集合関数の例4　直方体の体積

前：集合関数、集合関数の例（リーマン積分、区間の長さ、矩形の面積）
次：集合関数の例（Rⁿ区間のn次元体積、R上区間塊の長さ、R²上区間塊の面積、R³上区間塊の体積、
　　　　　　　　　　　　Rⁿ上区間塊のn次元体積）
　　　　→参考文献・総目次

集合関数の例4-a　3次元区間の体積
　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例2(pp.13-4);高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).
　　志賀『ルベーグ積分30講』2講(p.9-14);3講TeaTime(pp.22-3) ;9講(p.63);
　　Halmos, Measure Theory8.Measure on intervals (pp.32-7).]　

(設定)　
R³： 3つの「実数の全体の集合」Rの直積。R×R ×R＝{ (x ,y ,z ) |x ∈Rかつ y ∈R かつ z ∈R }　

I　：　
　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　type 5: 空集合φ 　　　
　　のいずれかのかたちのR上の区間の直積で表せるR³上の区間
　　つまり、
　　φ　
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]={ (x,y,z) | a₁<x≦b₁かつ a₂<y≦b₂かつ a₃<y≦b₃ }
　　　　　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　・
　　　・
　　　・
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　・
　　　・
　　　・
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< a₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₁＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(a₁,∞]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　・
　　　・
　　　・
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(−∞,∞]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　・
　　　・
　　　・
　　のいずれか
　　　　　※これらは、R³の部分集合となっている。

　I　　：　上記のR³上の区間Iとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　　※上記のR³上の区間Iは、どれも、R³の部分集合だから、
　　　　　　Iは R³の部分集合系(族)となっている。　
　※以上のように、I, Iを定義するとき、　I⊂ R³かつI ∈I　は満たされている。　
(定義:集合関数Ψ)　
関数Ψを、
　(i)　区間Iが(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃] (−∞< a₁< b₁<＋∞,−∞< a₂< b₂<＋∞,−∞< a₃< b₃<＋∞)のかたちの区間であるとき、
　　　　　Ψ(I) = (b₁−a₁) (b₂−a₂) (b₃−a₃)　　　
　　　　　　　　※a₁< b₁, a₂< b₂, a₃< b₃だから、常に、Ψ(I) =(b₁−a₁) (b₂−a₂) (b₃−a₃)＞0となる。
　(ii)　区間Iがφであるとき、　　
　　　　　Ψ(φ) = 0　　
　(iii)　区間Iが上記以外のかたちをした区間(つまり無限区間)であるとき、
　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　　
という値のとりかたをする関数と定義する。
・このΨ(I)が、R³上の区間Iの体積と呼ばれるもの。
※活用例：R³上区間塊の体積、3次元ルベーグ外測度
(性質)　
1. 定義域が、R³の部分集合系(族) Ｉ　となるので、
　　　　　　この関数Ψは、R³で定義されたＩ-集合関数となる。　
2. 値域は「広義の実数」R^*上の区間[0,+∞]。つまり、0≦Ψ(I)≦＋∞。Ψ(I)=0となるのはI=φのケースのみ。
　　※値域はあくまで「広義の実数」であって、実数ではない。
　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（主に＋∞、−∞）注意。　　　　

集合関数の例4-b　3次元区間の体積とその一般化
　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例2(pp.13-15);高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　

(設定)　
R³： 3つの「実数の全体の集合」Rの直積。R×R ×R＝{ (x ,y ,z ) |x ∈Rかつ y ∈R かつ z ∈R }　
I　：　
　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　type 5: 空集合φ 　　　
　　のいずれかのかたちのR上の区間の直積で表せるR³上の区間
　　つまり、
　　φ　
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]={ (x,y,z) | a₁<x≦b₁かつ a₂<y≦b₂かつ a₃<y≦b₃ }
　　　　　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁, b₁]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　：
　　　：
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞, b₁]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< b₁<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　：
　　　：
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< a₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₁＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(a₁,∞]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(a₁,∞]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₁ <＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　：
　　　：
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, b₃]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(a₃, ∞]　　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃ <＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, b₂]×(−∞, ∞]　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞)
　　(−∞,∞]×(−∞, b₂]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(a₂, ∞]×(a₃, b₃]　　　　(ただし−∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　(−∞,∞]×(−∞, ∞]×(a₃, b₃]　　　(ただし−∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　：
　　　：
　　のいずれか
　　　　　※これらは、R³上の左半開区間(a,b] ×(c,d] × (e,f]は、R³の部分集合となっている。
　I　　：　上記のR³上の区間Iとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　　※上記のR³上の区間Iは、どれも、R³の部分集合だから、
　　　　　　Iは R³の部分集合系(族)となっている。　
　※以上のように、I, Iを定義するとき、　I⊂ R³かつI ∈I　は満たされている。　
　f₁ (x) , f₂ (x) , f₃ (x)：　：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。

(定義:集合関数Ψ)　
関数Ψを、
(i)区間Iが(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃] (−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)のかたちの区間であるとき、
　　　Ψ(I) ={ f₁ (b₁)−f₁ (a₁) } { f₂ (b₂)−f₂ (a₂) } { f₃ (b₃)−f₃ (a₃) }　　　
　　　　　　※f₁, f₂, f₃は単調増加関数で、a₁< b₁, a₂< b₂, a₃< b₃だから、常に、Ψ(I) ＞0となる。
(ii)　区間Iがφであるとき、　
　　　　　　Ψ(φ) = 0　　
(iii)　区間Iがそれ以外のかたちの区間であるとき、
　　　　　Iに含まれる任意の
　　　　　　　　　(a₁, b₁]×(a₂, b₂]×(a₃, b₃] (−∞< a₁< b₁<＋∞, −∞< a₂< b₂<＋∞, −∞< a₃< b₃<＋∞)
　　　　　のかたちの区間J
　　　　　に対して、　
　　　　　Ψ(I) = sup { Ψ( J ) }= sup { { f₁ (b₁)−f₁ (a₁) } { f₂ (b₂)−f₂ (a₂) } { f₃ (b₃)−f₃ (a₃) }}　　　　
　　　　　　　　※f (x)は単調増加関数で、a₁< b₁, a₂< b₂, a₃< b₃だから、常に、Ψ(I) ＞0となる。
という値のとりかたをする関数と定義する。
・このうち特に、f₁ (x)= f₂ (x)= f₃ (x)= x　　とした際のΨ(I)が、R³上の区間Iの体積。
(性質)　
・定義域が、R³の部分集合系(族)Ｉ　となるので、
　　　　　　この関数Ψは、R³で定義された実数値Ｉ-集合関数となる。　
・常に、Ψ(I)≧0で、Ψ(I)=0となるのはI=φのケースのみ。
　

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年。項目162A(pp428-429), 163 (p.432)
伊藤清三『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数(p.11-3)
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年。 pp.1-4.
Cramer, Harald,1946 Mathematical Methods of Statistics, Princeton UP.
=クラメール『統計学の数学的方法:第1巻』東京図書、1973年、6.2集合関数と点関数(pp.47-48)。
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第9章Lebesgue積分,II.Lebesgueの測度および積分, 113Euclid空間区間の体積(pp.421-3).