実2次元数ベクトル空間における一次結合・線形結合 ― トピック一覧
・定義:一次結合・線形結合/〜から生成された部分ベクトル空間 
・定理:単位ベクトルの一次結合/一次結合の和/一次結合のスカラー倍/互いに一次結合として表せる関係の推移性/一次結合と部分ベクトル空間 
[関連ページ]
実2次元数ベクトル空間関連:実2次元数ベクトル空間の定義/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立・従属の関係/基底/次元/部分ベクトル空間
一次結合関連:n次元数ベクトル空間における一次結合 
        一般の体上の数ベクトル空間における一次結合の定義/一般のベクトル空間における一次結合の定義
Rnの部分ベクトル空間:定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/〜に張られた部分ベクトル空間/和・直和/
             部分空間の基底/部分空間の次元

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定義:実2次元数ベクトルの一次結合・線形結合 linear combination 
設定 R実数体(実数をすべて集めた集合
R2実2次元数ベクトル空間 
+実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
          実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vll個の実2次元数ベクトル。 
    具体的に書くと、
         v1= ( x1, y1 )  ただし、x1, y1 R 
        v2= ( x2, y2 )  ただし、x2, y2 R 
          :             :  
        vl= (  xl, yl )  ただし、xl, yl R 
    したがって、v1 , v2 , …, vl R2
    なお、個数lが有限個であることに注意。

[文献]
・『岩波数学辞典』210線形空間:C線形結合(p.571);
・佐武『線形代数学』T§1(p.4);
・ 永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10);
・ 二階堂『経済のための線型代数』I§2(p.21) ;
・ 戸田山田『計量経済学の基礎統計的手法の理論とプログラミング』2.4.2(p.76)


一般化:
  ・n次元数ベクトル空間への一般化
  ・一般のベクトル空間への一般化
  ・一般の体上の数ベクトル空間への一般化

本題1 l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合・線形結合とは、
それらの(R2で定義された)スカラー倍 a1v1, a2v2, …, alvl (a1, a2, …, al R)の(R2で定義された)ベクトル和
    a1v1a2v2alvl
      
のこと。
なお、R2に定義されているスカラー倍ベクトル和にしたがって、v1,v2,…,vlの一次結合を具体的に計算してみると、
a1v1a2v2alvl
 =( a1x1, a1y1 )( a2x2, a2y2 ) (alxl,alyl )
 =( a1x1a2x2+…+alxl, a1y1a2y2+…+alyl )
     ※上記の+はR2に定めたベクトルの加法ではなく、実数体Rに定められた加法。

 
図解
[図]
 線型結合 ( , ) ( , )を、以下のx-y平面上に表示。
                      
実2次元数ベクトルの線型結合

本題2

実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一次結合・線形結合も、実2次元数ベクトルである。  
なぜなら、
  実2次元数ベクトルスカラー倍は、実2次元数ベクトル)。
  実2次元数ベクトルベクトル和は、実2次元数ベクトル)。
  だから、実2次元数ベクトルスカラー倍ベクトル和として定義された一次結合は、
      実2次元数ベクトルとなる。 
関連 一般のベクトル空間における一次結合の定義一般の体上の数ベクトル空間における一次結合の定義n次元数ベクトル空間における一次結合

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定理:基本ベクトルの一次結合
設定 R実数体(実数をすべて集めた集合
R2実2次元数ベクトル空間 
+実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
          実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v実2次元数ベクトル。 
    具体的に書くと、
     x, yRとして、v( x, y ) 
    したがって、vR2



n次元数ベクトル空間への一般化
定理
 任意の実2次元数ベクトルは、基本ベクトルe1,e2一次結合として表せる。   
 実際、
  任意v=( x, y ) R2は、vxe1+ye2  と表せる。
関連 基本ベクトルの定義基本ベクトルは一次独立基本ベクトルは基底をなす

