集合関数の例1　リーマン積分

設定	R　：　実数の全体の集合、 　E　：　互いに素な有限個の左半開区間の直和として表される集合(区間塊)の一つ。 　　　　　※有限個の左半開区間の直和(区間塊)は、Rの部分集合となっている。 　 ：　集合E(区間塊)として考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。 　　　　　※有限個の左半開区間の直和は、Rの部分集合だから、はRの部分集合系(族)となっている。　 　　　　　※以上のように、E,を定義するとき、　E⊂R　かつ　E ∈ 　は満たされている。　　 　f (x)：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)、R上連続（定理より、連続だから任意の閉区間で可積分）で、 　　　　　R上すなわち(−∞,＋∞)でf (x)の広義積分が絶対収束する（絶対可積である）もの。 　　　　　　なお、(−∞,＋∞)で絶対収束（絶対可積）とは、 ∫ |f(x)|dx ＝ ∫ +∞ |f(x)|dx ＝ lim ∫ a' |f(x)|dx ＋ lim ∫ a |f(x)|dx R -∞ a'→+∞ a a'→-∞ a' 　　　　　　が、有限な極限値に収束する(∞に発散しない)ことをいう。　 　　　　　※このとき、(−∞,＋∞)でf (x)の広義積分は収束し(∵)、 　　　　　　　(−∞,＋∞)に含まれる任意の区間でも広義積分は収束する(∵)。
本題	Φ(E)＝ ∫ 　f(x) dx 　(E ∈ ) E Φ(φ)＝ 0 　　　は、実数値 -集合関数となる。	[文献] 　・伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例1(p.13) ※一般化：集合関数　 ※ほかの集合関数の具体例：区間の長さ、矩形の面積、直方体の体積、Rn区間のn次元体積、 　　　　　　　　　　　　　　　R上区間塊の長さ、R2上区間塊の面積、R3上区間塊の体積、Rn上区間塊のn次元体積

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