Σの行列表現 : トピック一覧

  ・和の行列表現/平均の行列表現/積和の行列表現/双一次形式/2乗和の行列表現/二次形式 
  ・偏差二乗和の行列表現/偏差の積和の行列表現

 ※関連ページ:Σの計算/ΣΣ(二重 和)の計算 
 ※関連ページ:無限級数/実行列/n次元数ベクトル/二次形式の行列表現 


和の行列表現、平均の行列表現

【設定】  n次元数ベクトル ( 1 , 1 , … , 1 )i で表し、
      n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )x で表すとする。

【和】   x1 , x2 , … , xn の和  

n
Σ
k=1

xk 

は、 

     n次元横ベクトルin次元縦ベクトル txと の行 列積 
      i tx    
     で表すことができる。

【平均】  x1 , x2 , … , xn の算術平均  

 n 
n
Σ
k=1

xk 

は、 

     n次元横ベクトルin次元縦ベクトル txと の行 列積nで割った 
       (1/n) (i tx )
     で表すことができる。 

【文献】  『グリーン計量経済 分析I:改訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)




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2乗和の行列表現

【設定】   n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )を、 x で表すとする。

【二乗和】  x1 , x2 , … , xnの平方和  

n
Σ
k=1

(xk)2

 は、 

      n次元横ベクトルx n次元縦ベクトル txと の行 列積 
         x tx
      で表すことができる。 

二次形式の行列表現

 以下を参照。
 →二次形式 



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積和の行列表現

【1】 

n次元横ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )xで表 し、n次元横ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )yで表 すとする。

x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 

n
Σ
k=1

xkyk

 は、n次元横ベクトルxn次元縦ベクトル tyとの行列積 x ty 」 で表すことができる。 


つまり、

   x( x1 , x2 , … , xn ) 、y( y1 , y2 , … , yn ) ならば、  

n
Σ
k=1

xkyk 

=  x ty 



【2】

n次元縦ベクトルt( x1 , x2 , … , xn )xで表し、n次元縦ベクトルt( y1 , y2 , … , yn )yで表すとする。

x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 

n
Σ
k=1

xkyk

 は、n次元横ベクトルtxn次元縦ベクトルyとの行列積 「 tx y 」  で表すことができる。 


つまり、

   xt( x1 , x2 , … , xn ) 、yt( y1 , y2 , … , yn ) ならば、  

n
Σ
k=1

xkyk 

= tx y


【3】

n次元横ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )xで表し、n次元横ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )yで表すとする。

x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 

n
Σ
k=1

xkyk 

は、xyとの自然な内積 「 xy 」として表すこともできる。 


つまり、

   x( x1 , x2 , … , xn ) 、y( y1 , y2 , … , yn ) ならば、 

n
Σ
k=1

xkyk 

=  xy  


【文献】

 ・『グリーン計量経済分析I:改 訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)



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双一次形式の行列表現


【定義】

・「n個の変数 x1 , x2 , … , xnm個の変数y1 , y2 , … , ym についての双一次形式
 とは、
  x1 , x2 , … , xn についても、y1 , y2 , … , ym についても、「斉一次次式」となる多項式   
   Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )
        = a11x1y1+ a12x1y2+a13x1y3++ a1m x1ym 
          + a21 x2y1+ a22 x2y2+ a23 x2y3+…+ a2m x2ym 
           + a31 x3y1+ a32 x3y2+ a33 x3y3+…+ a3m x3ym  
            +…
              …+ an1 xny1+ an2 xny2+ an3 xny3+…+ anm xnym 
 のことをいう。


 【文献】 


  ・佐武『線型代数学』T§6 (p.32)

  ・永田『線型代数の基礎』5.3(p.143) 対称双一次形式という特殊ケース。

【行列表現】

n個の変数 x1 , x2 , … , xnm個の変数y1 , y2 , … , ym についての双一次形式」  Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym ) は、
     1form1
 をつかって、
 行列積 ty tA x と表せる。
 実際、
  ty tA x 
  1form2
  1form3
  1form4
  =Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )   ∵行 ベクトルと列ベクトルとの積

・また、転 置行列の積の性質より、 
  ty tA x =t (A y) x 
 となるから、
 Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )=ty tA x =t (A y) x 
 である。  
自 然な内積をつかうと、
  Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )= (tA x)yx(A y) 
 とも表せる。
 なぜなら、自然な内 積の定義より、
  ty tA x =(tA x)yt (A y) x x(A y) 
 だから。 

 


