実2次元数ベクトル空間R2における線形従属・線形独立：トピック一覧　
　・定義：一次独立･線形独立/一次従属･線形従属　　　
  ・定理：一次独立/従属の判定の簡便法
　　　　　　―1個の実2次元数ベクトルについて
　　　　　　―3個以上の実2次元数ベクトルについて
　　　　　　―2個の実2次元数ベクトルについて
　・定理：ベクトル1個の一次独立/単位ベクトルは一次独立/線型結合を用いた一次独立の言い換え/正則行列の各列・各行はベクトルとして一次独立
　　　　　　一次独立なベクトルは非零ベクトル/一次独立なベクトルの一部　
　・定理：線型結合を用いた一次従属の言い換え　　　
※実2次元数ベクトル空間関連ページ：実2次元数ベクトル空間の定義/線形結合/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/次元/部分ベクトル空間　　
※上位概念：一般のベクトル空間における一次独立・従属/体上の数ベクトル空間における一次独立･従属/実n次元数ベクトル空間における一次独立・従属　
→線形代数目次・総目次

定義：実2次元数ベクトルの一次独立・線形独立／一次従属・線形従属　linearly independent／dependent　　
→実2次元数ベクトルの一次独立・線型独立の定義/一次従属・線型従属の定義
→1個の実2次元数ベクトルについての、一次独立/従属の判定　　
→2個の実2次元数ベクトルについての、一次独立/従属の判定　
→3個以上の実2次元数ベクトルについての、一次独立/従属の判定　
※一般化：実n次元数ベクトルのケース　
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
+：実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：
　　　　　　　　　　実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。　
　　　　具体的に書くと、
　 　　　 　　　v1= ( x1, y1 )　　ただし、x1, y1 ∈R　
　　　　　　　　v2= ( x2, y2 )　　ただし、x2, y2 ∈R　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　　　　　vl= (  xl, yl )　　ただし、xl, yl ∈R　　
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　　		 [文献―R2限定]
＊神谷『経済学のための数学入門 』例3.1.1(pp.108-9):2個のベクトル
・砂田『行列と行列式』§5.1-e(p.21):2個のベクトル

・志賀『線形代数30講』8講(pp.49-50);
・川久保『線形代数学』定理6.4.2(p.128)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.4.2(pp.76-7)
・グリーン『計量経済分析I』2.4.3(pp.25-6);
・佐和『回帰分析』2.1.2(p.17);


以下は、R2限定かどうか確かめてない。
[文献3]
・柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』 §1.2(pp.5-6);
・草場『線形代数』定義2.2(pp.54-5);
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10);
・ Chiang,Fundamental Methods of Mathematical Economics 4.3 (pp.70-71) .
・ 矢野田代『社会科学者のための基礎数学』2章§6(p.43). ;

[長い解説]
背景
問1		 l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを取り上げる。
このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０　
を満たすl個の実数a1, a2, …, al は存在するだろうか？
存在するとしたら、それは、どのような実数l個の組合せになるのだろうか？

つまり、
　実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一次結合を零ベクトル（0,0）にするような
　　　　　係数の組み合わせa1, a2, …, al は存在するのだろうか？
回答
1-1		 ・どのようにl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選んだとしても、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０　　
　を満たすl個の実数a1, a2, …, alは少なくとも一組は存在する。
　このことを論理記号であらわせば、　
　（∀ v1,v2,…,vl ∈R2 ）（∃a1, a2, …, al∈R）（ a1v1+a2v2+…+alvl=０ ）
・なぜ、そうなるのかといえば、　
　どのようにl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選んだとしても、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　l個の実数a1＝a2＝…＝al＝０が、　　
　　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０
　を満たすからである。　
　　∵実2次元数ベクトルのスカラー０倍は零ベクトル、
　　　零ベクトルとのベクトル和の性質　

・以上を、
　2個の実2次元数ベクトル　( x1, y1 ),( x2, y2 )　と、
　その一次結合a1( x1, y1 )+　a2( x2, y2 )について、
　確かめてみよう。　
・どのように、2個の実2次元数ベクトル( x1, y1 ),( x2, y2 )　を選んだとしても、　　
　係数a1, a2,を両方ともゼロにしてしまえば、
　一次結合a1( x1, y1 )+a2( x2, y2 )が零ベクトル（0,0）になることは、
　以下の図をいじれば、明白。

