被覆　Covering　：　トピック一覧　

定義：普遍集合の被覆　covering 

【文献】

定義：部分集合の被覆　　covering

　　　となることを言う。
2.集合系を用いた表現　[小平『解析入門I』p.62; 松坂『集合・位相入門』第5章§2.A (p.209)]
（設定））集合X,Xの部分集合A、Xの部分集合系Цが与えられているとする。
（本題）「Цは部分集合Aの『Xにおける被覆』である」、「Цは部分集合Aを被覆する(cover )」、
　　　「部分集合はЦに覆われる」
　　　　　とは、
　　　　Xの部分集合系Цのunionが、部分集合Aを含むこと、

　　　　となることを言う。　　

定義：開被覆　open covering

　　 [『岩波数学事典』項目14位相空間R被覆;杉浦『解析入門I』p.70.小平『解析入門I』p.62;
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.2.1 (p.142);. ; 矢野『距離空間と位相構造』4.1.1 (p123) ;
　　　　松坂『集合・位相入門』5章§2.A (pp.210)]
A.開被覆の一般論

　　　　　　条件2.開集合^*であること　　任意のλ∈Λに対して、U_λ=開集合^*　　
　　　　　　* 距離空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を距離空間Xにおける開集合定義として解し、
　　　　　　　位相空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を位相空間Xにおける開集合定義として解せばよい。　
　　　　　　　なぜなら、距離空間における開集合は、位相空間における開集合定義を満たすから。
　　　　　　　→距離空間(R,d)のケース/距離空間(R²,d)のケース/距離空間(Rⁿ,d)のケース/
　　　　　　　　　距離空間一般のケース　　　
　2.集合系を用いた表現　　
　　(普遍)集合Xの開被覆とは、以下の2条件を満たすXの部分集合系Цのこと。
　　

　　　　　条件2.開集合^*であること　　任意のU∈Цに対して、U=開集合^*　　
　　　　　　* 距離空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を距離空間Xにおける開集合定義として解し、
　　　　　　　位相空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を位相空間Xにおける開集合定義として解せばよい。　
C.部分集合の被覆の開被覆版
　1.集合族を用いた表現
　　(普遍)集合Xの部分集合Aの「Xにおける開被覆」とは、
　　以下の2条件を満たすXの部分集合族Ц={ U_λ}_λ∈Λのこと。

　　　　　 条件2.開集合^*であること　　任意のλ∈Λに対して、U_λ=開集合^*　　
　　　　　　* 距離空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を距離空間Xにおける開集合定義として解し、
　　　　　　　位相空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を位相空間Xにおける開集合定義として解せばよい。　
　　　　　　　なぜなら、距離空間における開集合は、位相空間における開集合定義を満たすから。
　　　　　　　→距離空間(R,d)のケース/距離空間(R²,d)のケース/距離空間(Rⁿ,d)のケース/
　　　　　　　　　距離空間一般のケース　　　
　2.集合系を用いた表現　　
　　(普遍)集合Xの部分集合Aの「Xにおける開被覆」とは、以下の2条件を満たすXの部分集合系Цのこと。　　　

　　　　　条件2.開集合^*であること　　任意のU∈Цに対して、U=開集合^*　　
　　　　　　* 距離空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を距離空間Xにおける開集合定義に解し、
　　　　　　　位相空間Xにおいて開被覆を考える際には、
　　　　　　　　上記定義のなかの「開集合」を位相空間Xにおける開集合定義に解せばよい。　
　　　　　　　なぜなら、距離空間における開集合は、位相空間における開集合定義を満たすから。
　　　　　　　→距離空間(R,d)のケース/距離空間(R²,d)のケース/距離空間(Rⁿ,d)のケース/
　　　　　　　　　距離空間一般のケース　　　

定義：可算被覆countable covering　　

　[『岩波数学事典』項目14位相空間R被覆;志賀徳造『ルベーグ積分から確率論』付録A.1(p226);]　
A.可算被覆の一般論
　1. 集合族を用いた表現
　　　被覆Ц={ U_λ}_λ∈Λの添数集合Λを自然数Nとした被覆。　　　
　2. 集合系を用いた表現　
　　　被覆Цのなかでも特に、被覆Цに属す集合が可算無限個あるもののこと。
B.普遍集合の被覆の可算被覆版
　可算被覆においては、
　被覆するXの部分集合族Ц={ U_λ}_λ∈ΛないしXの部分集合系Цは、
　無限個の「Xの部分集合列」U₁,U₂,U₃,…　
　で表せるから、
　(普遍)集合Xの可算被覆とは、X=U₁∪U₂∪U₃∪…、ないし、

