3(p.275)
＊西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136)

　

[条件P ：2次形式・行列を持ち出さない表現]
任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
Q(h1,h2,…,hn)
　＝
　　
　　：
　　
が非負値。

すなわち、任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　
　

[条件Q ：負値定符号2次形式を持ち出す表現]
点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an)によって定まる二次形式が半正値定符号　　
すなわち、任意のn次元数ベクトルh=(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、二次形式 thHf(a1,a2,…,an)h≧０　

　
　

[条件R ：ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出す表現]
点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) が非負値定符号行列。
すなわち、任意の n次元数ベクトルh=(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、二次形式 thHf(a1,a2,…,an)h≧０　

　

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定理：n変数関数の狭義極大の2階十分条件

cf. 2変数関数の狭義極大の2階十分条件

定理


下記の同値な条件Q,R,S,T,Uが満たされるならば、
「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極大」
すなわち、
　条件Q⇔条件R⇔条件S⇔条件T⇔条件U
　であって、
　条件Q,R,S,T,U
　　　⇒ (∃ε>0) (∀P∈U*ε（A） ) (f(P)＜f(A) )

[文献－数学]
・『岩波数学辞典』333L(p.986)
＊松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169): 2次形式。
＊松坂『解析入門4』18.2-G定理4(p.111):ヘッセ行列の正負。
・高橋『微分と積分2』 定理3.29(p.85):ヘッセ行列の正負。
＊黒田『微分積分学』定理8.18(p.314):ヘッセ行列固有値
＊杉浦『解析入門１』
　　Ⅱ§8定理8.4(p.158): 2次形式の正負。
　　　定理8.4系(p.159): ヘッセ行列の固有値→行列式
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』4章(p.164)


[文献－数理経済]
＊岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.6(p.125)
・入谷久我『数理経済学入門』定理7.8(p.174).
＊神谷浦井『経済学のための数学入門』定理7.3.4(p.276) :ヘッセ行列の正負
＊西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136);定理4.4(p.141)

　 [条件Q：2次形式・行列を持ち出さない表現]
・Q1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
かつ
・Q2: 任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　Q(h1,h2,…,hn) 　　
　　　　＝
　　　　　
　　　　　　：
　　　　　…
　　　がマイナスになる。
　　　すなわち、任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　
　※条件Q⇒「点A=(a1,a2,…,an)で狭義極大」の証明
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　　　


[文献]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.6(p.125)
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136);

　

[条件R ：ヘッセ行列と負値定符号2次形式を持ち出す表現]
・R1: 点(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=〇
かつ
・R2: 点(a1,a2,…,an)における n変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an)によって定まる二次形式が
　　　負値定符号　　
　　　すなわち、
　　　任意の n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　二次形式(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＜０　
　※条件R⇒「点A=(a1,a2,…,an)で狭義極大」の証明　　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

[文献]
・『岩波数学辞典』333L(p.986)
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169):行列を用いない2次形式。
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.4(p.158) : 行列を用いない2次形式の正負
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169): 2次形式。
　

[条件S ：ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出すベクトル行列表現]
・S1: 点a=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a)=(０,０,…,０)
かつ
・S2: 点a=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a) が負値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意のn次元縦ベクトルh≠〇に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(a)h＜０　
　※条件S⇒「点A=(a1,a2,…,an)で狭義極大」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　　


[文献]
・松坂『解析入門4』18.2-G定理4(p.111):
・高橋『微分と積分2』 定理3.29(p.85):
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.6(p.126)
　

[条件T ：ヘッセ行列の固有値を持ち出す表現]
・T1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）
かつ
・T2: 点A=(a1,a2,…,an)における n変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) の全ての固有値が負。

　※条件S⇔条件Tなのは、なぜ?　→負値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して　　　


[文献]
・黒田『微分積分学』定理8.18(p.314):ヘッセ行列固有値
　

[条件U ：ヘッセ行列の主小行列を持ち出す表現]
・U1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）
かつ
・U2:「点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) 」の、
　　　　以下にあげる主小行列D1,D2,…,Dnのうち、
　　　　　　奇数番が付いたD1,D3,D5,…の行列式がどれもマイナス、
　　　　　　偶数番が付いたD2,D4,D6,…の行列式がどれもプラス。
　　　　つまり、(-1)kdet Dk ＞0　　（ k ＝ 1,2,…,n ）　

