R²上の区間塊の面積を定義する集合関数が、有限加法族の上で完全加法的な測度となることの証明　
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[準備]
・舞台設定　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ R かつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
　集合系(族)E　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、Eは R²の部分集合系(族)となっている。
　Ψ(I) 　　　：　R²上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数の全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i) I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
　と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
　と、　R²上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。　

[μ( )の性質7]　

R²で定義された上記の実数値E-集合関数μは、
有限加法族(R²上区間塊をすべてあつめた集合)E上の完全加法的測度である。　
　　すなわち、
　　　条件1. すべての項が、R²上の有限加法族Eに属す（つまりすべての項はR²上区間塊）
　　　条件2. すべての項が、互いに素である、
　　　条件3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
　　　　　　　　　（つまりすべての和もR²上区間塊）
　　を満たす任意の「可算無限個の集合列(区間塊列)」E₁,E₂,…をとれば、
　　　　　　
　　が、R²で定義された上記の実数値E-集合関数μについて成り立つ。　

• 3条件を満たす様々な区間塊列E₁, E₂, E₃,…のうち、
  　　　(−∞, b]×(a' , ∞)、(−∞, ∞)×(−∞, ∞)など非有界の矩形や、これら非有界の矩形を含む区間塊が、
  　　　項としてエントリーされているような区間塊列E₁, E₂, E₃,…に関しては、
  　　　　
  　　となるのは自明。
  　・左辺=＋∞。なぜなら…
  　　　区間塊列E₁, E₂, E₃,…の各項は、区間塊の定義より、
  　　　　　type 1: (a, b]、　type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)、type 5: 空集合φ 　
  　　　の5タイプの区間の直積〜これら直積どおしは互いに素〜の有限個の直和として表せ、
  　　　E₁, E₂, E₃,…の各項どうしも、条件2により、互いに素。　　
  　　　したがって、I₁, I₂, I₃, I₄,…を、上記5タイプいずれかの区間の直積とすると、
  　　　は、無限個の直和 I₁＋I₂＋I₃＋I₄＋…として表せる。　
  　　　ゆえに、μの定義より、
  　　　　　=Ψ(I₁) +Ψ(I₂) +Ψ(I₃) +Ψ(I₄) +…　　　　　　
  　　　区間塊列E₁, E₂, E₃,…の項のなかに、
  　　　(−∞, b]×(a' , ∞)、(−∞, ∞)×(−∞, ∞)など非有界の矩形や、これら非有界の矩形を含む区間塊
  　　　があるならば、
  　　　Ψの定義より、Ψは非有界の矩形にたいして、＋∞をかえすから、
  　　　　　=Ψ(I₁) +…+＋∞+…　
  　　　Ψ( )は、−∞をとらないので、
  　　　広義の実数R^*の演算規則(∀a∈R) ( a+(＋∞) = (＋∞)+a = ∞ )より、　　
  　　　　　　　　　　=Ψ(I₁) +Ψ(I₂) +…+＋∞+…＝＋∞　　　　　
  　・右辺=＋∞　
  　　なぜなら、　　
  　　　　I₁=非有界の矩形 ならば、Ψ(I₁) =＋∞　だから、　
  　　　　I₁を含む区間塊E_kに対して、　
  　　　　　　　μ(E_k)=Ψ(I₁) +Ψ(I₂) +…+Ψ(I_n) =＋∞+Ψ(I₂) +…+Ψ(I_n)　　
  　　Ψ( )は、−∞をとらないので、
  　　広義の実数R^*の演算規則(∀a∈R) ( a+(＋∞) = (＋∞)+a = ∞ )より、　　
  　　　μ(E_k)=Ψ(I₁) +Ψ(I₂) +…+Ψ(I_n) =＋∞+Ψ(I₂) +…+Ψ(I_n) =＋∞　　　
  　　=μ(E₁)+μ(E₂)+…+μ(E_k) +…=μ(E₁)+μ(E₂)+…＋∞ +…　　
  　　μ( )は、−∞をとらないので(性質2)、
  　　広義の実数R^*の演算規則(∀a∈R) ( a+(＋∞) = (＋∞)+a = ＋∞ )より、　　
  　　

[証明1]
　背理法による証明→;盛田『実解析と測度論の基礎』3.1節補題3.1(3)(p.106); 補題3.1(3)の証明(p.108);