　を満たすXの部分集合列{ U_n}={ U₁,U₂,U₃,…}のことである。
C.部分集合の被覆の可算被覆版
　可算被覆においては、
　被覆するXの部分集合族Ц={ U_λ}_λ∈ΛないしXの部分集合系Цは、無限個のXの部分集合列U₁,U₂,U₃,…　
　で表せるから、
　集合Xの部分集合Aの「Xにおける可算被覆」とは、A⊂U₁∪U₂∪U₃∪…、ないし、　

　を満たすXの部分集合列{ U_n}={ U₁,U₂,U₃,…}のことである。　　　
D. 部分集合のA -可算被覆
　集合Xの部分集合AのA -可算被覆とは、
　　条件1. Xの部分集合系Aに属す集合のみからなる可算無限個の「Xの部分集合列」であること
　　　　　　　　　　　　　つまり、(∀n∈N) (U_n ∈A)　　　
　　条件2. Xの部分集合Aを被覆すること、

　を満たす「Xの部分集合列」{ U_n}={ U₁,U₂,U₃,…}のこと。　　　　　　

定義：有限被覆finite covering

　 [『岩波数学事典』項目14位相空間R被覆;杉浦『解析入門I』p.70. 小平『解析入門I』p.62; ;
　　松坂『集合・位相入門』5章§2.A (pp.210); 矢野『距離空間と位相構造』4.1.1 (p123)]
A. 一般に、有限被覆とは、
　　1. 集合族を用いた表現
　　　　被覆Ц={ A_λ}_λ∈Λの添数集合Λを有限集合とした被覆。　　　
　　2. 集合系を用いた表現　
　　　　被覆Цのなかでも特に、被覆Цに属す集合が有限個しかない(無限個はない)もののこと。
B.普遍集合の被覆の有限被覆版
　有限被覆においては、
　被覆するXの部分集合族Ц={ U_λ}_λ∈ΛないしXの部分集合系Цは、
　有限個の「Xの部分集合列」U₁,U₂,U₃,…,U_n　
　で表せるから、
　(普遍)集合Xの有限被覆とは、

　を満たすXの部分集合列{ U₁,U₂,U₃, …,U_n}のことである。
C.部分集合の被覆の有限被覆版
　有限被覆においては、
　被覆するXの部分集合族Ц={ U_λ}_λ∈ΛないしXの部分集合系Цは、
　有限個の「Xの部分集合列」U₁,U₂,U₃,…,U_n　　
　で表せるから、
　集合Xの部分集合Aの「Xにおける有限被覆」とは、

　を満たすXの部分集合列{ U₁,U₂,U₃,…,U_n }のことである。

定義：部分被覆　

　[小平『解析入門I』p.62; 斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.2.1 (p.142);.矢野『距離空間と位相構造』4.1.1 (p123)]　
A.普遍集合の被覆の部分被覆
　1. 集合族を用いた表現
　（設定）(普遍)集合X, Xの被覆Ц={ U_λ}_λ∈Λが与えられているとする。

　（本題）Μ⊂Λを満たす「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈ΜもXの被覆となっているとき、

　　　　Vを、被覆Цの部分被覆という。　　
　2. 集合系を用いた表現　
　（設定）(普遍)集合X, Xの被覆Цが与えられているとする。

　（本題）(普遍)集合Xの被覆Цの部分集合V
　　　(Xを被覆する集合系Цに属している全ての諸集合からその一部の諸集合を選んでつくった集合系)
　　も
　　Xの被覆であるとき、

　　Vを、被覆Цの部分被覆と呼ぶ。
　　　　
B.部分集合の被覆の部分被覆
　1. 集合族を用いた表現
　（設定）(普遍)集合X,Xの部分集合A、部分集合Aの被覆Ц={ U_λ}_λ∈Λが与えられているとする。

　（本題）Μ⊂Λを満たす「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈ΜもAの被覆となっているとき、

　　　　Vを、被覆Цの部分被覆という。　　
　2. 集合系を用いた表現　
　（設定）(普遍)集合X, Xの部分集合A ,Aの被覆Цが与えられているとする。　　　

　（本題）(普遍)集合Xの部分集合Aの被覆Цの部分集合V
　　　(Aを被覆する集合系Цに属している全ての諸集合からその一部の諸集合を選んでつくった集合系)
　　も
　　Aの被覆であるとき、

