実2次元数ベクトル空間R2における基底―トピック一覧 |
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・基底の定義/基底であるための必要十分条件/基本ベクトルは基底の一例/標準基底/基底の存在/座標ベクトル |
※実2次元数ベクトル空間関連ページ:実2次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立・従属の関係/次元/部分ベクトル空間 ※基底の一般化:実n次元数ベクトル空間の基底/実n次元数ベクトル空間の部分空間の基底/実ベクトル空間の基底/体上の数ベクトル空間における基底/一般のベクトル空間の基底 ※線形代数目次・総目次 |
定義:実2次元数ベクトル空間R2における基底 basis | ||
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) R2:実2次元数ベクトル空間 +:実2次元数ベクトル空間R2に定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法 u1, u2, …, ul:l個の実2次元数ベクトル。 具体的に書くと、 u1= ( xu1, yu1 ) ただし、xu1, yu1 ∈R u2= ( xu2, yu2 ) ただし、xu2, yu2 ∈R : : ul= ( xul, yul ) ただし、xul, yul ∈R したがって、u1, u2, …, ul ∈R2 。なお、個数lが有限個であることに注意。 v:実2次元数ベクトル。具体的に書くと、x, y∈Rとして、v= (x,y) したがって、v∈R2。 a1, a2, …, al :スカラー。a1, a2, …, al ∈R |
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定義 |
「l個の実2次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が実2次元数ベクトル空間R2の基底basisである」 とは、 { u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことを言う。 |
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条件P1:u1, u2, …, ul が線形独立となること。 条件P2:u1, u2, …, ul の一次結合として、R2に属す任意の実2次元数ベクトルを表せること。 ( ∀v∈R2) ( ∃a1,a2,…,al ∈R) ( v = a1u1+a2u2+…+alul ) なお、この2条件は、次の条件と同値。 条件Q:u1, u2, …, ulの一次結合としてR2に属す任意の実2次元数ベクトルを一意的に表せる。 |
[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26); ※関連事項:基底であるための必要十分条件 ※活用例:座標ベクトル ※グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)は、 この定義の必要十分条件(→基底であるための必要十分条件)のほうを「基底の定義」としている。 |
※ | 実2次元数ベクトル空間R2の基底(の定義を満たすR2の部分集合)は、複数セット存在する。
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例 |
・2個の実2次元数ベクトルを集めた { ( 1,-1 ), ( 1,1 ) } は、「R2の基底」である。 その一次結合 a1(1,-1)+ a2( 1,1 ) は、係数a1,a2を調整してやることで[下図参照]、 R2に属す任意の実2次元数ベクトル(つまり、x-y座標平面上の全ての点)を一意に表すことができるから。 ・2個の実2次元数ベクトルを集めた { ( 1,0 ), ( 0,1 ) } は、「R2の基底」である。 その一次結合 a1(1,0)+ a2( 0,1 ) は、係数a1,a2を調整してやることで[下図参照]、 R2に属す任意の実2次元数ベクトル(つまり、x-y座標平面上の全ての点)を表すことができるから。 この「R2の基底」 { ( 1,0 ), ( 0,1 ) } を、「R2の標準基底」と呼ぶ。 |
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※ | [次のステップへ] 基底basisの定義は、分かった。 では、どういう風に、実2次元数ベクトルをあつめると、 基底basisを構成できるのだろうか? つまり、どういう風に、実2次元数ベクトルをあつめると それらの実2次元数ベクトルだけの一次結合として、 R2平面上のあらゆる点を表すことができるようになるのだろうか? →答えは、基底であるための必要十分条件を参照。 |
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証明 |
(証明:条件P1;P2⇔命題Q) ・条件P1;P2⇒条件Q 永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(pp.17-8); ・条件Q⇒条件P1;P2 永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(p.18); | |
※ | 上位概念:Rnにおける基底/一般のベクトル空間の有限集集合が基底であるということ/体上の数ベクトル空間の有限集合が基底であるということ。 |
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定理:「実2次元数ベクトル空間R2の基底」であるための必要十分条件 | ||
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要旨 |
・「実2次元数ベクトル空間R2の基底」は、どれも、 「2個の線形独立な(=原点を通る一直線上に並ばない)実2次元数ベクトル」である。 ・ 逆に、「2個の線形独立な(=原点を通る一直線上に並ばない)実2次元数ベクトル」は、どれでも、 「実2次元数ベクトル空間R2の基底」として用をなす。 ・「2個の線形従属な(=原点を通る一直線上に並ぶ)実2次元数ベクトル」は、 「実2次元数ベクトル空間R2の基底」とならない。 | ※「2個の線形独立な実2次元数ベクトル」を「基底の定義」とするテキストもある。 [グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)] ※正則行列であるための必要十分条件―基底の観点も見よ。 |
図解 |
おおよその事情は、下図で確認できる。 ・「2個の線形従属な実2次元数ベクトル」は、「原点を通る一直線」上に並ぶので、 この2個の実2次元数ベクトルの一次結合は、その「原点を通る一直線」上の点しか表せない。 ・これに対して、 「2個の線形独立な実2次元数ベクトル」は 原点からそれぞれ別方向の直線上に位置するので、 この2個の実2次元数ベクトルの一次結合は、R2平面上のあらゆる点をその射程に収めることができる。 |