[文献]
・黒田『微分積分学』定理8.19(p.315).
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.4系(p.159) : ヘッセ行列の小行列式
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.4(p.141)


　　　　　・D1：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－1)個潰してできた1行1列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D1＝
　　　　　・D2：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－2)個潰してできた2行2列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D2＝
　　　　　・D3：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－3)個潰してできた3行3列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D3＝　
　　　　　：
　　　　　・Dn-1：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から1個潰してできた(n－1)行(n－1)列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、Dn-1＝ 　　　　　
　　　　　・Dn：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から0個潰してできたn行列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、Dn＝Hf(a1,a2,…,an)　
　※条件S⇔条件Uとなるのは、なぜ?　→　負値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して　

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証明

[条件Q2⇔条件R2⇔条件S2の証明]
　n次元縦ベクトルh＝t(h1,h2,…,hn)とすると、
　 thHf(a)h＝(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)

　　　　　　＝
　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　∵行列積の定義　
　　　　　　＝
　　　　　　　
　　　　　　　　：
　　　　　　　…　　
　　　　　　　　　　　　　　　∵横ベクトルと縦ベクトルとの積の定義　　




証明
[条件Q⇒ 「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極大」]
仮定Q1： grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
仮定Q2：任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、Q(h1,h2,…,hn)＜０

※多変数テイラー定理/その誤差項のオーダー　
[文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.170)
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.126)：テイラーの定理と連続性から。不十分。
　 　　ただし、
　　　　 　Q(h1,h2,…,hn)
　　　　　＝
　　　　　　　
　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　：
　　　　　　　　…
Ⅰ.

テイラー展開の公式によって、
　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋gradf(a1,a2,…,an)・(h1,h2,…,hn)＋(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 　　　　　　
とおくと、
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定Q1「grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)」より、
　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an)＝(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。
　
Ⅱ.

任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2
を、(h1,h2,…,hn)の関数としてみると、
　　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最 大値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定Q2より、
L＜０
を満たす。
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)　⇒　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦Ｌ＜０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝０　　
だから、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　∥(h1,h2,…,hn)∥≠0　⇒　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L＜０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』
　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　（∵ノルムの定義：　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　）
において、
Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最 大値Lが存在し、L＜０
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ∈D）（Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L＜０）


*　*　*　*　*　*
「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2の最 大値L」の存在証明：最大値最小値定理から。　

　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2

　＝｛　
　　　　　　　
　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　…　｝／　∥(h1,h2,…,hn)∥2
　＝　
　　　　　
　　　　　　＋…
　　　　　　　：
　　　　　　　…

　＝　
　　　　　
　　　　　　＋…
　　　　　　　：
　　　　　　　…　
　＝　
　　　　
　　　　　＋…
　　　　　　：
　　　　　　…
　すると、Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2 は、
　　　　　n変数n値ベクトル値関数φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ )
　　　　　と
　　　　　n変数実数値関数
　　　　　　ψ(h'1,h'2,…,h'n)＝
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　との合成関数
　である。
　　つまり、
　　　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2 ＝ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　　　
・φ(h1,h2,…,hn)　とは、(h1,h2,…,hn)　の単位ベクトル化に他ならないから、
　任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、∥ φ(h1,h2,…,hn) ∥＝１を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　に対して、
　φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ )の値域は、　　　
　　　　　　　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　
　これは、要するに、原点を中心とする半径1のn次元球体の表面である。
・{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ( h'1,h'2,…,h'n )　は、{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　で連続（∵二次形式で定義される多変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　におけるψ( h'1,h'2,…,h'n )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　は、
　　　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。　　　　　　　　　　　　

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）(　∥(h1,h2,…,hn)∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の {(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最 大値」L(＜０）
　から作った正値 |L/2|を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε=|L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=|L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0,0,…,0)　）( R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最大値」L(＜０）に対して、
　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)  /∥(h1,h2,…,hn)∥2＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L/2 ＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(h1,h2,…,hn))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( (1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an) ＝(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＜f (a1,a2,…,an)　)

よって、仮定Q1,Q2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＜f (a1,a2,…,an)　)
が示されたことになる。

