R
2上の区間塊の面積を一般化した集合関数が、有限加法族の上で完全加法的な測度となるための必要十分条件の証明
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[準備]
・舞台設定
R2 ： 2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ Rかつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }
集合系(族)E ： R2上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
※区間塊Eは、R2の部分集合だから、Eは R2の部分集合系(族)となっている。
f1 (x)、f2 (x) ： R上の実数値関数(つまり、f1,f2: R→R)で、R上単調増加関数。以下のΨに組み込まれる。
Φ(I) ： R2上の区間の面積を一般化した集合関数Φ。
すなわち、
(i) I＝(a, b]×(a', b'] (−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Φ(I) ={ f1 (b)−f1 (a) } { f2 (b')−f2 (a') }
(ii) I=φならば、 Φ(φ) = 0
(iii) それ以外ならば、
Iに含まれる任意の区間J=(a, b]×(a', b'](−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)に対して、
Φ(I) = sup {Φ( J ) }= sup { { f1 (b)−f1 (a) } { f2 (b')−f2 (a') }}
※f1 (x)= f2 (x)= xとしてf (x)を組み込んだΦ(I)= (b− a) (d− c)が、
一般に「R2上区間(矩形)Iの面積」Ψ(I)。
・集合関数μの定義
Eに属す、すべてのEは、R2上の区間塊であるから、
type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b } (ただし−∞< a< b<＋∞),
type 2: (−∞, b]={ x | x≦b } (ただし−∞< b<＋∞)、
type 3: (a , ∞)={ x | a<x } (ただし−∞< a <＋∞)、
type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R
type 5: 空集合φ
のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
ことができる。
すなわち、
Eに属す、すべてのEには常に、
1以上の或る自然数nが存在して、
E= I1＋…＋In （ただし、I1,…,Inは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
と表せる。 ※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I1というケースも当然ありうるという意味。
そこで、R2上の区間の面積を一般化した集合関数Φを用いて、
μ(E)= Φ(I1)＋Φ(I2)＋…＋Φ(In)
と、関数μを定義する。
このうち特に、f1 (x)= f2 (x)= x として Φ(I)=(b−a) (d−c)とした際のμ(E)は、
R2上の区間塊Eの面積Ψとなる。
[本題]
R2で定義された上記の実数値E-集合関数μが、有限加法族E上の完全加法的測度となるとは限らない。
R2で定義された上記の実数値E-集合関数μが、有限加法族E上の完全加法的測度となるための必要十分条件は、
Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f1 (x)、f2 (x)がR上右連続であることである。
すなわち、以下の命題P⇔命題Q1かつ命題Q2。
命題P: R2で定義された上記の実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度。
命題Q1: Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f1 (x)がR上右連続。
命題Q2: Φ(I)に組み込まれている単調増加関数f2 (x)がR上右連続。
※面積は、f1 (x)= f2 (x)= xとしたときのΦ(I), μ(E)だったが、f1 (x)= f2 (x)= xはR上右連続だから、
R2上の区間塊Eの長さは、有限加法族(R2上の区間塊E上)の完全加法的測度となる。
[
証明：命題P⇒命題Q1] 伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);
(仮定) 命題P「R2で定義された上記の実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度」
が成り立つと仮定する。
すなわち、
1. すべての項が、R2上の有限加法族Eに属す
2. すべての項が、互いに素である、
3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
を満たす任意の「可算無限個の集合列」E1,E2,…をとれば、