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) R2:実2次元数ベクトル空間 +:実2次元数ベクトル空間R2に定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法 u1, u2, …, ul:l個の実2次元数ベクトル。 具体的に書くと、 u1= ( xu1, yu1 ) ただし、xu1, yu1 ∈R u2= ( xu2, yu2 ) ただし、xu2, yu2 ∈R : : ul= ( xul, yul ) ただし、xul, yul ∈R したがって、u1, u2, …, ul ∈R2 。 なお、個数lが有限個であることに注意。 v:実2次元数ベクトル。 具体的に書くと、x, y∈Rとして、v= (x,y) したがって、v∈R2。 a1, a2, …, al :スカラー。a1, a2, …, al ∈R | |
[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26); |
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詳細 |
「l個の実2次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が実2次元数ベクトル空間R2の基底である」 ことは、 { u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことと同値である。 条件R1:u1, u2, …, ulが線形独立となること。 条件R2:l=2 であること。 |
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証明 |
・「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }がR2の基底の定義を満たす」を示す。 定理より、 「実2次元数ベクトル空間R2においては、 2個の実2次元数ベクトルu1, u2が線形独立ならば、R2の基底となる」 から、 { u1, u2, …, ul }が、条件R1,R2を満たす、 すなわち、{ u1, u2} が(→R2)、線形独立となる(→R1) ならば、 { u1, u2} は、R2の基底の定義を満たす。 ・「{ u1, u2, …, ul }が基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」 を示す。 ・基底であるための条件P1と、条件R1はもともと同じ。 したがって、 「{ u1, u2, …, ul }がR2の基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1を満たす」 ・R2の次元に関する定理より、 { u1, u2, …, ul }がR2の基底の定義を満たすならば、l=2 となる。 したがって、 「{ u1, u2, …, ul }がR2の基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R2を満たす」 |
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定理:基本ベクトルは基底の一例 定義:標準基底 |
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) R2:実2次元数ベクトル空間 |
[文献―R2限定] ・志賀『固有値問題30講』1講(p.2) [文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125); ・布川谷野中山『線形代数と凸解析』例2.4(pp.36-7) |
定理 |
・実2次元数ベクトル空間R2の基本ベクトルe1=( 1,0 ),e2=( 0,1 ) で、 |
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証明 |
・基本ベクトルe1,
e2は線形独立(∵)。 ・基本ベクトルe1, e2の一次結合として、R2に属す任意の実2次元数ベクトルを表せる。 実際、 任意のv=(x,y)∈R2は、v=xe1+ye2 と表せる[下図参照]。 | |
定義 |
「R2の基本ベクトル」e1=( 1,0 ),e2=( 0,1 ) から構成された「R2の基底」 {e1, e2}= { ( 1,0 ), ( 0,1 ) } を、 R2の標準基底 と呼ぶ。 |
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定理:基底の存在 | ||
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設定 | R:実数体(実数をすべて集めた集合) R2:実2次元数ベクトル空間 |
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本題 |
実2次元数ベクトル空間R2は、すべて、(少なくとも一セット以上の)基底を有す。
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証明 | 少なくとも、実2次元数ベクトル空間R2の基本ベクトルは、R2の基底であるから。 |
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定義:実2次元数ベクトルの座標ベクトル | ||
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設定 | R:実数体(実数をすべて集めた集合) R2:実2次元数ベクトル空間 |
[文献―R2限定] ・志賀『固有値問題30講』1講(p.2) [文献] ・松坂『解析入門4』18.1-A (p.84):数ベクトル空間限定; ・志賀『線形代数30講』8講:R2のケース「斜交座標」(p.51);10講:R3のケース(p.66) ※一般化: ・実n次元数ベクトルの座標ベクトル ・実ベクトルの座標ベクトル ※活用例:基底変換行列 |
定義 |
・「実2次元数ベクトルv=(x,y)の《R2の基底 { p, q }》に関する座標ベクトル」とは、 実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2を、 「R2の基底{ p,q }の一次結合」v =pp+ qq として表した際の、 実数の組(p, q)のことをいう。 |
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性質 |
・「実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2の 《R2の標準基底 { e1, e2 }》に関する座標ベクトル」は、 実2次元数ベクトルv=(x,y)それ自身である。 実際、 任意のv=(x,y)∈R2 は、 v = xe1+ ye2 と表される。 |
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・「標準基底 { e1, e2 }以外の《R2の基底 { p, q }》に関する 実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2の座標ベクトル」に、 基底変換の行列をかけると、 「実2次元数ベクトルv=(x,y)∈R2の 《R2の標準基底 { e1, e2 }》に関する座標ベクトル」 すなわち、 実2次元数ベクトルv=(x,y)それ自身 に変換される(→活用例:基底変換行列)。 |
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