(a1+h1,a2+h2,…,an+hn)を(x1,x2,…,xn)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x1,x2,…,xn)∈Rn ）（０＜∥(x1,x2,…,xn)－(a1,a2,…,an)∥＜δ　⇒　f (x1,x2,…,xn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x1,x2,…,xn)∈ U*δ(a1,a2,…,an)) (f (x1,x2,…,xn)＜f (a1,a2,…,an) )
となるから、
仮定Q1,Q2のもとで、
点A=(a1,a2,…,an)は、f の狭義の極大点である。




→「狭義極大の2階十分条件」冒頭へ戻る　


証明
[条件R⇒ 「n変数実数値関数fは点(a1,a2,…,an)で狭義極大」]
仮定R1： grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
仮定R2： 任意のn次元数ベクトル (h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二次形式  (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) <０　

Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋gradf(a1,a2,…,an)・(h1,h2,…,hn)＋(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)＋R3 　　　　　　
とおくと、
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定R1「grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)」より、
　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an)＝(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2
を、(h1,h2,…,hn)の関数としてみると、
　　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最大値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定R2より、
L<０
を満たす。
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)　⇒　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L<０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　　
だから、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　∥(h1,h2,…,hn)∥≠0　⇒　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L<０）
と言っても同じことである。 　
*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』
　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　
　　　　　　　　　　（∵ノルムの定義：　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　）
において、
(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最大値Lが存在し、L<０
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ∈D）（(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≦L<０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）(　∥(h1,h2,…,hn)∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　「(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の {(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最大値」L(＜０）
　から作った正値 |L/2|を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε= |L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)　）( R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最大値」L(＜０）に対して、
　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)   /∥(h1,h2,…,hn)∥2＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2　≦　Ｌ/2 ＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 <０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(h1,h2,…,hn))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( (1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an) ＝(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＜f (a1,a2,…,an)　)

よって、仮定R1,R2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＜f (a1,a2,…,an)　)
が示されたことになる。

(a1+h1,a2+h2,…,an+hn)を(x1,x2,…,xn)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x1,x2,…,xn)∈Rn ）（０＜∥(x1,x2,…,xn)－(a1,a2,…,an)∥＜δ　⇒　f (x1,x2,…,xn) ＜ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x1,x2,…,xn)∈ U*δ(a1,a2,…,an)) (f (x1,x2,…,xn)＜f (a1,a2,…,an) )
となるから、
仮定R1,R2のもとで、
点A=(a1,a2,…,an)は、f の狭義の極大点である。

→「狭義極大の2階十分条件」冒頭へ戻る　


証明
[条件S⇒ 「n変数実数値関数fは点a=(a1,a2,…,an)で狭義極大」]
仮定S1： grad f (a)=〇
仮定S2：任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠〇に対して、
　　　　　 n変数実数値関数fのaにおけるヘッセ行列Hf(a)によって定まる二次形式　Hf(a)[h] ＝ thHf(a)h<０　

Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
f (a+h)= f (a)＋gradf(a)h＋(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 　
とおくと、
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ )
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、仮定S1「grad f (a)=〇」より、
　　　f (a+h) － f (a) ＝  (1/2)Hf(a)[h] ＋R3　　…I-(1)
　　かつ　
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ ) …I-(2)　
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
Hf(a)[h] /　∥h∥2　　　
を、hの関数としてみると、
任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠〇に対して、
　　　Hf(a)[h] /　∥h∥2　　の最大値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定S2より、
　L＜０
を満たす。
つまり、
（∀h ）（　h≠〇　⇒　Hf(a)[h] /　∥h∥2　≦L ＜０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　　
だから、
（∀h ）（　∥h∥≠〇　⇒　Hf(a)[h] /　∥h∥2　≦L ＜０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』D＝{h∈Rn|h≠〇}＝{h∈Rn|∥h∥≠〇}　（∵ノルムの定義：　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　）
において、
Hf(a)[h] /∥h∥2　の最大値Lが存在し、L＜０
つまり、
（∀h ∈D）（Hf(a)[h] /∥h∥2　≦L ＜０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀h∈Rn ）(　∥h∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥h∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Hf(a)[h] /　∥h∥2　の {h∈Rn|∥h∥≠0}における最大値」L (＜０）
　から作った正値 |L/2| を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε=|L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=|L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈U*δ(0)　）( R3/∥h∥2 ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」

