集合関数の例7　R²上の区間塊の面積

集合関数の例7-a　R²上の区間塊の面積　

　　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例3(pp.13-15) ;
　　　高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　
(舞台設定)　
R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈Rかつy ∈R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ−∞<y<＋∞ }　
集合系(族)　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、は R²の部分集合系(族)となっている。
Ψ(I) 　　　：R²上の左半開区間の面積を表す集合関数。
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i)　I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) = (b−a) (b'−a')　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(I) =Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
(定義:集合関数μ)　
に属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
ことができる。　　
すなわち、
に属す、すべてのEには常に、
　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　　　　　　　例：下図緑の区間塊は、互いに素な、3個の、R²上の有界な左半開区間
　　　　　　　　　　I₁＝(a₁ , b₁] ×(c₁ ,d ₁], I₂＝(a₂ , b₂] ×(c₂ ,d ₂] , I₃＝(a₃ , b₃] ×(c₃ ,d ₃]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（a₁ = a₃, b₁= a₂= b₃, c₁= c₂, d₁= d₂= c₃）　
　　　　　　　　　　の直和として表せる。
　　　　　　　
そこで、R²上の区間塊Eの面積を、
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　（Ψ: 区間Iの面積を表す集合関数）
なる関数μで定義する。
　　※区間塊ですらないR上の集合一般の面積を測るためには、2次元ルベーグ測度。　　　　

(性質)　(R²上の区間塊Eの面積を定義する)関数μ(E)は、以下の性質をもつ。　
性質1.
　定義域がR²の部分集合系(族)　となるので、関数μ(E)は、R²で定義された-集合関数となる。　
　値域は「広義の実数」R^*上の区間[0,＋∞]。
　　　→なぜなら、任意のE∈に対して、μ(E)は左半開区間の面積を表す集合関数Ψの有限和。　
　　　　　　　集合関数Ψは、常に0≦Ψ(I)≦＋∞だから。　
　　　　　　　広義の実数R^*で定義された演算規則より、0≦μ(E)≦＋∞　。
　　※値域はあくまで「広義の実数」であって、実数ではない。
　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。　　
性質2.
　R²で定義された-集合関数μ(E)の定義域は、有限加法族である。（∵）　
性質3.
　R²で定義された-集合関数μ(E)は、上の有限加法的測度である。※なぜ？→証明　
　ゆえに、μは、上の有限加法的測度の性質を満たし、

		n		n
・有限加法性：	（∀E1,E2,…En∈）（ Ei∩Ej ＝φ(i≠j)　⇒　μ(		Ei ) ＝		μ(Ei)　）
		i=1		i=1

・単調性：

（∀E1,E2∈）（ 　E1⊃E2　⇒ μ(E1)≧μ(E2)　）

		n		n
・有限劣加法性	（∀E1,E2,…En∈）（ μ(	∪	Ei ) ≦		μ(Ei)　）
		i=1		i=1

性質4.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(pp.19-20);]

　type 1: 左半開区間(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　type 2: (−∞, b]　(ただし−∞< b<＋∞)、
　type 3: (a , ∞)　(ただし−∞< a <＋∞)、
　type 4: (−∞, ∞)　
　type 5: 空集合φ 　

のいずれかのかたちのR上区間の直積である限りで任意の区間Iと、
区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、
　　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　空集合φ 　　　
のいずれかのかたちをした、ある区間Jが存在し、
　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　
を満たす。
すなわち、
　(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞) , φのいずれかのかたちのR上区間の直積をすべて集めた集合系をI、
　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ], φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、

　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂I かつ α<μ(J) )　　

(詳細)
・Iが空集合φ以外のケース　
　　(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞)の直積である限りで任意の区間Iと、
　　このIにたいして任意にとったα<μ(I)に対して、　
　　ある有界区間J=(a^*, b^*]×(a'^*, b'^*]　(−∞< a^*< b^*<＋∞, −∞< a'^*< b'^*<＋∞)
　　が存在して、
　　　[J]=[a^*, b^*]×[a'^*, b'^*]⊂I　かつ　α<μ(J) =(b^*−a^*) (b'^*−a'^*)　
　　を満たす。
・Iが空集合φのケース　　
　　区間I=φ　と、区間I=φにたいして任意にとったα<μ(I)=μ(φ)=0に対して、　
　　　　J=φは、[J]⊂ I=φ　かつ　α<μ(J)　を満たす　

　※なぜ？→証明　　　　　
　※活用例→性質5の証明　

性質5.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20); 小谷『測度と確率1』補題4.1(p.72)。]
　R²上の任意の区間塊E と、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、
　ある有界な区間塊Fが存在して、　
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α<μ(F)　　
　を満たす。
　( ∀E∈ ) ( ∀α<μ(E) ) (∃F∈) ( [F]⊂E かつ α<μ(F) )
　※なぜ？→証明　　　　　
　※活用例→性質6の証明　

性質6.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(pp. 20-21) ; 小谷『測度と確率1』補題4.1(p.72)。]
R²上の任意の区間塊E と、この区間塊Eを覆う任意の「矩形の可算被覆」{I_n}に対して、
μ( )は、次の不等式を満たす。