[図]
　線型結合 ( , ) ＋ ( , )を、
　以下のx-y平面上に表示。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
実2次元数ベクトルの線型結合


回答
1-2
・つまり、
　どのようにl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選んだとしても、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０　
　を満たすl個の実数a1, a2, …, alとして、
　a1＝a2＝…＝al＝０が、いつでも存在する。
これは、見方をかえれば、
　どのようにl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選んだとしても、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０かつa1＝a2＝…＝al＝０
　　　を満すl個の実数a1, a2, …, al 　　
　が、いつでも存在するということ。　　　
　このことを論理記号であらわすと、
　（∀v1,v2,…,vl∈R2）
  　　　　（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ(a1＝a2＝…＝al＝０)）

背景
問2		 ・l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを取り上げる。
・このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　一次結合a1v1+a2v2+…+alvlを、零ベクトル（0,0）にするl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　　すなわち、　a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たすl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　としては、
　まず、a1＝a2＝…＝al＝０をあげることができる。
　（∵前段）。
・では、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　一次結合a1v1+a2v2+…+alvlを、零ベクトル（0,0）にするl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　すなわち、a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たすl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　は、
　(i) a1＝a2＝…＝al＝０だけであって、
　　 a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せは存在しないのだろうか？　
　それとも、　
　(ii) a1＝a2＝…＝al＝０に加えて、a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せも存在するのだろうか？

・つまり、
　このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　「a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たし、
　　　かつ、a1＝a2＝…＝al＝０を満たさない　
　　l個の実数a1, a2, …, al 」
　は　　　
　(i) 　存在しないのか、　
　(ii) 　存在するのか。