・つまり、
　Ⅱで出てきた「Hf(a)[h] /　∥h∥2　の {h∈Rn|∥h∥≠0}における最大値」L(＜０）に対して、
　　（∀h∈Rn）（０＜∥h∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥h∥2＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥h∥2＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(a)[h]  /∥h∥2＋R3/∥h∥2　≦　Ｌ/2 ＋R3/∥h∥2 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥h∥2 (＞０)をかけて、
（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
を満たす限りで任意のhに対して、
　　　(1/2)Hf(a)[h] ＋R3＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀h∈U*δ(0)）　( (1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h) － f (a) ＝(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h) － f (a) ＜０　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
　　を満たす限りで任意のhに対して、
　　　f (a+h)＜ f (a) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀h∈U*δ(0)）　( 　f (a+h)＜ f (a) 　)

よって、仮定S1,S2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h)＜f (a) 　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀h∈U*δ(0)）　( f (a+h)＜ f (a) )
が示されたことになる。

a+hをxと書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀x∈Rn ）（０＜∥x－a∥＜δ　⇒　f (x)＜ f (a)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀x)∈ U*δ(a))  ( f (x)＜f (a) )
となるから、
仮定S1,S2のもとで、
点aは、f の狭義の極大点である。

→「狭義極大の2階十分条件」冒頭へ戻る　





　 　 　

※

 　 　
　 　

→[トピック一覧：多変数関数の極値問題]
→[総目次]　

 　

　

定理：n変数関数の狭義極小の2階十分条件

cf. 2変数関数の狭義極小の2階十分条件



定理



下記の同値な条件Q,R,S,T,Uが満たされるならば、
「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極小」
すなわち、
　条件Q⇔条件R⇔条件S⇔条件T⇔条件U
　であって、
　条件Q,R,S,T,U
　　　⇒ (∃ε>0) (∀P∈U*ε（A）) (f(P)＞f(A) )

[文献－数学]
・『岩波数学辞典』333L(p.986)
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169): 2次形式。
・松坂『解析入門4』18.2-G定理4(p.111):ヘッセ行列の正負。
・高橋『微分と積分2』 定理3.29(p.85):ヘッセ行列の正負。
・黒田『微分積分学』定理8.18(p.314):ヘッセ行列固有値
・杉浦『解析入門１』
　　　　Ⅱ§8定理8.4(p.158):2次形式の正負。
　　　　　　 定理8.4系(p.159):ヘッセ行列の固有値→行列式
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』４章(p.164)


[文献－数理経済]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.126)
・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理7.3.6(p.278) :ヘッセ行列の正負
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136);定理4.4(p.141)

　

[条件Q ：2次形式・行列を持ち出さない表現]
・Q1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
かつ　

[文献]
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.126)
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136);


・Q2: 任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　Q(h1,h2,…,hn)
　　　＝
　　　　　
　　　　　　：
　　　　　…
　　
　　　がプラスになる。
　　　すなわち、任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　
　※条件Q⇒「fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　
　

[条件R ：ヘッセ行列と正値定符号行列・正値定符号2次形式を持ち出す表現]
・R1: 点(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
かつ
・R2:点(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) が正値定符号行列。
　　　別の言い方をすると、
　　　　　　点(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an)によって定まる二次形式が正値定符号。　
　　　　数式で表すと、
　　　　　任意のn次元横ベクトル (h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二次形式  (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＞０　

　※条件R⇒「fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

[文献]
・『岩波数学辞典』333L(p.986)
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169):行列を用いない2次形式。
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.4(p.158) : 行列を用いない2次形式の正負
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169): 2次形式。
　

[条件S ：ヘッセ行列と正値定符号行列を持ち出すベクトル行列表現]
・S1: 点a=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a)=〇
かつ
・S2: 点a=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a) が正値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意のn次元縦ベクトルh≠〇に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(a)h＞０　

　※条件S⇒「fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　


[文献]
・松坂『解析入門4』18.2-G定理4(p.111):
・高橋『微分と積分2』 定理3.29(p.85)
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.127)
　

[条件T ：ヘッセ行列の固有値を持ち出す表現]
・T1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
かつ
・T2: 点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) の全ての固有値が正。

　※条件S⇔条件Tなのは、なぜ?　→正値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して　　　


[文献]
・黒田『微分積分学』定理8.18(p.314):ヘッセ行列固有値
　

[条件U ：ヘッセ行列の主小行列を持ち出す表現]
・U1: 点A=(a1,a2,…,an)は、 n変数実数値関数fの臨界点
　　　すなわち、 grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）
かつ
・U2:「点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのヘッセ行列Hf(a1,a2,…,an) 」の、
　　　　以下にあげる主小行列D1,D2,…,Dnの行列式が、どれも、プラス。
　　　　つまり、det Dk ＞0　　（k=1,2,…,n）　

