集合の基本概念−定義と記号 : トピック一覧
1.集合の記述方法:外延的記法/内包的記法 |
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【 同値条件:=φ / ≠φ 】
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【文献】松坂『集合・位相入門』p.16、高橋『経済学とファイナンスのための数学』1、『岩波数学辞典(第三版)』項目162B(pp.428-429)、クラメール『統計学の数学的方法』1.2(p.4) |
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* 複数の集合のunionを、下記のように略記することがある。 |
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* 例 ・style council ∩ jam = { Paul Weller } ・YMO ∩ はっぴいえんど = { 細野晴臣 } ・YMO ∩ サディスティック・ミカバンド = { 高橋幸宏 } * 複数の集合の intersection を、下記のように略記することがある。 |
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5.集合間の関係を表現する記号
【概観】集合間の包含関係を分類すると… [中谷『論理』
5.3-A(p.119)] |
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【包含関係の同値条件】・ 「A⊃B」「B⊂A」は、「Ac⊂Bc」「A∪Bc= Ω」「Ac∩B = φ」「B−A = φ」と互いに言い換え可。 [→詳細] ・ 「A ![]() ![]() ![]() ・ 「A ![]() ![]() ![]() ・ A⊃B ⇔ B⊂A ⇔ A∪B=A ⇔ A∩B=B [A⊃B ⇔ A∪B=A : 中谷『論理』 5.3-B-(5.2.30)(p.123):証明付(p.124);中内『ろんりの練習帳』例3.1.20(p.141)証明付;] [A⊃B ⇔ A∩B=B : 中谷『論理』 5.3-B-(5.2.32)(p.124):証明略。練習問題4-1(2)(p.125):証明略;中内『ろんりの練習帳』例3.1.20(p.141)証明付 ] |
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【文献】『岩波数学辞典(第三版)』項目162(p.429);松坂『集合・位相入門』1章§3A(p.22);高橋『経済学とファイナンスのための数学』3.彌永『集合と位相I』§2.2順序対、直積、対応、写像(pp.31-2);薩摩『確率・統計』p.6 |
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・A1×A2×…×An |
[文献]・『岩波数学辞典(第三版)』項目162(p.429);・松坂『集合・位相入門』1章§5D(p.46); ・斉藤『集合・数・位相』1.1.11定義(p.6)。 |
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名称 |
A1,A2,…,Anの「直積」「積空間」「直積集合」 | |
意味 |
・「集合Aと集合Bの直積」とは、 以下の手順でつくった集合のことをいう。 [step1] 集合A1から元a1,集合A2から元a2,…,集合Anから元anをとって、 この順番で並べたn組をつくる。 このn組を(a1,a2,…,an) で表す。 [step2] 集合A1からどの元をとるのか、 集合A2からどの元をとるのか、 : 集合Anからどの元をとるのかによって、 (a1,a2,…,an)は様々。 この様々な(a1,a2,…,an)を全て集めて集合をつくる。 [step3] この様々な(a1,a2,…,an)を全て集めた集合が、 A1,A2,…,Anの「直積」 。 ・すなわち、 A1×A2×…×An = { (a1,a2,…,an) | a1∈A1 かつ a2∈A2 かつ … かつ an∈An } |
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活用例 |
距離空間の台としての実数体のn個の直積Rn、体K上のn次元数ベクトル空間の台としての体Kのn個の直積Kn |
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