Σの行列表現　：　トピック一覧

　　・和の行列表現/平均の行列表現/積和の行列表現/双一次形式/2乗和の行列表現/二次形式　
　　・偏差二乗和の行列表現/偏差の積和の行列表現

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　※関連ページ：無限級数/実行列/実n次元数ベクトル/二次形式の行列表現　


和の行列表現、平均の行列表現

【設定】　　実n次元数ベクトル ( 1 , 1 , … , 1 )を i で表し、
　　　　　　実n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn ) を x で表すとする。

【和】　　　x1 , x2 , … , xn の和　　
n
Σ
k=1

xk　

は、　

　　　　　実n次元横ベクトルi と実n次元縦ベクトル txと の行 列積　
　　　　　　i tx　 　　
　　　　　で表すことができる。

【平均】　　x1 , x2 , … , xn の算術平均　　
１
 n 
n
Σ
k=1

xk　

は、　

　　　　　実n次元横ベクトルi と実n次元縦ベクトル txと の行 列積をnで割った　
　　　　　　　(1/n) (i tx )
　　　　　で表すことができる。　

【文献】　　『グリーン計量経済 分析I:改訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)



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2乗和の行列表現

【設定】　　　実n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )を、 x で表すとする。

【二乗和】　　x1 , x2 , … , xnの平方和　　
n
Σ
k=1

(xk)2

　は、　

　　　　　　実n次元横ベクトルx と実n次元縦ベクトル txと の行 列積　
　　　　　　　　　x tx
　　　　　　で表すことができる。　

二次形式の行列表現

　以下を参照。
　→二次形式　


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積和の行列表現

【1】　

実n次元横ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )をxで表 し、実n次元横ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )をyで表 すとする。

積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和　
n
Σ
k=1

xkyk

　は、実n次元横ベクトルx と実n次元縦ベクトル tyとの行列積　「 x ty 」　で表すことができる。　


つまり、

　　　x＝( x1 , x2 , … , xn )　、y＝ ( y1 , y2 , … , yn )　ならば、　　
n
Σ
k=1

xkyk　

＝　 x ty　



【2】

実n次元縦ベクトルt( x1 , x2 , … , xn )をxで表し、実n次元縦ベクトルt( y1 , y2 , … , yn )をyで表すとする。

積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和　
n
Σ
k=1

xkyk

　は、実n次元横ベクトルtx と実n次元縦ベクトルyとの行列積　「　tx y　」 　で表すことができる。　


つまり、

　　　x＝t( x1 , x2 , … , xn )　、y＝t( y1 , y2 , … , yn )　ならば、　　
n
Σ
k=1

xkyk　

＝　tx y


【3】

実n次元横ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )をxで表し、実n次元横ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )をyで表すとする。

積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和　
n
Σ
k=1

xkyk　

は、x とyとの自然な内積　「　x・y　」として表すこともできる。　


つまり、

　　　x＝( x1 , x2 , … , xn )　、y＝ ( y1 , y2 , … , yn )　ならば、　
n
Σ
k=1

xkyk　

＝　 x・y 　


【文献】

　・『グリーン計量経済分析I:改 訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)


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双一次形式の行列表現


【定義】

・「n個の変数 x1 , x2 , … , xn、m個の変数y1 , y2 , … , ym についての双一次形式」
　とは、
　　x1 , x2 , … , xn についても、y1 , y2 , … , ym についても、｢斉一次次式｣となる多項式　　　
　　　Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )
　　　　　　　　= a11x1y1+ a12x1y2+a13x1y3+…+ a1m x1ym　
　　　　　　　　　　+ a21 x2y1+ a22 x2y2+ a23 x2y3+…+ a2m x2ym　
　　　　　　　　　　　+ a31 x3y1+ a32 x3y2+ a33 x3y3+…+ a3m x3ym　　
　　　　　　　　　　　　+…
　　　　　　　　　　　　　　…+ an1 xny1+ an2 xny2+ an3 xny3+…+ anm xnym　
　のことをいう。


　【文献】　


　　・佐武『線型代数学』Ⅰ§6 (p.32)

　　・永田『線型代数の基礎』5.3（p.143） 対称双一次形式という特殊ケース。

【行列表現】

・n個の変数 x1 , x2 , … , xn、m個の変数y1 , y2 , … , ym についての双一次形式」 　Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )　は、
　　　　　1form1
　をつかって、
　行列積 ty tA x　と表せる。
　実際、
　 ty tA x　
　　1form2
　　1form3
　　1form4
　　＝Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )　 　∵行 ベクトルと列ベクトルとの積

・また、転 置行列の積の性質より、　
　　ty tA x　＝t (A y) x　
　となるから、
　Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )＝ty tA x　＝t (A y) x　
　である。　　
・自 然な内積をつかうと、
　　Q (x1 , x2 , … , xn ; y1 , y2 , … , ym )＝ (tA x)・y＝x・(A y)　
　とも表せる。
　なぜなら、自然な内 積の定義より、
　　ty tA x　＝(tA x)・y 、 t (A y) x ＝x・(A y)　
　だから。　
　