[文献]
・黒田『微分積分学』定理8.19(p.315).
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.4(p.141)
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.4系(p.159) : ヘッセ行列の小行列式


　　　　　・D1：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－1)個潰してできた1行1列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D1＝
　　　　　・D2：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－2)個潰してできた2行2列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D2＝
　　　　　・D3：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から(n－3)個潰してできた3行3列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D3＝　
　　　　　：
　　　　　・Dn-1：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から1個潰してできた(n－1)行(n－1)列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、Dn-1＝ 　　　　　
　　　　　・Dn：『点A=(a1,a2,…,an)におけるn変数実数値関数fのn行n列ヘッセ行列 』Hf(a1,a2,…,an)から、同じ番号の行・列を、後から0個潰してできたn行列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、Dn＝Hf(a1,a2,…,an)
　※条件S⇔条件Uとなるのは、なぜ?　→　正値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して　
証明

[条件Q2⇔条件R2⇔条件S2の証明]
　n次元縦ベクトルh＝t(h1,h2,…,hn)とすると、
　 thHf(a)h＝(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)

　　　　　　＝
　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　∵行列積の定義　
　　　　　　＝
　　　　　　　
　　　　　　　　：
　　　　　　　…　　
　　　　　　　　　　　　　　　∵横ベクトルと縦ベクトルとの積の定義

→「狭義極小の2階十分条件」冒頭へ戻る
証明 条件U⇒(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) (f(P)＞f(A) ) [文献]
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.4の証明
証明 [条件Q⇒ 「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義極小」]
仮定Q1： grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
仮定Q2：任意の(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、Q(h1,h2,…,hn)＞０
 [文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.170) 完全な証明
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.126)：テイラーの定理と連続性から。不十分。

　　　　ただし、
　　　　 　Q(h1,h2,…,hn)
　　　　　＝
　　　　　　　
　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　：
　　　　　　　　…　　

Ⅰ.

テイラー展開の公式によって、
　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋gradf(a1,a2,…,an)・(h1,h2,…,hn)＋(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 　　　　　　
とおくと、
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定Q1「grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)」より、
　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an)＝(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。
　
Ⅱ.

任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2
を、(h1,h2,…,hn)の関数としてみると、
　　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最小値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定Q2より、
L>０
を満たす。
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)　⇒　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧Ｌ>０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　　
だから、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　∥(h1,h2,…,hn)∥≠0　⇒　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧Ｌ>０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』
　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　（∵ノルムの定義：　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　）
において、
Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最小値Lが存在し、L>０
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ∈D）（Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧Ｌ>０）


*　*　*　*　*　*
「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2の最小値L」の存在証明：最大値最小値定理から。　

　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2

　＝｛　
　　　　　　　
　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　…　｝／　∥(h1,h2,…,hn)∥2
　＝　
　　　　　
　　　　　　＋…
　　　　　　　：
　　　　　　　…

　＝　
　　　　　
　　　　　　＋…
　　　　　　　：
　　　　　　　…　
　＝　
　　　　
　　　　　＋…
　　　　　　：
　　　　　　…
　すると、Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2 は、
　　　　　n変数n値ベクトル値関数φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ )
　　　　　と
　　　　　n変数実数値関数
　　　　　　ψ(h'1,h'2,…,h'n)＝
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　＋…
　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　との合成関数
　である。
　　つまり、
　　　　Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2 ＝ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　　　
・φ(h1,h2,…,hn)　とは、(h1,h2,…,hn)　の単位ベクトル化に他ならないから、
　任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、∥ φ(h1,h2,…,hn) ∥＝１を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　に対して、
　φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ )の値域は、　　　
　　　　　　　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　
　これは、要するに、原点を中心とする半径1のn次元球体の表面である。
・{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ( h'1,h'2,…,h'n )　は、{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　で連続（∵二次形式で定義される多変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥ ＝1 }　におけるψ( h'1,h'2,…,h'n )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　は、
　　　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。　　　　　　　　　　　　

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）(　∥(h1,h2,…,hn)∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の {(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最小値」L
　から作った正値 L/2 を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε=L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε=L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)　）( R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「Q(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最小値」Lに対して、
　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜L/2 ）
　　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　(　 R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ UL/2(0)　)


Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)  /∥(h1,h2,…,hn)∥2＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2　≧　Ｌ/2 ＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(h1,h2,…,hn))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( (1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＞０　)


Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an) ＝(1/2)Q(h1,h2,…,hn)＋R3 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＞f (a1,a2,…,an)　)

よって、仮定Q1,Q2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＞f (a1,a2,…,an)　)
が示されたことになる。

(a1+h1,a2+h2,…,an+hn)を(x1,x2,…,xn)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x1,x2,…,xn)∈Rn ）（０＜∥(x1,x2,…,xn)－(a1,a2,…,an)∥＜δ　⇒　f (x1,x2,…,xn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x1,x2,…,xn)∈ U*δ(a1,a2,…,an)) (f (x1,x2,…,xn)＞f (a1,a2,…,an) )
となるから、
仮定Q1,Q2のもとで、
点A=(a1,a2,…,an)は、f の狭義の極小点である。

→「狭義極小の2階十分条件」冒頭へ戻る　

証明

 [条件R⇒ 「n変数実数値関数fは点(a1,a2,…,an)で狭義極小」]
仮定R1： grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)
仮定R2： 任意のn次元数ベクトル (h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二次形式  (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＞０　

Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)= f (a1,a2,…,an)＋gradf(a1,a2,…,an)・(h1,h2,…,hn)＋(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)＋R3 　　　　　　
とおくと、
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定R1「grad f (a1,a2,…,an)=(０,０,…,０)」より、
　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an)＝(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、
　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2
を、(h1,h2,…,hn)の関数としてみると、
　　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最小値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定R2より、
L>０
を満たす。
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)　⇒　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧L>０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　　
だから、
（∀(h1,h2,…,hn) ）（　∥(h1,h2,…,hn)∥≠0　⇒　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧Ｌ>０）
と言っても同じことである。 　
*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』
　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}　（∵ノルムの定義：　(h1,h2,…,hn)＝(０,０,…,０)　⇔　∥(h1,h2,…,hn)∥＝0　）
において、
(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最小値Lが存在し、L>０
つまり、
（∀(h1,h2,…,hn) ∈D）（(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2≧Ｌ>０）

**********
[ (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　　の最小値Lの存在証明：最大値最小値定理から]
　　
・(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　は、　
　　n変数n値ベクトル値関数φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ) と
　　n変数実数値関数ψ(h'1,h'2,…,h'n)＝ (h'1,h'2,…,h'n) Hf(a1,a2,…,an) t(h'1,h'2,…,h'n)
　　との合成関数
　である。
　つまり、
　　　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　＝ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　　　
　　なぜなら、
　　（(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)）/∥(h1,h2,…,hn)∥2　
　　　　　　　　　　＝（(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)）（1/∥(h1,h2,…,hn)∥）（1/∥(h1,h2,…,hn)∥）　　　　　
　　　　　　　　　　＝（(h1,h2,…,hn)/∥(h1,h2,…,hn)∥）Hf(a1,a2,…,an)（t(h1,h2,…,hn)/∥(h1,h2,…,hn)∥）　　∵行列積とスカラー積の混合式の性質　
　　　　　　　　　　＝((h1,h2,…,hn)/∥(h1,h2,…,hn)∥）Hf(a1,a2,…,an) t((h1,h2,…,hn)/∥(h1,h2,…,hn)∥）　　　　∵行列のスカラー倍と転置の性質　
　　したがって、φ(h1,h2,…,hn)＝(h1/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,h2/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ,…,hn/　∥(h1,h2,…,hn)∥ ) 、ψ(h'1,h'2,…,h'n)＝ (h'1,h'2,…,h'n) Hf(a1,a2,…,an) t(h'1,h'2,…,h'n) とおくと、
　　　(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　＝(φ(h1,h2,…,hn)）Hf(a1,a2,…,an) t(φ(h1,h2,…,hn)）＝Hf(a1,a2,…,an)[φ(h1,h2,…,hn)]　＝ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　
　　である。

・φ(h1,h2,…,hn)　とは、(h1,h2,…,hn)の単位ベクトル化に他ならないから、
　任意の非零n次元数ベクトル(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)に対して、∥ φ(h1,h2,…,hn) ∥＝１を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠(０,０,…,０)}　に対して、
　φ(h1,h2,…,hn)＝(h1,h2,…,hn)/∥(h1,h2,…,hn)∥の値域は、　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥＝1 }　。
　これは、要するに、原点を中心とする半径1のn次元球体の表面である。