[証明2]　伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19-22); 小谷『測度と確率1』補題4.1(p.42)。
Step1:設定　
　下記を満たす限りで任意のR²上の区間塊列を、E₁ , E₂ , E₃ ,…とおく。…(1-1)
　　　　　条件1. すべての項が、互いに素である、
　　　　　条件2. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合（互いに素だから直和とも言える）もR²上の区間塊である、
　条件2により区間塊となるE₁＋E₂＋E₃＋…を、Eとおく。…(1-2)　
Step2:　μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　を示す　
・E₁ , E₂ , E₃ ,…の各々は、R²上の区間塊と設定したのだから、R²上の区間塊の定義より、
　互いに素な有限個の下記5typeいずれかの区間の直積I_njの直和として表される。
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　すなわち、
　ある有限の自然数k₍₁₎が存在して、E₁=I₁₁+ I₁₂+ I₁₃+…+I_{1 k (1)}　
　ある有限の自然数k₍₂₎が存在して、E₂=I₂₁+ I₂₂+ I₂₃+…+I_{2 k (2)}　
　ある有限の自然数k₍₃₎が存在して、E₃=I₃₁+ I₃₂+ I₃₃+…+I_{3 k (3)}　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　と表せる。…(2-1)　
・μは有限加法的測度の一例であるから（∵μの性質3を見よ）、
　　　　有限加法的測度の性質であるところの有限加法性を満たす。　
　ゆえに、(2-1)より、　　
　μ(E₁)=μ( I₁₁)+μ( I₁₂)+μ(I₁₃)+…+μ( I_{1 k (1)} )　
　μ(E₂)=μ( I₂₁)+μ( I₂₂)+μ( I₂₃)+…+μ( I_{2 k (2)} )　
　μ(E₃)=μ( I₃₁)+μ( I₃₂)+μ( I₃₃)+…+μ( I_{3 k (3)} )　
　　：　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　　…(2-2)　
・(1-2)と(2-1)より、
　　E= E₁＋E₂＋E₃＋…={ I₁₁+ I₁₂+ I₁₃+…+I_{1 k (1)}}＋{ I₂₁+ I₂₂+ I₂₃+…+I_{2 k (2)}}＋{ I₃₁+ I₃₂+ I₃₃+…+I_{3 k (3)}}＋…
　ゆえに、
　　E⊂I₁₁∪I₁₂∪I₁₃∪…∪I_{1 k (1)} ∪I₂₁∪I₂₂∪I₂₃∪…∪I_{2 k (2)} ∪I₃₁∪I₃₂∪I₃₃∪…∪I_{3 k (3)} ∪…
　を満たす。　　
　この右辺の各区間I_njは
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　　
　のいずれかの直積である。
　したがって、
　{ I_nj}は、区間塊Eを覆う「矩形の可算被覆」の一つになっているから、
　このEと{ I_nj}にたいして、「μ( )の性質6」を適用してよい。　
　μ( )の性質6より、
　　μ(E)≦μ( I₁₁)+μ( I₁₂)+μ(I₁₃)+…+μ( I_{1 k (1)} )
　　　　　　　+μ( I₂₁)+μ( I₂₂)+μ( I₂₃)+…+μ( I_{2 k (2)} )
　　　　　　　　　＋μ( I₃₁)+μ( I₃₂)+μ( I₃₃)+…+μ( I_{3 k (3)} )
　　　　　　　　　　　＋…　　　　　　　　
　この不等式の右辺は、(2-2)より、μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…と書きかえられるから、
　μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　　
Step3:　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　を示す　
　・E₁＋E₂＋E₃＋…=Eと設定しておいたから、
　　　任意の自然数pに対して、E⊃ E₁＋E₂＋…＋E_p　　　…(3-1)　
　　　(つまり、E=「E₁ , E₂ , E₃ ,…の無限個の直和」だから、Eは「E₁ , E₂ , E₃ ,…の有限個の直和」を内に含む)　　　　
　・μは有限加法的測度の一例であるから（∵μの性質3を見よ）、
　　　　有限加法的測度の性質であるところの単調性・有限加法性を満たす。　　…(3-2)　
　・(3-1)と、(3-2)：μの単調性より、
　　任意の自然数pに対して、μ(E)≧μ(E₁＋E₂＋…＋E_p)　が成り立つ。　
　　ゆえに、(3-2)：μの有限加法性より、
　　任意の自然数pに対して、μ(E)≧μ(E₁＋E₂＋…＋E_p)=μ(E₁)＋μ(E₂)＋…＋μ(E_p)　が成り立つ。　
　つまり、　　　　　　　　　　　　
　　　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋…＋μ(E_p)　　　
　p→∞の極限をとれば、
　　　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　　　
　　　　　[と、書いてあるが、p→∞の極限をとっても、有限加法性とか保持されるのかなあ]
Step4: μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となる。
　　　Step2：μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…、
　　　かつ
　　　Step3：μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…
　　　だから、μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となる。　
Step5:　μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となることは、
　　　　R²で定義された実数値E-集合関数μが、有限加法族E上の完全加法的測度であることを意味する。　　　
　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族) Eは、有限加法族である(∵)。　　　
　したがって、Step1で設定した任意のR²上の区間塊列　E₁ , E₂ , E₃ ,…は、
　　　　　条件1. すべての項が、R²上の有限加法族Eに属す
　　　　　条件2. すべての項が、互いに素である、
　　　　　条件3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
　を満たす限りで任意の『集合Rの可算無限個の部分集合列』E₁ , E₂ , E₃ ,…であり、
　これに対して、Step4が成り立つ、すなわち　　　　
　　　
　が成り立つから、
　R²で定義された実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度である。
　
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