・この問いを論理記号であらわせば、　
　与えられたl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、　　
　(i) ￢（（∃a1, a2, …, al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)））　
　であるのか、それとも、
　(ii) （∃a1, a2, …, al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　であるのか。　
回答
2		 ・問2については、一概には、どちらともいえない。
　l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの選び方によって、
　　「a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たし、
　　　　かつ、a1＝a2＝…＝al＝０を満たさない　
　　　l個の実数a1, a2, …, al 」
　が　　　
　　(i) 　存在しない
　こともあれば、　
　　(ii) 　存在する
　こともある。　　
・(i) (ii) の２つのケースに重複はないので、
　l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlは、(i) か(ii) のいずれかである。　
・ということは、
　(i) (ii) は、あらゆるl個の実2次元数ベクトルを、２つのケースに二分する分類軸として機能する。
　(i)を一次独立ないし線形独立と呼び、 (ii) 一次従属ないし線形従属をとよぶ。
[定義]
線形独立
の
定義		 (1)
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立・線形独立であるとは、
・「このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　一次結合a1v1+a2v2+…+alvlを、零ベクトル（0,0）にするl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　　すなわち、a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たすl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　は、
　　a1＝a2＝…＝al＝０だけであって、a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せは存在しない」ということ
・つまり、
　「この実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たし、かつ、a1＝a2＝…＝al＝０を満たさない　
　　l個の実数a1, a2, …, al は存在しない」ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv1,v2,…,vl ∈R2にたいして、　
　　　￢（（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)））
をいう。　
(2)　この定義は、次のように述べてもよい。
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立・線形独立であるとは、
・「この実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、どのようにl個の実数a1, a2, …, al をとっても、
　　　a1v1+a2v2+…+alvl≠０となるか、あるいは、a1＝a2＝…＝al＝０となるか、しかない」
　　ということ。
・論理記号であらわせば、与えられたv1,v2,…,vl ∈R2にたいして、　
　　　（∀a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl≠０)または(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　ということ。　　
(3)　この定義は、次のようにも述べてもよい。
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立・線形独立であるとは、
・「この実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、どのようにl個の実数a1, a2, …, al をとっても、
　　　a1v1+a2v2+…+alvl=０ならば、a1＝a2＝…＝al＝０」
　　ということ。
・論理記号であらわせば、与えられたv1,v2,…,vl ∈R2にたいして、　
　　　（∀a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０) ⇒ (a1＝a2＝…＝al＝０)）
　ということ。　　
(4)　この3つの線形独立の定義が同じモノであることは、次のようにして確かめられる。
　　　￢（（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)））
　　　⇔　（∀a1,a2,…,al∈R）￢（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵存在命題の否定は否定命題の全称命題に言いかえられる　
　　　⇔　（∀a1,a2,…,al∈R）（￢(a1v1+a2v2+…+alvl=０)または￢￢(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵連言の否定は、否定命題の選言に言いかえられる　　　　
　　　⇔　（∀a1,a2,…,al∈R）（￢(a1v1+a2v2+…+alvl=０)または(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵命題の２重否定はもとの命題　　
　　　⇔　（∀a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)⇒(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵ならば⇒の定義 ：「A⇒B」とは、「(￢A)またはB」のこと　
※
 [次のステップへ]
　線型独立linearly independentの定義は、分かった。
　では、どういう風に、実2次元数ベクトルをあつめると、
　それらは、線型独立になるのだろうか？
　端的なメルクマールはないのだろうか？
　→答えは、判定の簡便法を参照。
線形従属
の
定義		 (1)
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属・線形従属であるとは、
・「このl個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　一次結合a1v1+a2v2+…+alvlを、零ベクトル（0,0）にするl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　　すなわち、a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たすl個の実数a1, a2, …, alの組合せ
　　には、
　　a1＝a2＝…＝al＝０に加えて、a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せもある」
　　ということ
・つまり、
　「a1v1+a2v2+…+alvl=０　を満たし、かつ、a1＝a2＝…＝al＝０を満たさない　
　　　l個の実数a1, a2, …, al が存在する」ということ
・論理記号であらわせば、　
　（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　ということ
をいう。　
(2)　この定義は、次のように述べてもよい。
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属・線形従属であるとは、
・「この実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　『a1v1+a2v2+…+alvl≠０　または　a1＝a2＝…＝al＝０』
　　を満たさないl個の実数a1, a2, …, al が存在する」
　ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv1,v2,…,vl ∈Rnにたいして、　
　（∃a1,a2,…,al∈R）￢（￢(a1v1+a2v2+…+alvl=０)または(a1v1+a2v2+…+alvl=０)）
　ということ
をいう。　　
(3)　この定義は、次のようにも述べてもよい。
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属・線形従属であるとは、
・「この実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
　　　『a1v1+a2v2+…+alvl=０ならば、a1v1+a2v2+…+alvl=０』
　　を満たさないl個の実数a1, a2, …, al が存在する」
　ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv1,v2,…,vl ∈Rnにたいして、　
　　（∃a1,a2,…,al∈R）￢（(a1v1+a2v2+…+alvl=０) ⇒ (a1＝a2＝…＝al＝０)）
　ということ　　　
をいう。　　
(4)　この3つの線形従属の定義が同じモノであることは、次のようにして確かめられる。
　　（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　⇔（∃a1,a2,…,al∈R）￢（￢(a1v1+a2v2+…+alvl=０)または(a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵命題の２重否定はもとの命題、選言の否定と否定命題の連言は言い換え可能　
　⇔（∃a1,a2,…,al∈R）￢（(a1v1+a2v2+…+alvl=０) ⇒ (a1＝a2＝…＝al＝０)）
　　　　∵ならば⇒の定義 ：「A⇒B」とは、「(￢A)またはB」のこと
※ [次のステップへ]
　線型従属linearly dependentの定義は、分かった。
　では、どういう風に、実2次元数ベクトルをあつめると、
　それらは、線型従属になるのだろうか？
　端的なメルクマールはないのだろうか？
　→答えは、判定の簡便法を参照。
線形従属
/独立
の
関係		 ・「l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属・線形従属である」は、
　「l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立・線形独立である」ことの否定命題。
・「l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立・線形独立である」は、
　「l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属・線形従属である」ことの否定命題。
・なぜなら、
　「v1,v2,…,vlが一次独立・線形独立」は、
　　　￢（（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)））
　として、
　「v1,v2,…,vlが一次従属・線形従属」は、　　　
　　　（（∃a1,a2,…,al∈R）（(a1v1+a2v2+…+alvl=０)かつ￢(a1＝a2＝…＝al＝０)））　
　として、
　定義されているのだから、明らか。
※ 上位概念：一般のベクトル空間における一次独立、体上の数ベクトル空間における一次独立
　　　　　一般のベクトル空間における一次従属、体上の数ベクトル空間における一次従属　
　　　　　実n次元数ベクトル空間における一次独立・従属　
→[トピック一覧：線形従属･線形独立]
→線形代数目次・総目次