・{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥＝1 }　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ(h'1,h'2,…,h'n)　は、{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥＝1 }　で連続（∵二次形式で定義される多変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　　{(h'1,h'2,…,h'n)∈Rn|∥(h'1,h'2,…,h'n)∥＝1 }におけるψ( h'1,h'2,…,h'n )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(h1,h2,…,hn) )　は、
　　　D＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|(h1,h2,…,hn)≠(０,０,…,０)}＝{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠(０,０,…,０)}　　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　→ ０ ( ∥(h1,h2,…,hn)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）(　∥(h1,h2,…,hn)∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)/　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の {(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最小値」L
　から作った正値 L/2 を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε=L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　| R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2|＜ε=L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)　）( R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) /　∥(h1,h2,…,hn)∥2　の{(h1,h2,…,hn)∈Rn|∥(h1,h2,…,hn)∥≠0}における最小値」Lに対して、
　　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2＜L/2 ）
　　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　　（∃δ>０）（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　(　 R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ∈ UL/2(0)　)

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn)   /∥(h1,h2,…,hn)∥2＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2　≧　Ｌ/2 ＋R3/∥(h1,h2,…,hn)∥2 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(h1,h2,…,hn))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　(1/2) (h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( (1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＞０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)－ f (a1,a2,…,an) ＝(1/2)(h1,h2,…,hn) Hf(a1,a2,…,an) t(h1,h2,…,hn) ＋R3 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(h1,h2,…,hn)の範囲に対する制限「０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(h1,h2,…,hn)に対して、
　　　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＞f (a1,a2,…,an)　)

よって、仮定R1,R2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(h1,h2,…,hn)∈Rn ）（０＜∥(h1,h2,…,hn)∥＜δ　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*δ(0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＞f (a1,a2,…,an)　)
が示されたことになる。

(a1+h1,a2+h2,…,an+hn)を(x1,x2,…,xn)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x1,x2,…,xn)∈Rn ）（０＜∥(x1,x2,…,xn)－(a1,a2,…,an)∥＜δ　⇒　f (x1,x2,…,xn) ＞ f (a1,a2,…,an)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x1,x2,…,xn)∈ U*δ(a1,a2,…,an)) (f (x1,x2,…,xn)＞f (a1,a2,…,an) )
となるから、
仮定R1,R2のもとで、
点A=(a1,a2,…,an)は、f の狭義の極小点である。

→「狭義極小の2階十分条件」冒頭へ戻る　

証明

[条件S⇒ 「n変数実数値関数fは点a=(a1,a2,…,an)で狭義極小」]
仮定S1： grad f (a)=〇
仮定S2：任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠〇に対して、
　　　　　n変数実数値関数fのaにおけるヘッセ行列Hf(a)によって定まる二次形式　Hf(a)[h] ＝ thHf(a)h＞０　

Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
f (a+h)= f (a)＋gradf(a)h＋(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 　
とおくと、
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ )
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、仮定S1「grad f (a)=〇」より、
　　　f (a+h) － f (a) ＝  (1/2)Hf(a)[h] ＋R3　　…I-(1)
　　かつ　
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ ) …I-(2)　
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
Hf(a)[h] /　∥h∥2　　　　　　　　
を、hの関数としてみると、
任意の n次元数ベクトルh= (h1,h2,…,hn)≠〇に対して、
　　　Hf(a)[h] /　∥h∥2　　の最小値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定S2より、
　L>０
を満たす。
つまり、
（∀h ）（　h≠〇　⇒　Hf(a)[h] /　∥h∥2　≧L >０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　　
だから、
（∀h ）（　∥h∥≠〇　⇒　Hf(a)[h] /　∥h∥2　≧L >０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『Rn上の点集合』D＝{h∈Rn|h≠〇}＝{h∈Rn|∥h∥≠〇}　（∵ノルムの定義：　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　）
において、
Hf(a)[h] /∥h∥2　の最小値Lが存在し、L>０
つまり、
（∀h ∈D）（Hf(a)[h] /∥h∥2≧L>０
　　　
**********
[Hf(a)[h] /　∥h∥2　　の最小値Lの存在証明：最大値最小値定理から]
　　
・Hf(a)[h] /　∥h∥2　は、　
　　n変数n値ベクトル値関数φ(h)＝h/∥h∥ と　n変数実数値関数ψ(h')＝Hf(a)[h'] ＝ th' Hf(a)h'
　　との合成関数
　である。
　つまり、
　　　　Hf(a)[h] /　∥h∥2　＝ψ( φ(h) )　　　
　　なぜなら、
　　Hf(a)[h] /∥h∥2＝（thHf(a)h）/∥h∥2　
　　　　　　　　　　　　∵ n変数実数値関数fのaにおけるヘッセ行列Hf(a)によって定まる二次形式を表す記号
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Hf(a)[h]の定義