が、R2で定義された上記の実数値E-集合関数μについて成り立つと仮定する。
(設定0)
定数 a ： R上の任意の一点。
(設定1)
設定0で決めた定数aから、以下の数列をつくる。
数列{λn }：λ n→ a (n→∞) かつ a＜…＜λn＜…＜λ2＜λ1
を満たす限りで任意の数列
(設定1.5)
−∞<f2(a')<f2(b')<∞ を満たす限りで、二つの実数a',b'を決める。
f2 (x)は単調増加関数とされているから、これに従って決めると、a'<b'である。
(設定2)
設定1で決めた数列{λn }と、設定1.5で決めたa',b'から、以下のR 2上の左半開区間をつくる。
I1=(λ2,λ1]×(a',b']、 I2=(λ3,λ2]×(a',b']、 I3=(λ4,λ3]×(a',b']、…、 In=(λn+1,λn]×(a',b']、…
I =(a,λ1]×(a',b']
Step1: 設定2でつくった左半開区間列の性質の検討
設定2より、I, I1, I2 ,…, In ,…はすべて、R2上の区間塊のひとつだから、
I, I1, I2 ,…, In ,…∈E
なお、Eは、有限加法族。（∵） …(1)
設定2より、 I= I1+ I2+…+ In+… つまり、
…(2)
(1)と(2)より、I1+ I2+…+ In+…= I∈E …(3)
以上から、
設定2でつくったR2上の左半開区間の列I1, I2 ,…, In ,…は、
1. すべての項が、R2上の有限加法族Eに属す ∵(1)
2. すべての項が、互いに素である、 ∵設定2
3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す ∵(3)
を満たす可算無限個の集合列であるといえる。 …(4)
Step2: 設定2でつくったR2上の左半開区間列と、仮定下での上記実数値E-集合関数μの性質
設定2でつくったR2上の左半開区間の列I1, I2 ,…, In ,…は、(4)の性質をもつので、
R2で定義された上記の実数値E-集合関数μについての(仮定)より、
下記の等式が成立する。
…(5)
Step3: 等式(5)が意味すること。
等式(5)の左辺=μ(I) ∵(2)
=μ( (a,λ1]×(a',b'] ) ∵設定2
=Φ((a,λ1]×(a',b'])={ f1 (λ1)−f1 (a) } { f2 (b')−f2 (a') } ∵実数値E-集合関数μの定義
等式(5)の右辺=μ(I1)+μ(I2)+μ(I3)+…+μ(In−1)+μ(In)+…
=μ( (λ2,λ1]×(a',b'] )+μ( (λ3,λ2]×(a',b'])+μ( (λ4,λ3]×(a',b'])+…
…+μ((λn, λn−1]×(a',b']) +μ((λn＋1, λn] ×(a',b']) +… ∵設定2
={ f 1 (λ1)−f1 (λ2) }{ f2 (b')−f2 (a') }+{ f1 (λ2)−f1 (λ3) }{ f2 (b')−f2 (a') }+{ f1 (λ3)−f1 (λ4) }{ f2 (b')−f2 (a') }+…
…+{ f1 (λn−1)−f1 (λn) }{ f2 (b')−f2 (a') }+{ f1 (λn)−f1 (λn＋1) }{ f2 (b')−f2 (a') } +…
∵実数値E-集合関数μの定義
={f1 (λ1)−f1 (λ2) + f1 (λ2)−f1 (λ3) + f1 (λ3) +…}{ f2 (b')−f2 (a') }
となっているから、結局等式(5)は、
を意味していることになる。
設定1.5より、f2 (b')−f2 (a')＞０であるから、両辺をf2 (b')−f2 (a')で割って、
よって、
すなわち、f1 (λn) →f1 (a) (n→∞)
つまり、f1 (λ1), f1 (λ2), f1 (λ3),…は、f1 (a)に収束する。 …(6)
Step4: (6)が意味すること。
設定1より、(6)が意味するのは、
λn→ a (n→∞) かつ a＜…＜λn＜…＜λ2＜λ1
を満たす限りで任意の数列{λn }={λ1,λ2,λ3,…}に対して、
(つまり、aに収束し、かつ、全項がaより大なる任意の単調減少列に対して)
f1 (λn) →f1 (a) (n→∞) つまり、f1 (λ1), f1 (λ2), f1 (λ3),…は、f1 (a)に収束する
ということである。 …(7)
右連続性の単調減少列の収束への言い換え定理、
ないしは、
数列の収束の観点からの狭義単調増加関数の右連続性の十分条件より、
(7)は、点aでf1 (x)が右連続であることを意味している。…(8)
Step5: (8)が意味すること。
設定0より、(8)が意味するのは、
R上の任意の一点aでf1 (x)が右連続であること、
すなわち、f1 (x)がR上右連続であること。
以上より、命題Pの仮定下で、命題Q1「f1 (x)がR上右連続」が成り立つことを示せた。
[
証明：命題P⇒命題Q2] 伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);
(仮定) 命題P「R2で定義された上記の実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度」
が成り立つと仮定する。
すなわち、
1. すべての項が、R2上の有限加法族Eに属す
2. すべての項が、互いに素である、