　
　　Vを、被覆Цの部分被覆と呼ぶ。　

定義：有限部分被覆

　※活用例：位相空間におけるコンパクト空間･コンパクト集合の定義、
　　　　　　距離空間におけるコンパクト集合定義、
　　　　　　Rⁿ上のコンパクト集合定義、R²上ののコンパクト集合定義、R上ののコンパクト集合定義　
A.普遍集合の被覆の有限部分被覆
　1. 集合族を用いた表現
　（設定）(普遍)集合X, Xの被覆Ц={ U_λ}_λ∈Λが与えられているとする。

　（本題）
　　　Μ⊂Λを満たす「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈ΜがXの有限被覆となっているとき、　　　　　　　　　　　

　　　Vを、被覆Цの有限部分被覆という。　　
　2. 集合系を用いた表現　
　（設定）(普遍)集合X, Xの被覆Цが与えられているとする。　

　（本題）
　　(普遍)集合Xの被覆Цの部分集合V
　　　(Xを被覆する「Xの部分集合系」Цに属している全ての諸集合から
　　　　　その一部の諸集合を選んでつくった「Xの部分集合系」)
　　が
　　Xの有限被覆であるとき、　　　　　

　　Vを、被覆Цの有限部分被覆と呼ぶ。

　3集合列を用いた表現
　　　　　　上記定義のなかの、
　　　　　　添数集合Mが有限集合であるような「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈Μ、
　　　　　　属している集合が有限個にすぎない(無限個はない) 「Xの部分集合系」Vとは、
　　　　　　有限個の「Xの部分集合列」にほかならない。
　　　　　　そこで、「Xの部分集合列」を用いて、上記定義を言いなおすと、以下のようになる。
　　Xを被覆する「Xの部分集合族」Ц={ U_λ}_λ∈Λないし「Xの部分集合系」Цのなかから、
　　「Xの部分集合」を有限n個とってきて並べた「Xの部分集合列」V= { U₁,U₂,U₃, …,U_n}が　　

　　　を満たすとき、
　　　V= { U₁,U₂,U₃, …,U_n}を、被覆Цの有限部分被覆という。　
　　　　
B.部分集合の被覆の有限部分被覆
　1. 集合族を用いた表現
　（設定）(普遍)集合X,Xの部分集合A、部分集合Aの被覆Ц={ U_λ}_λ∈Λが与えられているとする。

　（本題）Μ⊂Λを満たす「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈ΜもAの有限被覆となっているとき、

　　　　　Vを、被覆Цの有限部分被覆という。　　
　2. 集合系を用いた表現　
　（設定）(普遍)集合X, Xの部分集合A ,Aの被覆Цが与えられているとする。

　（本題）
　　(普遍)集合Xの部分集合Aの被覆Цの部分集合V
　　　　(Aを被覆する「Xの部分集合系」Цに属している全ての諸集合から
　　　　　その一部の諸集合を選んでつくった「Xの部分集合系」)
　　が、Aの有限被覆であるとき、

　　　　Vを、被覆Цの有限部分被覆と呼ぶ。　

　3集合列を用いた表現
　　　　　　上記定義のなかの、
　　　　　　添数集合Mが有限集合であるような「Xの部分集合族」V={ U_λ}_λ∈Μ、
　　　　　　属している集合が有限個にすぎない(無限個はない) 「Xの部分集合系」Vとは、
　　　　　　有限個の「Xの部分集合列」にほかならない。
　　　　　　そこで、「Xの部分集合列」を用いて、上記定義を言いなおすと、以下のようになる。
　　Xを被覆する「Xの部分集合族」Ц={ U_λ}_λ∈Λないし「Xの部分集合系」Цのなかから、
　　「Xの部分集合」を有限n個とってきて並べた「Xの部分集合列」V= { U₁,U₂,U₃, …,U_n}が　　

　　　V= { U₁,U₂,U₃, …,U_n}を、被覆Цの有限部分被覆という。　　　　　

reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目14位相空間R被覆、項目162集合D集合の族。
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、p. 70;
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、p. 62-65.;.
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第5章§2.A (pp.209-211)。
矢野公一『共立講座21世紀の数学4距離空間と位相構造』共立出版、1997年、4.1コンパクト性(pp122-5.)
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、pp.122-4。
志賀徳造『共立講座21世紀の数学第10巻ルベーグ積分から確率論』共立出版、2000年。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第5章位相空間(その2)§2コンパクト性5.2.1 (p.142)