		∞
	μ(E) ≦		μ(In)
		n=1

　　　　　つまり、　μ(E)≦μ(I₁)＋μ(I₂)＋μ(I₃)＋…　が成り立つ。
※R²上の任意の区間塊E が、非有界である場合　

		∞
	μ(E) ＝		μ(In)　＝ ∞
		n=1

　　となるが、この、等号「=」は、広義の実数R^*で定義された演算規則「∞=a+∞」の意味での等号「=」であって、
　　実数の枠内で普通にいう等号「=」の意味でではない。　　　　

※ただし、ここでいう、Eを覆う「矩形の可算被覆」とは、
　次の2条件を満たす可算無限個の「2次元ユークリッド空間R²上の矩形の列」{ I₁ , I ₂ , I ₃ ,…}を指す。　
　　(条件1) 矩形の列の要素I₁ , I ₂ , I ₃ ,…はすべて、以下のいずれかのかたちのR上区間の直積であること。
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　　(条件2) Eを被覆すること、つまり、　

　　　　　　を満たすこと。　　

　※なぜ？→証明　
　※活用例→性質7の証明　

性質7.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);高木『解析概論』113節 (pp.422-3);長さに限定.]
　　　R²で定義された-集合関数μ(E)は、有限加法族上の完全加法的測度となる。
　　　※なぜ？→証明　
※活用例：R2上の任意の集合のルベーグ外測度

集合関数の例7-b　R²上の区間塊の面積を一般化した集合関数　

[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例3(pp.13-15) ;高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　
(舞台設定)　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈Rかつy ∈R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ−∞<y<＋∞ }　
集合系(族)　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、は R²の部分集合系(族)となっている。
f₁ (x)、f₂ (x)　：　R上の実数値関数(つまり、f₁,f₂: R→R)で、R上単調増加関数。以下のΦに組み込まれる。
Φ(I)　　　　：　R²上の区間の面積を一般化した集合関数。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上の区間の直積となるR²上の区間Iに対して、
　　　　　　　(i)　I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Φ(I) ={ f₁ (b)−f₁ (a) } { f₂ (b')−f₂ (a') }　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Φ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外(つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形)ならば、
　　　　　　　　　　Iに含まれる任意の区間J=(a, b]×(a', b'](−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)に対して、　
　　　　　　　　　　Φ(I) = sup {Φ( J ) }= sup { { f₁ (b)−f₁ (a) } { f₂ (b')−f₂ (a') }}　
　　　　　　　　　※f₁ (x)= f₂ (x)= xとしてf (x)を組み込んだΦ(I)= (b−a) (b'−a')が、
　　　　　　　　　　「R²上区間(矩形)Iの面積」Ψ(I)。
(定義:集合関数μ)　
に属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
ことができる。　　
すなわち、
に属す、すべてのEには常に、
　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　　　　　　　例：下図緑の区間塊は、互いに素な、3個の、R²上の有界な左半開区間
　　　　　　　　　　I₁＝(a₁ , b₁] ×(c₁ ,d ₁], I₂＝(a₂ , b₂] ×(c₂ ,d ₂] , I₃＝(a₃ , b₃] ×(c₃ ,d ₃]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（a₁ = a₃, b₁= a₂= b₃, c₁= c₂, d₁= d₂= c₃）　
　　　　　　　　　　の直和として表せる。
　　　　　　　
そこで、面積を一般化した集合関数Φを用いて、　
　μ(E)=Φ(I₁)＋Φ(I₂)＋…＋Φ(I_n)　
と、関数μを定義する。　
　このうち特に、f₁ (x)= f₂ (x)= x　として　Φ(I)=(b−a) (d−c)とした際のμ(E)は、
　R²上の区間塊Eの面積となる。
(性質)　上記のとおり定義された関数μは、以下の性質をもつ。　
性質1. 定義域がR²の部分集合系(族)　となるので、関数μは、R²で定義された実数値E-集合関数となる。　
性質2. R²で定義された上記の実数値-集合関数μの定義域は、有限加法族である。（∵）　
性質3. R²で定義された上記の実数値-集合関数μは、上の有限加法的測度である。
　　　※なぜ？→証明　

性質4.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);高木『解析概論』113節 (pp.422-3);長さに限定.]
　　　R²で定義された上記の実数値-集合関数μが、有限加法族上の完全加法的測度となるとは限らない。
　　　R²で定義された上記の実数値-集合関数μが、有限加法族上の完全加法的測度となるための必要十分条件は、
　　　Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f₁ (x)、f₂ (x)がR上右連続であることである。
　　　すなわち、以下の命題P⇔命題Q1かつ命題Q2。
　　　　　命題P: R²で定義された上記の実数値-集合関数μは、有限加法族上の完全加法的測度。
　　　　　命題Q1: Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f₁ (x)がR上右連続。　　　
　　　　　命題Q2: Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f₂ (x)がR上右連続。　　　
　　　※面積は、f₁ (x)= f₂ (x)= xとしたときのΦ(I), μ(E)だったが、f₁ (x)= f₂ (x)= xはR上右連続だから、
　　　　R²上の区間塊Eの面積は、有限加法族(R²上の区間塊上)の完全加法的測度となる。
　　　※なぜ？→証明　

（reference）