R²上の区間塊の面積を定義する集合関数μ( )の性質4の証明　

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[準備]
・舞台設定　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ Rかつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
　集合系(族)E　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、Eは R²の部分集合系(族)となっている。
　Ψ(I) 　　　：　R²上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数の全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i) I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
　と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
　と、　R²上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。　

[μ( )の性質4]　

　　type 1: 左半開区間(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b]　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞)　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)　
　　type 5: 空集合φ 　

のいずれかのかたちのR上区間の直積である限りで任意の区間Iと、
区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、

　　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　空集合φ 　　　

のいずれかのかたちをした、ある有界区間Jが存在し、
　　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　
を満たす。
すなわち、
　(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞) , φのいずれかのかたちのR上区間の直積をすべて集めた集合系をI、
　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ], φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、

　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )　　

[μ( )の性質4の証明]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]

Iの形状ごとに別々に証明する。
　　・Iが (a, b]×(a', b']　　　→case1-1　　
　　・Iが (a, b]×(−∞, b']　
　　・Iが (a, b]×(a' , ∞)　
　　・Iが (a, b]×(−∞, ∞)　
　　・Iが (−∞, b]×(a', b']　　　→case2-1　　
　　・Iが (−∞, b]×(−∞, b']　　
　　・Iが (−∞, b]×(a' , ∞)　
　　・Iが (−∞, b]×(−∞, ∞)　
　　・Iが (a , ∞)×(a', b']　　　→case3-1　　
　　・Iが (a , ∞)×(−∞, b']　　
　　・Iが (a , ∞)×(a' , ∞)　　
　　・Iが (a , ∞)×(−∞, ∞)　　
　　・Iが (−∞, ∞)×(a', b']　　　　　　　→case4-1　　
　　・Iが (−∞, ∞)×(−∞, b']　　
　　・Iが (−∞, ∞)×(a' , ∞)　　
　　・Iが (−∞, ∞)×(−∞, ∞)　　　　　　　→case4-4　　
　　・Iがtype 5: 空集合φ　　　　　　　　　→case5　　
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[case 5:　区間Iが、type 5: φ　である場合]　　
case5-step0:証明すべき主張の分析
　　この場合、上記主張は、
　　「区間I=φ　と、区間I=φにたいして任意にとったα<μ(I)=μ(φ)に対して、　
　　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ 　　　
　　　が存在して、
　　　　　[J]⊂ I=φ　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」　
　　となるが、
　　　　[J]⊂ I=φ　を満たすJは、φしかない。　　　　
　　また、I=φにたいして任意にとったα<μ(I)とは、任意の負の実数α< 0。∵μ(I)=μ(φ)=0
　　ゆえに、I=φのケースにおいて上記主張は、つまるところ、
　　「任意の負の実数α< 0に対して、　
　　　　J=φは、
　　　　α<μ(J)　　
　　　を満たす　」
　　を主張しているに過ぎない。

　　　　μ(J)=μ(φ)=0だから、α<0と規定されたαより大きいことは自明。　
　
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