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偏差二乗和の行列表現、偏差の積和の行列表現

設定1

実n次元数ベクトル ( 1 , 1 , … , 1 )をi で表し、
実n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )をx で表し、
実n次元数ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )をyで表すとする。　


【文献】　

 　・『グリーン計量経済分析I:改 訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)

設定2

 (1)
すべての成分が1で あるn次正方行列は、
実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi との行列積　
　　 ti i
で表すことができる。
(2)

x1 , x2 , … , xn の和　　
n
Σ
k=1

xk　

を、すべての成分にもつ実n次元縦ベクトルは、　　　


「実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi と
　　　　　　　　　実n次元縦ベクトル txとの行列積」　　
　　　 ti i tx　　　
で表すことができる。
　※ ti iは(n,n)型行列, txは(n,1)型行列だから、
　　　ti i txは(n,1)型、すなわち実n次元縦ベクトル。
(3)

x1 , x2 , … , xn の算術平均　　
１
 n 
n
Σ
k=1

xk　

を、すべての成分にもつ実n次元縦ベクトルは、　


「実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi と実n次元縦ベクトル txとの行列積」
に、1/nだけスカラー倍を施した　
　　　(1/n ) ti i tx　
で表すことができる。　　

設定3

 (1)
対角成分が全て (1－1/n ) 、非対角成分が全て－1/n であるn次正方行列を、
　M0　
で表す。
(2)
M0は、n次単位行列Inから、すべて の成分が(1/n)であるn次正方行列(1/n ) ti iを、引くことで、つくれるから、
　M0＝In－(1/n ) ti i　
(3)
M0は、ベキ等行列。M0M0=M0 　
　実際に、M0M0の対角成分・非対角成分を、計算してみるとわかる。
(4)
M0は、対称行列である。

偏差のベクトル　　　

 x1 , x2 , … , xn の算術平均を x で表すことにする。
xの各成分の平均xからの偏差を表す実n次元縦ベクトル t ( x1－x, x2－x , … , xn－x )は、
1. 実n次元縦ベクトル txと、平均xをすべての成分にもつ実n次元縦ベクトル(1/n ) ti i txとの差　
　 tx－(1/n ) ti i tx　　
2. n次正方行列M0と実n次元縦ベクトルtxとの行列積　
　　M0 tx　　　
で表すことが出来る。　
1.2.が等しいことは、計算すれば、すぐわかる。　　

偏差二乗和

 x1 , x2 , … , xn の算術平均を x で表すことにする。

x1 , x2 , … , xn の偏差二乗和　　
n
Σ
i=1

 ( xi　－x )2 

  は、　　


1.実n次元横ベクトルと実n次元縦ベクトルとの行列積
　　　 ( x1－x, x2－x , … , xn－x ) t ( x1－x, x2－x , … , xn－x )
　　　　　　→2乗和の行列表現参照　
2.実n次元横ベクトル t (M0 tx )と実n次元縦ベクトル M0 tx との行列積
　　　 t (M0 tx ) (M0 tx )　
　　　　　　→偏差のベクトル、2乗 和の行列表現参照　　　
で表すことが出来る。
2.は、整理して、xM0 tx　とできるので、
なぜなら、　
　 t (M0 tx ) (M0 tx )　
　＝ t (tx ) t M0 M0 tx 　∵行列積の転置行列　
　＝x t M0 M0 tx 　∵転置行列の転置行列　　
　＝x M0 M0 tx 　　∵M0 は対称行列　
　＝x M0 tx 　　　　∵M0 はベキ等行列　

だから、　　
n
Σ
i=1

 ( xi　－x )2 

  　　＝xM0 tx　＝ ( x1 , x2 , … , xn ) M0 t ( x1 , x2 , … , xn )　　


偏差の積和

 x1 , x2 , … , xn  の算術平均をxで、
y1 , y2 , … , yn  の算術平均をyで表すことにする。

偏差の積 (x1－x) (y1－y), (x2－x) (y2－y), …, (xn－x) (yn－y) の和　　
n
Σ
i=1

 ( xi　－x ) ( yi　－y )  

  は、　　


　 t (M0 tx ) (M0 ty )　　　　　　[　→偏差のベクトル、積和の行列表現参照　]

で表される。

　 t (M0 tx ) (M0 ty )　
　＝ t (tx ) t M0 M0 ty 　∵行列積の転置行列　
　＝x t M0 M0 ty 　　∵転置行列の転置行列　　
　＝x M0 M0 ty 　　∵M0 は対称行列　
　＝x M0 ty 　　　　∵M0 はベキ等行列　

となるから、

　　
n
Σ
i=1

 ( xi　－x ) ( yi　－y )  

  ＝x M0 ty 　　＝ ( x1 , x2 , … , xn ) M0 t ( y1 , y2 , … , yn)　　



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