　　　　　　　　　　＝（thHf(a)h）（1/∥h∥）（1/∥h∥）　　　　　
　　　　　　　　　　＝（th/∥h∥）Hf(a)（h/∥h∥）　　　∵行列積とスカラー積の混合式の性質　
　　　　　　　　　　＝t(h/∥h∥）Hf(a)（h/∥h∥）　　　　　　　∵行列のスカラー倍と転置の性質　
　　したがって、φ(h)＝h/∥h∥ 、ψ(h')＝Hf(a)[h'] ＝ th' Hf(a)h'とおくと、
　　　Hf(a)[h] /　∥h∥2　＝t(φ(h)）Hf(a)（φ(h)）＝Hf(a)[φ(h)]　＝ψ( φ(h) )　
　　である。

・φ(h)　とは、hの単位ベクトル化に他ならないから、
　任意の非零n次元数ベクトルh≠〇に対して、∥ φ(h) ∥＝１を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{h∈Rn|h≠〇}＝{h∈Rn|∥h∥≠〇}　に対して、
　φ(h)＝h/∥h∥の値域は、　{h'∈Rn|∥h∥＝1 }　。
　これは、要するに、原点を中心とする半径1のn次元球体の表面である。

・{h'∈Rn|∥h'∥＝1 }　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ(h')　は、{h'∈Rn|∥h'∥＝1 }　で連続（∵二次形式で定義される多変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　　{h'∈Rn|∥h'∥＝1 }におけるψ( h' )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(h) )　は、
　　　D＝{h∈Rn|h≠〇}＝{h∈Rn|∥h∥≠〇}　　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀h∈Rn ）(　∥h∥∈ U*δ(0)⇒ R3/∥h∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Hf(a)[h] /　∥h∥2　の {h∈Rn|∥h∥≠0}における最小値」L
　から作った正値 L/2 を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε=L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε=L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈U*δ(0)　）( R3/∥h∥2 ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」

・つまり、
　Ⅱで出てきた「Hf(a)[h] /　∥h∥2　の {h∈Rn|∥h∥≠0}における最小値」Lに対して、
　　（∀h∈Rn）（０＜∥h∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥h∥2＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥h∥2＜L/2 ）
　　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　　（∃δ>０）（∀h∈U*δ(0)）　(　 R3/∥h∥2 ∈ UL/2(0)　)

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(a)[h]  /∥h∥2＋R3/∥h∥2　≧　Ｌ/2 ＋R3/∥h∥2 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥h∥2 (＞０)をかけて、
（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
を満たす限りで任意のhに対して、
　　　(1/2)Hf(a)[h] ＋R3＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀h∈U*δ(0)）　( (1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＞０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h) － f (a) ＝(1/2)Hf(a)[h] ＋R3 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h) － f (a) ＞０　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
　　を満たす限りで任意のhに対して、
　　　f (a+h)＞ f (a) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀h∈U*δ(0)）　( 　f (a+h)＞ f (a) 　)

よって、仮定S1,S2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀h∈Rn ）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f (a+h)＞f (a) 　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀h∈U*δ(0)）　( f (a+h)＞ f (a) )
が示されたことになる。

a+hをxと書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀x∈Rn ）（０＜∥x－a∥＜δ　⇒　f (x)＞ f (a)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀x)∈ U*δ(a))  ( f (x)＞f (a) )
となるから、
仮定S1,S2のもとで、
点aは、f の狭義の極小点である。

[文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.170) 完全な証明
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.8(p.126)：テイラーの定理と連続性から。不十分。
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※

 　 　
　 　

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n変数関数の鞍点の二階十分条件
設定
[文献]
・高橋『微分と積分2』 定理3.29(p.85):ヘッセ行列の正負。
・




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