・和の行列表現/平均の行列表現/積和の行列表現/双一次形式/2乗和の行列表現/二次形式
・偏差二乗和の行列表現/偏差の積和の行列表現
※関連ページ:Σの計算/ΣΣ(二重
和)の計算
※関連ページ:無限級数/実行列/実n次元数ベクトル/二次形式の行列表現
【設定】 実n次元数ベクトル
( 1 , 1 , … , 1 )を i
で表し、
実n次元数ベクトル
( x1
, x2 , … , xn ) を x
で表すとする。
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は、 |
実n次元横ベクトルi
と実n次元縦ベクトル txと
の行
列積
i tx
で表すことができる。
【平均】 x1 , x2 , … , xn の算術平均 |
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は、 |
実n次元横ベクトルi
と実n次元縦ベクトル txと
の行
列積をnで割った
(1/n) (i tx
)
で表すことができる。
【文献】 『グリーン計量経済
分析I:改訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)
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【設定】 実n次元数ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )を、 x で表すとする。
【二乗和】 x1 , x2 , … , xnの平方和 |
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(xk)2 |
は、 |
実n次元横ベクトルx と実n次元縦ベクトル txと
の行
列積
x tx
で表すことができる。
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【1】
実n次元横ベクトル ( x1
, x2 , … , xn )をxで表
し、実n次元横ベクトル
( y1
, y2 , … , yn )をyで表
すとする。
積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 |
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= x ty |
実n次元縦ベクトルt( x1 , x2 , … , xn )をxで表し、実n次元縦ベクトルt( y1 , y2 , … , yn )をyで表すとする。
積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 |
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= tx y |
実n次元横ベクトル ( x1 , x2 , … , xn )をxで表し、実n次元横ベクトル ( y1 , y2 , … , yn )をyで表すとする。
積 x1y1 , x2 y2 , … , xn yn の和 |
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= x・y |
・『グリーン計量経済分析I:改 訂4版』エコノミスト社,2000年,2.3.5-2.3.6(pp.17-21)
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【定義】 |
・「n個の変数 x1
, x2 , … , xn、m個の変数y1
, y2 , … , ym についての双一次形式」 |
・永田『線型代数の基礎』5.3(p.143) 対称双一次形式という特殊ケース。 |
【行列表現】 |
・n個の変数 x1
, x2 , … , xn、m個の変数y1
, y2 , … , ym についての双一次形式」
Q (x1
, x2 , … , xn ;
y1
, y2 , … , ym ) は、 |
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設定1 |
実n次元数ベクトル ( 1 ,
1 , … , 1 )をi
で表し、 |
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設定2 |
(1) すべての成分が1で あるn次正方行列は、 実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi との行列積 ti i で表すことができる。 (2)
「実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi と 実n次元縦ベクトル txとの行列積」 ti i tx で表すことができる。 ※ ti iは(n,n)型行列, txは(n,1)型行列だから、 ti i txは(n,1)型、すなわち実n次元縦ベクトル。 (3)
「実n次元縦ベクトル tiと実n次元横ベクトルi と実n次元縦ベクトル txとの行列積」 に、1/nだけスカラー倍を施した (1/n ) ti i tx で表すことができる。 |
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設定3 |
(1) 対角成分が全て (1−1/n ) 、非対角成分が全て−1/n であるn次正方行列を、 M0 で表す。 (2) M0は、n次単位行列Inから、すべて の成分が(1/n)であるn次正方行列(1/n ) ti iを、引くことで、つくれるから、 M0=In−(1/n ) ti i (3) M0は、ベキ等行列。M0M0=M0 実際に、M0M0の対角成分・非対角成分を、計算してみるとわかる。 (4) M0は、対称行列である。 |
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偏差のベクトル |
x1 , x2 , …
, xn の算術平均を x で表すことにする。 xの各成分の平均xからの偏差を表す実n次元縦ベクトル t ( x1−x, x2−x , … , xn−x )は、 1. 実n次元縦ベクトル txと、平均xをすべての成分にもつ実n次元縦ベクトル(1/n ) ti i txとの差 tx−(1/n ) ti i tx 2. n次正方行列M0と実n次元縦ベクトルtxとの行列積 M0 tx で表すことが出来る。 1.2.が等しいことは、計算すれば、すぐわかる。 |
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偏差二乗和 |
x1 , x2 , …
, xn の算術平均を x で表すことにする。
1.実n次元横ベクトルと実n次元縦ベクトルとの行列積 ( x1−x, x2−x , … , xn−x ) t ( x1−x, x2−x , … , xn−x ) →2乗和の行列表現参照 2.実n次元横ベクトル t (M0 tx )と実n次元縦ベクトル M0 tx との行列積 t (M0 tx ) (M0 tx ) →偏差のベクトル、2乗 和の行列表現参照 で表すことが出来る。 2.は、整理して、xM0 tx とできるので、 なぜなら、 t (M0 tx ) (M0 tx ) = t (tx ) t M0 M0 tx ∵行列積の転置行列 =x t M0 M0 tx ∵転置行列の転置行列 =x M0 M0 tx ∵M0 は対称行列 =x M0 tx ∵M0 はベキ等行列
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偏差の積和 |
x1
, x2 , … , xn の算術平均をxで、 y1 , y2 , … , yn の算術平均をyで表すことにする。
t (M0 tx ) (M0 ty ) [ →偏差のベクトル、積和の行列表現参照 ] で表される。 t (M0 tx ) (M0 ty ) = t (tx ) t M0 M0 ty ∵行列積の転置行列 =x t M0 M0 ty ∵転置行列の転置行列 =x M0 M0 ty ∵M0 は対称行列 =x M0 ty ∵M0 はベキ等行列 となるから、
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