3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
を満たす任意の「可算無限個の集合列」E1,E2,…をとれば、
が、R2で定義された上記の実数値E-集合関数μについて成り立つと仮定する。
(設定0)
定数 a ： R上の任意の一点。
(設定1)
設定0で決めた定数aから、以下の数列をつくる。
数列{λn }：λ n→ a (n→∞) かつ a＜…＜λn＜…＜λ2＜λ1
を満たす限りで任意の数列
(設定1.5)
−∞<f1(a')<f1(b')<∞ を満たす限りで、二つの実数a',b'を決める。
f1 (x)は単調増加関数とされているから、これに従って決めると、a'<b'である。
(設定2)
設定1で決めた数列{λn }から、以下のR 2上の左半開区間をつくる。
I1=(a',b']×(λ2,λ1]、 I2=(a',b']×(λ3,λ2]、 I3=(a',b']×(λ4,λ3]、…、 In=(a',b']×(λn+1,λn]、…
I =(a',b']×(a,λ1]
Step1: 設定2でつくった左半開区間列の性質の検討
設定2より、I, I1, I2 ,…, In ,…はすべて、R2上の区間塊のひとつだから、
I, I1, I2 ,…, In ,…∈E
なお、Eは、有限加法族。（∵） …(1)
設定2より、 I= I1+ I2+…+ In+… つまり、
…(2)
(1)と(2)より、I1+ I2+…+ In+…= I∈E …(3)
以上から、
設定2でつくったR2上の左半開区間の列I1, I2 ,…, In ,…は、
1. すべての項が、R2上の有限加法族Eに属す ∵(1)
2. すべての項が、互いに素である、 ∵設定2
3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す ∵(3)
を満たす可算無限個の集合列であるといえる。 …(4)
Step2: 設定2でつくったR2上の左半開区間列と、仮定下での上記実数値E-集合関数μの性質
設定2でつくったR2上の左半開区間の列I1, I2 ,…, In ,…は、(4)の性質をもつので、
R2で定義された上記の実数値E-集合関数μについての(仮定)より、
下記の等式が成立する。
…(5)
Step3: 等式(5)が意味すること。
等式(5)の左辺=μ(I) ∵(2)
=μ( (a',b']×(a,λ1] ) ∵設定2
=Φ( (a',b']×(a,λ1] )={ f1 (b')−f1 (a') } { f2 (λ1)−f2 (a) } ∵実数値E-集合関数μの定義
等式(5)の右辺=μ(I1)+μ(I2)+μ(I3)+…+μ(In−1)+μ(In)+…
=μ( (a',b']×(λ2,λ1] )+μ( (a',b']×(λ3,λ2] )+μ( (a',b']×(λ4,λ3] )+…
…+μ( (a',b']×(λn, λn−1] ) +μ( (a',b']×(λn+1,λn] ) +… ∵設定2
={ f1 (b')−f1 (a') }{ f 2 (λ1)−f2 (λ2) }+{ f1 (b')−f1 (a') }{ f2 (λ2)−f2 (λ3) }+{ f1 (b')−f1 (a') }{ f2 (λ3)−f2 (λ4) }+…
…+{ f1 (b')−f1 (a') }{ f2 (λn−1)−f2 (λn) }+{ f1 (b')−f1 (a') }{ f2 (λn)−f2 (λn＋1) } +…
∵実数値E-集合関数μの定義
={ f1 (b')−f1 (a') }{f2 (λ1)−f2 (λ2) + f2 (λ2)−f2 (λ3) + f2 (λ3) +…}
となっているから、結局等式(5)は、
を意味していることになる。
設定1.5より、f1 (b')−f1 (a')＞０であるから、両辺をf1 (b')−f1 (a')で割って、
よって、
すなわち、f2 (λn) →f2 (a) (n→∞)
つまり、f2 (λ1), f2 (λ2), f2 (λ3),…は、f2 (a)に収束する。 …(6)
Step4: (6)が意味すること。
設定1より、(6)が意味するのは、
λn→ a (n→∞) かつ a＜…＜λn＜…＜λ2＜λ1
を満たす限りで任意の数列{λn }={λ1,λ2,λ3,…}に対して、
(つまり、aに収束し、かつ、全項がaより大なる任意の単調減少列に対して)
f2 (λn) → f2 (a) (n→∞) つまり、f2 (λ1), f2 (λ2), f2 (λ3),…は、f2 (a)に収束する
ということである。 …(7)
右連続性の単調減少列の収束への言い換え定理、
ないしは、
数列の収束の観点からの狭義単調増加関数の右連続性の十分条件より、
(7)は、点aでf2 (x)が右連続であることを意味している。…(8)
Step5: (8)が意味すること。
設定0より、(8)が意味するのは、
R上の任意の一点aでf2 (x)が右連続であること、
すなわち、f2 (x)がR上右連続であること。
以上より、命題Pの仮定下で、命題Q1「f1 (x)がR上右連続」が成り立つことを示せた。
[証明：命題Q⇒命題P] 伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(pp.19-22)
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