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定義:一次結合の和
設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
R2実2次元数ベクトル空間 
+:実数体Rにおいて定義されている加法
+実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
          実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vll個の実2次元数ベクトル
    具体的に書くと、
         v1= ( x1, y1 )  ただし、x1, y1 R 
        v2= ( x2, y2 )  ただし、x2, y2 R
          :             :
        vl= (  xl, yl )  ただし、xl, yl R
    したがって、v1 , v2 , …, vl R2
    なお、個数lが有限個であることに注意。 
a1, a2, …, alスカラーa1, a2, …, al R  
b1, b2, …, blスカラーb1, b2, …, bl R  


[文献]
・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(p.32)



n次元数ベクトル空間への一般化
本題 任意実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlR2と、
任意スカラーa1, a2, …, al,b1, b2, …, bl Rにたいして、
(あるいは、任意実2次元数ベクトル一次結合
          a1v1+a2v2++alvl, b1v1+b2v2++blvlにたいして)
  (a1v1+a2v2++alvl+b1v1+b2v2++blvl)=(a1+b1)v1+(a2+b2)v2++(al+bl)vl  
  つまり、
  
なぜ?  (a1v1+a2v2++alvl+b1v1+b2v2++blvl) 
  =(a1v1+b1v1+a2v2+b2v2++alvl+blvl) ∵ベクトル和の結合則・可換則 
  =(a1+b1v1+a2+b2v2++al+blvl    ∵スカラー積のスカラーに関する分配則 
意義

この定理は、以下の点を意味している。
実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl任意の二つの一次結合ベクトル和も、同じ実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合となる。     
  ∵実数体Rの定義より、実数体Rの加法"+"は二項演算だから、ai,biRならば、ai+biR
   したがって、上記右辺は「実2次元数ベクトル一次結合」の定義を満たす。  


   

活用例

n次元数ベクトルから生成された部分ベクトル空間


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定義:一次結合のスカラー倍
設定 R実数体(実数をすべて集めた集合)  
R2実2次元数ベクトル空間 
+実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてスカラーを並べて書いたもの:実数体Rにおいて定義されている乗法 
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
          実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vll個の実2次元数ベクトル
    具体的に書くと、

         v1= ( x1, y1 )  ただし、x1, y1 R 
        v2= ( x2, y2 )  ただし、x2, y2 R 
          :             :  
        vl= (  xl, yl )  ただし、xl, yl R 
    したがって、v1 , v2 , …, vl R2
        なお、個数lが有限個であることに注意。
c,a1,a2,…,alスカラーc,a1,a2,…,alR
[文献]
ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(p.32)



n次元数ベクトル空間への一般化
本題 任意実2次元数ベクトル v1,v2,…,vlR2 と、
任意スカラーa1, a2, …, al ,b1, b2, …, bl Rにたいして、
(あるいは、任意実2次元数ベクトル一次結合a1v1+a2v2++alvlにたいして)
     c (a1v1+a2v2++alvl)=(ca1)v1+(ca2)v2++(cal)vl  
     つまり、
      
なぜ?  c (a1v1+a2v2++alvl
 =c {a1v1+(a2v2++alvl)}     ∵ベクトル和の結合則
 =(ca1)v1+c(a2v2++alvl)     ∵スカラー積のベクトルに関する分配則
 =(ca1)v1+c{a2v2+(a3v3++alvl)}  ∵ベクトル和の結合則
 =(ca1)v1+(ca2)v2+c(a3v3++alvl)  ∵スカラー積のベクトルに関する分配則
  :
  :
 =(ca1)v1+(ca2)v2++(cal)vl 
意義 この定理が意味しているのは、
実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl任意一次結合の、任意スカラー倍も、実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合となるということ。
実数体Rの定義より、実数体Rの乗法は二項演算だから、c,aiRならば、caiR
したがって、上記右辺は「実2次元数ベクトル一次結合」の定義を満たす。
活用例 n次元数ベクトルから生成された部分ベクトル空間


