集合関数の例3　矩形の面積とその一般化

集合関数の例3-a　矩形の面積　

　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例2(pp.13-14); ;高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　

(設定)　

R²：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈Rかつ y ∈R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
I　：　
　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　type 5: 空集合φ 　　　
　　のいずれかのかたちのR上の区間の直積となるR²上の区間
　　つまり、
　　φ　
　　(a, b]×(a', b']={ (x,y) | a<x≦bかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(a, b]×(−∞, b']={ (x,y) | a<x≦bかつ y≦b' }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< b'<＋∞)、
　　(a, b]×(a', ∞)={ (x,y) | a<x≦bかつ a'<y }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(a, b]×(−∞, ∞)={ (x,y) | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞)　
　　(−∞, b]×(a', b']={ (x,y) | x≦bかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(−∞, b]×(−∞, b']={ (x,y) | x≦bかつ y≦b' }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< b'<＋∞)
　　(−∞, b]×(a', ∞)={ (x,y) | x≦bかつ a'<y }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(−∞, b]×(−∞, ∞)={ (x,y) | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)
　　(a , ∞) ×(a', b']={ (x,y) | a<xかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(−∞, b']={ (x,y) | a<xかつ y≦b' }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< b'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(a', ∞)={ (x,y) | a<xかつ a'<y }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(−∞, ∞)={ (x,y) | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)
　　(−∞, ∞)×(a', b']={ (x,y) | a'<y≦b' }　(ただし−∞< a'< b'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(−∞, b']={ (x,y) | y≦b' }　(ただし−∞< b'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(a', ∞)={ (x,y) | a'<y }　(ただし−∞< a'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(−∞, ∞)={ (x,y) | x∈Rかつy∈R }　　
　　のいずれか
　　　　　　　　
　　　　※これらは、R²の部分集合となっている(当たり前だけど)。
I　　：　上記のR²上の区間Iとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　※上記のR²上の区間Iは、どれも、R²の部分集合だから、
　　　　　　Iは R²の部分集合系(族)となっている。　
　　　　※以上のように、I, Iを定義するとき、　I⊂R²かつI ∈I　は満たされている。　
　f₁, f₂：　：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。

(定義)　

  R²上の区間Iの面積を、
　(i) 区間Iが(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)のかたちの区間であるとき、
　　　　Ψ(I) = (b−a) (b'−a')　　　
　　　　　　※ a<b, a'<b'だから、常に、Ψ(I) ＞0となる。
　(ii) 区間Iがφであるとき、　
　　　　Ψ(I) =Ψ(φ) = 0　　
　(iii) 区間Iがそれ以外のかたちの区間(つまり、(−∞, b]×(a', ∞)など非有界の矩形)であるとき、
　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　　
という値のとりかたをする関数Ψ(I)で定義する。

(性質)　

1.定義域が、R²の部分集合系(族) Ｉ　となるので、
　　　　　　R²上の区間Iの面積を定義する関数Ψ(I)は、「R²で定義されたＩ-集合関数」である。　
2. 値域は、広義の実数R^*上の区間[0,+∞]。つまり、0≦Ψ(I)≦＋∞。Ψ(I)=0となるのはI=φのケースのみ。
　　※値域はあくまで「広義の実数」であって、実数ではない。
　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（主に＋∞、−∞）注意。　　　　

※活用例：R²上の区間塊の面積を定義する関数、R²上の任意の集合のルベーグ外測度　

集合関数の例3-b　矩形の面積を一般化した集合関数Φ

　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例2(pp.13-15); ;高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　

(設定)　

R²：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈Rかつ y ∈R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
I　：　
　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　type 5: 空集合φ 　　　
　　のいずれかのかたちのR上の区間の直積となるR²上の区間
　　つまり、
　　φ　
　　(a, b]×(a', b']={ (x,y) | a<x≦bかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(a, b]×(−∞, b']={ (x,y) | a<x≦bかつ y≦b' }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< b'<＋∞)、
　　(a, b]×(a', ∞)={ (x,y) | a<x≦bかつ a'<y }　(ただし−∞< a< b<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(a, b]×(−∞, ∞)={ (x,y) | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞)　
　　(−∞, b]×(a', b']={ (x,y) | x≦bかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(−∞, b]×(−∞, b']={ (x,y) | x≦bかつ y≦b' }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< b'<＋∞)
　　(−∞, b]×(a', ∞)={ (x,y) | x≦bかつ a'<y }　(ただし−∞< b<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(−∞, b]×(−∞, ∞)={ (x,y) | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)
　　(a , ∞) ×(a', b']={ (x,y) | a<xかつ a'<y≦b' }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(−∞, b']={ (x,y) | a<xかつ y≦b' }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< b'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(a', ∞)={ (x,y) | a<xかつ a'<y }　(ただし−∞< a<＋∞, −∞< a'<＋∞)
　　(a , ∞) ×(−∞, ∞)={ (x,y) | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)
　　(−∞, ∞)×(a', b']={ (x,y) | a'<y≦b' }　(ただし−∞< a'< b'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(−∞, b']={ (x,y) | y≦b' }　(ただし−∞< b'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(a', ∞)={ (x,y) | a'<y }　(ただし−∞< a'<＋∞)
　　(−∞, ∞)×(−∞, ∞)={ (x,y) | x∈Rかつy∈R }　　
　　のいずれか
　　　　　　　　
　　　　※これらは、R²の部分集合となっている(当たり前だけど)。
I　　：　上記のR²上の区間Iとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　※上記のR²上の区間Iは、どれも、R²の部分集合だから、
　　　　　　Iは R²の部分集合系(族)となっている。　
　　　　※以上のように、I, Iを定義するとき、　I⊂R²かつI ∈I　は満たされている。　
　f₁, f₂：　：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。

(定義:集合関数Φ)　

関数Φを、
　(i)　区間Iが(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)のかたちの区間であるとき、
　　　Φ(I) ={ f₁ (b)−f₁ (a) } { f₂ (b')−f₂ (a') }　　　
　　　　　　※f₁, f₂は単調増加関数で、a<b,a'<b'だから、常に、Φ(I) ＞0となる。
　(ii)　区間Iがφであるとき、　
　　　　　　Φ(φ) = 0　　
　(iii)　区間Iがそれ以外のかたちの区間であるとき、
　　　　　Iに含まれる任意の(a, b]×(a', b'] (−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)のかたちの区間J
　　　　　に対して、　
　　　　　Φ(I) = sup {Φ( J ) }= sup { { f₁ (b)−f₁ (a) } { f₂ (b')−f₂ (a') }}　　　　
　　　　　　　　※f (x)は単調増加関数で、a<b,a'<b'だから、常に、Φ(I) ＞0となる。
という値のとりかたをする関数と定義する。
・このうち特に、f₁ (x)= f₂ (x)= x　とした際のΦ(I)= (b− a) (d− c)＞0が、R²上の区間Iの面積Ψ(I)。

(性質)　

・定義域が、R²の部分集合系(族) Ｉ　となるので、
　　　　　　この関数Φ(I)は、R²で定義された実数値Ｉ-集合関数となる。　
・常に、Φ(I)≧0で、Φ(I)=0となるのはI=φのケースのみ。

※活用例：R²上の区間塊の面積を一般化した集合関数、R²上の任意の集合のルベーグ・スチルチェス外測度　

（reference）