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偏差二乗和の行列表現、偏差の積和の行列表現

設定1

n次元数ベクトル ( 1 , 1 , … , 1 )i で表し、
n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )x で表し、
n次元数ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )yで表すとする。 


【文献】 

  ・『グリーン計量経済分析I:改 訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)

設定2

(1)
すべての成分が1で あるn次正方行列は、
n次元縦ベクトル tin次元横ベクトルi との行列積 
   ti i
で表すことができる。
(2)

x1 , x2 , … , xn の和  

n
Σ
k=1

xk 

を、すべての成分にもつn次元縦ベクトルは、   


n次元縦ベクトル tin次元横ベクトルi
         n次元縦ベクトル txとの行列積」  
    ti i tx   
で表すことができる。
 ※ ti i(n,n)型行列, tx(n,1)型行列だから、
   ti i tx(n,1)、すなわちn次元縦ベクトル
(3)

x1 , x2 , … , xn の算術平均  

 n 
n
Σ
k=1

xk 

を、すべての成分にもつn次元縦ベクトルは、 


n次元縦ベクトル tin次元横ベクトルin次元縦ベクトル txとの行列積
に、1/nだけスカラー倍を施した 
   (1/n ) ti i tx 
で表すことができる。  

設定3

(1)
対角成分が全て (1−1/n ) 、非対角成分が全て−1/n であるn次正方行列を、
 M0 
で表す。
(2)
M0は、n単位行列Inから、すべて の成分が(1/n)であるn次正方行列(1/n ) ti iを、引くことで、つくれるから、
 M0In(1/n ) ti i 
(3)
M0は、ベキ等行列M0M0=M0  
 実際に、M0M0対角成分非対角成分を、計算してみるとわかる。
(4)
M0は、対称行列である。

偏差のベクトル   

x1 , x2 , … , xn の算術平均を x で表すことにする。
xの各成分の平均xからの偏差を表すn次元縦ベクトル t ( x1x, x2x , … , xnx )は、
1. n次元縦ベクトル txと、平均xをすべての成分にもつn次元縦ベクトル(1/n ) ti i txとの 
  tx(1/n ) ti i tx  
2. n次正方行列M0n次元縦ベクトルtxとの行列積 
  M0 tx   
で表すことが出来る。 
1.2.が等しいことは、計算すれば、すぐわかる。  

偏差二乗和

x1 , x2 , … , xn の算術平均を x で表すことにする。

x1 , x2 , … , xn の偏差二乗和  

n
Σ
i=1

 ( xi −x )2 

  は、  


1.n次元横ベクトルn次元縦ベクトルとの行列積
    ( x1x, x2x , … , xnx ) t ( x1x, x2x , … , xnx )
      →2乗和の行列表現参照 
2.n次元横ベクトル t (M0 tx )n次元縦ベクトル M0 tx との行列積
    t (M0 tx ) (M0 tx ) 
      →偏差のベクトル、2乗 和の行列表現参照   
で表すことが出来る。
2.は、整理して、xM0 tx とできるので、
なぜなら、 
 
t (M0 tx ) (M0 tx ) 
 = t (tx ) t M0 M0 tx  ∵行列積の転置行列 
 =x t M0 M0 tx  ∵転置行列の転置行列  
 =x M0 M0 tx   ∵M0 対称行列 
 =x M0 tx     ∵M0ベキ等行列 

だから、  

n
Σ
i=1

 ( xi −x )2 

    =xM0 tx = ( x1 , x2 , … , xn ) M0 t ( x1 , x2 , … , xn )  


偏差の積和

x1 , x2 , … , xn  の算術平均をxで、
y1 , y2 , … , yn  の算術平均をyで表すことにする。

偏差の積 (x1x) (y1y), (x2x) (y2y), …, (xnx) (yny) の和  

n
Σ
i=1

 ( xi −x ) ( yi −y )  

  は、  


  t (M0 tx ) (M0 ty )      [ →偏差のベクトル積和の行列表現参照 ]

で表される。

  t (M0 tx ) (M0 ty ) 
 = t (tx ) t M0 M0 ty  ∵行列積の転置行列 
 =x t M0 M0 ty   ∵転置行列の転置行列  
 =x M0 M0 ty   ∵M0 対称行列 
 =x M0 ty     ∵M0ベキ等行列 

となるから、

  

n
Σ
i=1

 ( xi −x ) ( yi −y )  

  =x M0 ty   = ( x1 , x2 , … , xn ) M0 t ( y1 , y2 , … , yn)  




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