・Rⁿ全体を開集合と呼んでよい理由　　
　　　　　[佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61); 松坂『集合・位相入門』4章§1D(pp.145-6);]　
　・一言で言えば、 Rⁿの任意のPは、どれも、Rⁿの内点とよべるから。　
　・詳しく言うと、以下のようになる。
　　　　Step1:　Rⁿ上の点Pのε近傍の定義は、U_ε(P)＝{ Q∈Rⁿ | d(P,Q)＜ε }であった。
　　　　Step2:　だから、点Pの選び方にかかわらず、U_ε(P)⊂Rⁿ　　
　　　　Step3:　したがって、(∀P∈Rⁿ) (∃U_ε(P) ) (U_ε(P)⊂Rⁿ )　
　　　　　　　　つまり、Rⁿの任意のPは、どれも、Rⁿの内点の定義を満たす。　　　　
　　　　Step4:　よって、Rⁿ全体は開集合の定義を満たす。

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・空集合φを開集合と呼んでよい理由　　
　　　　　[佐久間『集合･位相』3.4開集合と閉集合(p.61); 松坂『集合・位相入門』4章§1D(pp.145-6);]　
　　　　Step1:　「AならばB」「A⇒B」の真偽の定義により、
　　　　　　　　常に、Aが成り立たないとき、「AならばB」「A⇒B」は「成立する」といわれる。
　　　　Step2:　空集合φの定義より、任意のPにたいして、P∈φは成立しない。　
　　　　Step3:　「(∀P) (P∈φ ⇒ (∃U_ε(P) ) (U_ε(P)⊂φ ))」は、
　　　　　　　　　Step2より、⇒の左項「P∈φ」がつねに成立しなくなるので、
　　　　　　　　　Step1にしたがって、全体として成立することになる。
　　　　Step4:　「(∀P) (P∈φ ⇒ (∃U_ε(P) ) (U_ε(P)⊂φ ))」が成り立つので、
　　　　　　　　空集合φは、開集合の定義を満たす。　　　　　　　

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（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).

佐藤坦『はじめての確率論　測度から確率へ』共立出版、1994、pp172-186.

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-76;120-123; 131-148.

彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：　集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年, pp.135-171。

矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、第一章。

斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。

高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.14-17.

小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp. 13; 21;36; 46;53-65; 73.

杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.37-48;55; 70;.75-79;

吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.154-157.

和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.112-113.

奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学Ｉ』岩波書店、1985年、pp.261-265.

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、p.5。

Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,p.207.

Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (p.468.)。