直和が定める射影　：　トピック一覧　

・定義：2つの部分空間の直和が定める射影 / 多数の部分空間の直和が定める射影　
・定理：直和が定める射影の性質　
※関連ページ：
　直交射影　
　部分ベクトル空間：定義、部分ベクトル空間の性質、～が張る部分空間、
　　　　　　　　　　　部分ベクトル空間の和･直和分解・補空間、部分空間の次元　　
　実ベクトル空間：実ベクトル空間の定義、一次結合、線形従属･線形独立、基底、次元　
 
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定義：2つの部分空間の直和が定める射影　projection　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3(p.120);砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)]

【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【定義】
実ベクトル空間Vが、Vの部分ベクトル空間W1、W2に直和分解されるとする。
つまり、　　
　　　
とする。
このとき、直和分解の必要十分条件より、
任意のベクトルv∈Vにたいして、あるベクトルv1∈W1, v2∈W2が一意的に存在して、
　　v＝v1+v2
と表せる。　
したがって、P1(v)=v1、P2(v)=v2　を満たす写像P1:V→W1, 写像P2:V→W2を考えてよい。　
この写像：V→W1 を、
　直和
　　　
　が定めるVからW1への射影(もしくは射影作用素)、
この写像P2:V→W2 を、
　直和
　　　
　が定めるVからW2への射影(もしくは射影作用素)
と呼ぶ。

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定理：直和が定める射影の性質

1. 直和が定める射影は一次写像の定義を満たす。[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);]
2. 　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);]　
　　直和
　　　
　　が定めるVからW1への射影をP1とおく。
　　P1は、次を満たす。
　　　任意のベクトルv1∈W1にたいして、P1 ( v1 )= v1  　
　　　任意のベクトルv2∈W2にたいして、P1 ( v2 )=〇 　　
2'. 　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);]　
　　直和
　　　
　　が定めるVからW2への射影をP2とおく。
　　P2 は、次を満たす。
　　　任意のベクトルv1∈W1にたいして、P2 ( v1 )=〇 　
　　　任意のベクトルv2∈W2にたいして、P2 ( v2 )= v2 　
3.　　　[砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)]　
　　直和
　　　
　　が定める
　　VからW1への射影をP1とおき、VからW2への射影をP2とおく。
　　射影P1と射影P2の合成写像：P2〇P1　
　　射影P2と射影P1の合成写像：P1〇P2　
　　は、零写像となる。　　　　
　　P2〇P1＝P1〇P2＝〇　　
4.　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)]　
　　直和
　　　
　　が定める
　　VからW1への射影をP1とおき、VからW2への射影をP2とおく。
　　射影P1と射影P2の（一次写像としての）和　　
　　　P1＋P2　　
　　は、恒等写像である。　
5.　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)]　
　　直和
　　　
　　が定める
　　VからW1への射影をP1とおき、VからW2への射影をP2とおく。
　　射影P1の像はW1であり、射影P2の像はW2である。　　
6.　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.168)]　
　　直和
　　　
　　が定める
　　VからW1への射影をP1とおき、VからW2への射影をP2とおく。
　　射影P1とそれ自身との合成写像P1〇P1をとったところで、射影P1とかわらない。
　　射影P2とそれ自身との合成写像P2〇P2をとったところで、射影P2とかわらない。


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定義：多数の部分空間の直和が定める射影　projection　

　[砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)]
【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W1 , W2,…,Wk ：Vの部分ベクトル空間　　　

【定義】
実ベクトル空間Vが、Vの部分ベクトル空間W1 , W2,…,Wk に直和分解されるとする。
つまり、　　
　　　
とする。
このとき、直和分解の必要十分条件より、
任意のベクトルv∈Vにたいして、あるベクトルv1∈W1, v2∈W2 , … ,vk∈Wkが一意的に存在して、
　　v＝v1 +v2 +…+vk　　　
と表せる。　
したがって、
　　P1(v)=v1、P2(v)=v2、…、Pk(v)=vkを満たす写像P1:V→W1、写像P2:V→W2、…、写像Pk:V→Wk
を考えてよい。　
この写像P1:V→W1、写像P2:V→W2、…、写像Pk:V→Wkを、
　直和
　　　
　が定めるVからW1 , W2,…,Wkへの射影　　　
と呼ぶ。　
　

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
集合論のテキスト
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章集合と写像§3-E写像(pp.27-29);§4-C写像の合成(pp.34-36)。
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).§5.3(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.2ベクトル空間と部分空間(pp.8-9):実n次元数ベクトル空間のみ。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。