集合関数の例2　R上区間の長さとその一般化

集合関数の例2-a　区間の長さ

(舞台設定)　

(定義:集合関数Ψ)　

(性質)　

	∞		＝　Ψ(I)
		Ψ(Jn)
	n=1

・	∞				k
		Ψ(Jn)	＝	lim		Ψ(Jn)
	n=1			k→∞	n=1

集合関数の例2-b　区間の長さの一般化

　[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例2(pp.13-15);高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　

(設定)　

R　：　実数の全体の集合。すなわち、R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }　
I　：　下記5タイプの区間のひとつ
　　　　type 1: 左半開区間(a,b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a<b<＋∞),
　　　　type 2: (−∞,b]={ x | x≦b }　(ただし−∞<b<＋∞)、
　　　　type 3: (a,∞)={ x | a<x }　(ただし−∞<a<＋∞)、
　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数の全体の集合R　
　　　　type 5: 空集合φ　
　　　　　　　※これらはすべて、Rの部分集合となっている。
Ｉ　：　上記5タイプの区間Iとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　※上記5タイプの区間Iは、どれも、Rの部分集合だから、
　　　　　　　　ＩはRの部分集合系(族)となっている。　
　　　　　　　※以上のように、I,Ｉを定義するとき、I⊂RかつI∈Ｉ　は満たされている。　

f(x)：　：　R上の実数値関数(つまり、f:R→R)で、R上単調増加関数。

(定義:集合関数Ψ)　

関数Ψを、
　(i)　区間Iが上記type1の区間であるとき、
　　　　　　つまり、I=(a,b]＝{ x | a<x≦b }　(ただし−∞<a<b<＋∞)　であるとき、
　　　　　Ψ(I) ＝ f(b)−f(a)　　　
　　　　　　　　※ f(x)は単調増加関数で、a<bだから、常に、Ψ(I)＝f(b)−f(a)＞0となる。
　(ii)　区間Iが上記type5の区間であるとき、つまり、I＝φであるとき、　　
　　　　　　Ψ(φ) ＝ 0
　(iii)　区間Iが上記type 2: (−∞,b], type 3: (a,∞), type 4: (−∞, ∞)いずれかの区間であるとき、
　　　　　Iに含まれる任意のtype1の区間J=(a',b']={ x|a'<x≦b' }　(ただし−∞<a'<b'<＋∞)　
　　　　　に対して、　
　　　　　Ψ(I) ＝ sup { Ψ( J ) }＝ sup { f (b')−f (a') }　　　　
　　　　　　　　※f(x)は単調増加関数で、a<bだから、常に、Ψ(I) ＝ sup { f(b')−f(a') }＞0となる。
という値のとりかたをする関数と定義する。
・このうち特に、f(x)=x　とした際のΨ(I)が、一般に「左半開区間Iの長さ」と呼ばれるもの。
(性質)　
・定義域が、Rの部分集合系(族) Ｉ　となるので、
　　　　　　この関数Ψは、Rで定義された実数値Ｉ-集合関数となる。　
・常に、Ψ(I)≧0で、Ψ(I)=0となるのはI=φのケースのみ。
※R上区間塊の長さを一般化した集合関数、1次元ルベーグ・スチルチェス外測度

（reference）