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定理:数ベクトルの集合間で互いに一次結合として表せる関係の推移性
設定 R実数体(実数をすべて集めた集合)  
R2実2次元数ベクトル空間 
v1,v2,…,vll個の実2次元数ベクトル
    具体的に書くと、
         v1= ( xv1, yv1 )  ただし、xv1, yv1 R 
        v2= ( xv2, yv2 )  ただし、xv2, yv2 R 
        :             :  
        vl= (  xvl, yvl )  ただし、xvl, yvl R  
    したがって、v1 , v2 , …, vl R2
        なお、個数lが有限個であることに注意。
u1, u2, … , umm個の実2次元数ベクトル
      具体的に書くと、
         u1= ( xu1, yu1 )  ただし、xu1, yu1 R 
        u2= ( xu2, yu2 )  ただし、xu2, yu2 R 
        :             :  
        um= (  xum, yum )  ただし、xum, yum R  
      したがって、u1, u2, …, um R2
      なお、個数mが有限個であることに注意。 
w1, w2, … , wpp個の実2次元数ベクトル
      具体的に書くと、
         w1= ( xw1, yw1 )  ただし、xw1, yw1 R 
        w2= ( xw2, yw2 )  ただし、xw2, yw2 R 
        :             :  
        wp= (  xwp, ywp )  ただし、xwp, ywp R  
      したがって、w1, w2, …, wp R2
      なお、個数pが有限個であることに注意。 
[文献]
・佐武『線形代数学』V§1補題2(pp.87-8)の証明内;

n次元数ベクトル空間への一般化
命題 条件1:v1 , v2 , …, vlがそれぞれ、u1, u2, … , um一次結合として表わされる 
かつ   
条件2:u1, u2, … , umがそれぞれ、v1 , v2 , …, vl一次結合として表わされる 
かつ 
条件3:u1, u2, … , umがそれぞれ、w1, w2, … , wp一次結合として表わされる  
かつ 
条件4:w1, w2, … , wpがそれぞれ、u1, u2, … , um一次結合として表わされる     
ならば
帰結1:v1 , v2 , …, vlがそれぞれ、w1, w2, … , wp一次結合として表わされる 
かつ  
帰結2:w1, w2, … , wpがそれぞれ、v1 , v2 , …, vl一次結合として表わされる   
対偶 上記命題の対偶として、次の命題が得られる。
条件1:v1 , v2 , …, vlのなかに、w1, w2, … , wp一次結合として表わされないものがある  
または  
条件2:w1, w2, … , wpのなかに、v1 , v2 , …, vl一次結合として表わされないものがある   
ならば
帰結1:v1 , v2 , …, vlのなかに、u1, u2, … , um一次結合として表わされないものがある  
または  
帰結2:u1, u2, … , umのなかに、v1 , v2 , …, vl一次結合として表わされないものがある 
または  
帰結3:u1, u2, … , umのなかに、w1, w2, … , wp一次結合として表わされないものがある 
または    
帰結4:w1, w2, … , wpのなかに、u1, u2, … , um一次結合として表わされないものがある  
関連

→[トピック一覧:一次結合]
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定義:実2次元数ベクトルから生成された部分ベクトル空間、〜の線形包linear hull
設定 R実数体(実数をすべて集めた集合)  
R2実2次元数ベクトル空間  
+実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてスカラーを並べて書いたもの:実数体Rにおいて定義されている乗法 
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
          実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vll個の実2次元数ベクトル
      具体的に書くと、

         v1= ( x1, y1 )  ただし、x1, y1 R 
        v2= ( x2, y2 )  ただし、x2, y2 R 
          :             :  
        vl= (  xl, yl )  ただし、xl, yl R 
      したがって、v1 , v2 , …, vl R2
        なお、個数lが有限個であることに注意。
a1,a2,…,alスカラーc,a1,a2,…,alR  

