R上の区間塊の面積を定義する集合関数μ( )の性質5の証明　
　　

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[準備]
・舞台設定　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ R かつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
　集合系(族)E　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、Eは R²の部分集合系(族)となっている。
　Ψ(I) 　　　：　R²上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数の全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i) I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
　と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
　と、　R²上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。　

[μ( )の性質5]　

　R²上の任意の区間塊E と、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α< μ(F)　　
　を満たす有界な区間塊Fが存在する。
　( ∀E∈E ) ( ∀α<μ(E) ) (∃F∈E ) ( [F]⊂E かつ α< μ(F) )
　　　　　　
[μ( )の証明]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]
Step0: 区間塊Eを、区間列{ I₁,…, I_n }にもどしたうえで、場合分け　
　Eは、R²上の任意の区間塊だから、
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）…(0-1)
　と表せる。　　
ここで、
case1:　　I₁,…,I_nがすべて、 (a, b]×(a', b']のかたちをしている場合、
case2:　　I₁,…,I_nのなかに、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)との直積が含まれる場合　
の二つの場合にわける。
Case1: I₁,…,I_nがすべて、(a, b]×(a', b']のかたちをしている場合
　　　この場合、　 μ(I₁) , μ(I₂) , …, μ(I_n)　すべてが、∞ではない　∵μ( )の定義、Ψ( )の定義　　
Case1-Step1:　　
任意の実数α<μ(E)にたいして、
　μ(E)−αをとると、μ(E)−α > 0 　∵実数の差の正負　
よって、
任意の実数α< μ(E)にたいして、
　( μ(E)−α)/nをとると　(nは、step0でEを区間I₁,…,I_nに分割したときの区間の個数)、
　( μ(E)−α)/n > 0
したがって、　　
任意の実数α< μ(E)にたいして、
　μ(I_k) − ( μ(E)−α)/nをとると、
　μ(I_k) − ( μ(E)−α)/n < μ(I_k)　を満たす (ただし、kは1からnまでの自然数)…(1-1)
Case1-Step2:　ある{ J₁,…, J_n }の存在証明　
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I₁と、　 μ(I₁) − ( μ(E)−α ) /n　< μ( I₁ )　にたいして、　　　　　
　[ J₁ ]⊂I₁　かつ　μ( J₁ ) > μ( I₁ )−( μ(E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J₁=(a^*₁ , b^*₁ ]×(a^*'₁ , b^*'₁ ]　(−∞< a^*₁< b^*₁<＋∞,−∞< a^*'₁< b^*'₁<＋∞) が存在する。…(1-2-1)
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I₂と、μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n　<　μ( I₂ )　にたいして、
　[ J₂ ]⊂I₂　かつ　μ( J₂ ) >μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J₂=(a^*₂ , b^*₂ ]×(a^*'₂ , b^*'₂ ]　　(−∞< a^*₂< b^*₂<＋∞−∞< a^*'_n< b^*'_n<＋∞)が存在する。…(1-2-2)
：
：
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I_nと、 μ( I_n )−( μ(E)−α)/n　< μ( I_n )　にたいして、　
　[ J_n ]⊂I_n　かつ　μ( J_n ) >μ( I_n )−(μ(E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J_n=(a^*_n , b^*_n ]×(a^*'_n , b^*'_n ]　(−∞< a^*_n< b^*_n<＋∞,−∞< a^*'_n< b^*'_n<＋∞)が存在する。…(1-2-n)

Case1-Step3:　F=J₁+…+ J_nの性質　
・J₁,…, J_nは互いに素。…(1-3-1)
　　なぜなら、
　　(0-1)よりI₁,…,I_nは互いに素、
　　かつ、(1-2-1) (1-2-2),…,(1-2-n)より、[ J_k ]⊂I_k　(k=1,2,…, n)　　　
F= J₁＋…＋J_nとおく。…(1-3-2)
・[F] ⊂ E　
　なぜなら、
　　[F]=[ J₁ ]+[ J₂ ]+…+[ J_n ]　　　　∵(1-3-2)　
　　　　⊂I₁＋…＋I_n　　　　　　　∵(1-2-1) (1-2-2),…,(1-2-n)　　
　　　　　=E　　∵(0-1)
・μ(F) >α
　なぜなら、
　　μ(F)=μ(J₁)+μ(J₂)+…+μ(J_n)　∵ J₁,…, J_nは互いに素で、すべて区間塊だから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ( ) 性質3(有限加法性)を適用。　　
　　　　　>μ( I₁ )−(μ(E)−α)/n＋μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n＋…＋μ( I_n )−(μ(E)−α)/n　　∵(1-2-1) (1-2-2),…,(1-2-n)
　　　　　　=μ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n)−(μ(E)−α)　
　　　　　　=μ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n) −μ(E)＋α　　
　　　　　　=μ(E)−μ(E)＋α　　∵ I₁,…, I_nは互いに素で、すべて区間塊だから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ( ) 性質3(有限加法性)よりμ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n) =μ(E)
　　　　　　＝α　　　
Case1-Step4:　結論　
以上から、
　区間塊Eを有界な左半開区間の直積(a, b]×(a', b']の直和として表せるケースでは、
　Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α< μ(F)　　
　を満たす有界な区間塊Fとして、上にあげたようなものが少なくとも存在することが明かとなった。

Case2: I₁,…,I_nのなかに、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)との直積が含まれる場合　
Case2-Step1:　　
I₁,…,I_nのなかで、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)のかたちをした区間のひとつを選び出し、
これを、I_k*と名づける。
μ( )の性質4より、
　区間I_k*と任意の実数αにたいして、
　　　　　[J _k*]⊂I_k*　　　…(2-1-1)
　　かつ
　　　　α<μ(J _k*)　　　…(2-1-2)
　を満たす有界区間J _k*=(a^* , b^* ]×(a^*', b^*' ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞,−∞< a^*'< b^*'<＋∞) が存在する。
Case2-Step2:　　
有界な区間塊F= J _k*　とおく。…(2-2-1)
このとき、
　　[F]=[J _k*]　　　∵(2-2-1)
　　　⊂I_k*　　　∵(2-1-1)
　　　　⊂E　　　∵(0-1)
　μ(F)=μ(J _k*)　　　∵(2-2-1)
　　　　　>α　　　∵(2-1-2)　
Case2-Step3:　結論　
以上から、
　区間塊Eを有界な左半開区間の直積(a, b]×(a', b']の直和として表せないケースでも、
　任意の実数αにたいして（だから、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいしても）、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α<μ(F)　　
　を満たす有界な区間塊Fとして、上にあげたようなものが少なくとも存在することが明かとなった。

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