[文献]
・佐武『線形代数学』V§2(p.94;95-6);
・グリーン『計量経済分析I』定義2.7(p.26);
・佐和『回帰分析』2.1.1(p.16);

n次元数ベクトル空間への一般化

定義 l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選び、固定する。
この、固定した実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
その一次結合a1v1+a2v2++alvl(a1,a2,…,al R)は、a1,a2,…,alの選び方に応じて、多様である。
実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合をすべてあつめた集合       
  { a1v1+a2v2++alvl | a1,a2,…,al R } 
を、v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間v1,v2,…,vl線形包とよび、 
記号 v1,v2,…,vl 等で表す。  
 ※ v1,v2,…,vl の定義では、v1,v2,…,vl一次独立であることは要求されていない。
   { v1,v2,…,vl }一次独立ならば、v1,v2,…,vl v1,v2,…,vl 基底の定義を満たす。  
性質1 v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間 v1,v2,…,vl は、
R2の部分ベクトル空間の定義を満たす。
なぜ? v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間 v1,v2,…,vl は、
R2の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1:〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2部分集合」であって、空集合ではない。
 ※なぜ? 
  ・〈 v1,v2,…,vl 〉は、実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合の集合 ∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義 
  ・実2次元数ベクトルv1,v2,…,vl一次結合は、どれも、実2次元数ベクトル。() 
  ・上記2点より、〈 v1,v2,…,vl 〉は、実2次元数ベクトルの集合  
                     つまり、空集合ではない「R2部分集合」 
   であるといえる。 
Q2:〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2に定められているベクトルの加法」について閉じている。 
  つまり、〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意実2次元数ベクトルu,u' に対して、u+u' v1,v2,…,vl 〉 
  ※なぜ? 次の3点による。
   ・〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意u,u'とは、v1,v2,…,vl任意の二つの一次結合のこと。
        ∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義 
   ・定理より、v1,v2,…,vl任意の二つの一次結合ベクトル和も、v1,v2,…,vl一次結合となる。
   ・「v1,v2,…,vl一次結合」は、「〈 v1,v2,…,vl 〉の」と言換えてよい。∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
Q3:〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2に定められているスカラー乗法」について閉じている。
   つまり、〈 v1,v2,…,vl 〉に属す限りで任意実2次元数ベクトルuと、任意スカラーkRに対して、
            kuv1,v2,…,vl
 ※なぜ? 次の3点による。
   ・〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意uとは、v1,v2,…,vl任意一次結合のこと。
        ∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義 
   ・定理より、v1,v2,…,vl任意一次結合の、任意スカラー倍も、v1,v2,…,vl一次結合となる。
   ・「v1,v2,…,vl一次結合」は、「〈 v1,v2,…,vl 〉の」と言換えてよい。∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
性質2 v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間 v1,v2,…,vl は、
{ v1,v2,…,vl }を含む最小の「R2の部分ベクトル空間」となる。
性質3 { v1,v2,…,vl }を含む最小の「R2の部分ベクトル空間」」は、
{ v1,v2,…,vl }が張る部分空間」《v1,v2,…,vl》と一致するから(→理由)、
v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vl〉は、
{ v1,v2,…,vl }が張る部分空間」《v1,v2,…,vl》と一致する。 
性質4 { v1,v2,…,vl }一次独立ならば、v1,v2,…,vl v1,v2,…,vl 基底となる。
 →詳細

性質5 ・「v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vlにおける一次独立なベクトルの最大個数は、l個と等しいか、l個未満であって、決してl個をこえることはない。
・「v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vlにおける一次独立なベクトルの最大個数l個となる場合は、{ v1,v2,…,vl }一次独立であって、〈 v1,v2,…,vl 〉の基底となる場合。

佐武『線形代数学』V§2(pp.95-6);
関連 Rnの無限集合から生成された部分ベクトル空間も定義できるが、この点については、以下参照。
実ベクトル空間一般における生成された部分ベクトル空間  
ベクトル空間一般における生成された部分空間 

→[トピック一覧:一次結合]
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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-9)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
草場公邦『線形代数(増補版)』(森毅、斉藤雅彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻)朝倉書店、1999年。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、2章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。
二階堂副包『経済のための線型代数』培風館、1961年、I§2(pp.20-21)。

数理統計学のテキスト
William H. Greene(斯波・中妻・浅井訳) 『経済学体系シリーズ:グリーン計量経済分析I:改訂4版』エコノミスト社、2000年、第2章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。
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