一次独立/従属の判定の簡便法
実2次元数ベクトルの一次独立/従属の判定は、
　・1つの実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定
　・2つの実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定
　・3つ以上の実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定
に分けると、簡便である。　
[1つの実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定]
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
v：1個の実2次元数ベクトル。
　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　v= ( x, y )　　ただし、x, y ∈R　
　　　　　　したがって、v ∈R2。
a1：スカラー。a1∈R　
※一般化：一つの実n次元数ベクトルの一次独立性の判定　

[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86);
本題
 次の二つの命題は同値。
　命題P：実2次元数ベクトルvが一次独立。
　命題Q：実2次元数ベクトルvは零ベクトル以外。　　　
次の二つの命題も同値。
　命題Pの否定命題：実2次元数ベクトルvが一次従属。
　命題Qの否定命題：実2次元数ベクトルvは零ベクトル。

なぜ？
 step1:(￢命題Q)⇒（￢命題P）を示す。
　・v=０ならば、
　　　任意のa∈Rにたいして、a０＝０。　
　・だから、
　　v=０ならば、（∃a1∈R）（(a1v=０)かつ(a1≠０)）。
　・つまり、
　　v=０ならば、vは、一次従属の定義「（∃a1∈R）（(a1v=０)かつ(a1≠０)）」を満たす。　
step2:「(￢命題Q)⇒（￢命題P）」がstep1で示されたので、その対偶「命題P⇒命題Q」も成り立つ（∵）。
step3:命題Q⇒命題Pを示す
　・v= ( x, y )≠０ならば、「x≠0またはy≠0 」　…(3-1)　
　・(3-1)より、
　　「v= ( x, y )≠０かつa1≠０」ならば、「『x≠0またはy≠0 』かつ　a1≠０」…(3-2)　　　　　
　・(3-2)と分配則より、
　　「v= ( x, y )≠０かつa1≠０」ならば、「『x≠0かつa1≠０』または『y≠0かつa1≠０ 』」…(3-3)　
  ・実数の性質より、「( ∀x,y∈R ) ( x≠0かつy≠0 ⇒ xy≠0 )」だから、
　　　　（x≠0かつa1≠０）⇒ a1x≠0、（y≠0かつa1≠０）⇒ a1y≠0　　　
　　したがって、(3-3)より、
　　「v= ( x, y )≠０かつa1≠０」ならば、「a1x≠0またはa1y≠0」
　　つまり、
　　「v≠０かつa1≠０」ならば、「a1v≠０」…(3-4)　
　・(3-4)は、
　　　「v≠０　ならば、『a1≠０ならばa1v≠０』」…(3-5)
  　と言い換えてよい（∵）。
　・(3-5)は、
　　　「v≠０　ならば、『a1＝０またはa1v≠０』」…(3-6)
  　と言い換えてよい（∵「AならばB」の定義：(￢A)∨B）。
　・(3-6)より、
　　　　v≠０　ならば、
　　　　　　　「vが一次独立」の定義「￢（（∃a1∈R）（(a1v=０)かつ(a1≠０)））」が満たされる。
step4:「命題Q⇒命題P」がstep3で示されたので、その対偶「（￢命題P）⇒(￢命題Q)」も成り立つ（∵）。
　



[2つの実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定]
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
v1,v2：2個の実2次元数ベクトル。
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( x1, y1 )　　ただし、x1, y1 ∈R　
　　　　v2= ( x2, y2 )　　ただし、x2, y2 ∈R　
　　　　したがって、v1 , v2 ∈R2 。
a1, a2 ：スカラー。a1, a2 ∈R　
[文献]
・砂田『行列と行列式』§5.1-e(p.21):2個のベクトル;
・志賀『線形代数30講』8講(p.49):2個の実2次元数ベクトル;
・ 神谷『経済学のための数学入門 』p.108!;
・西村『経済数学早わかり』p.39;
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』pp.76-7
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10);
本題 次の三つの命題は同値。
命題P：実2次元数ベクトルv1,v2が一次独立。
命題Q：実2次元数ベクトルv1を、実2次元数ベクトルv2のスカラー倍として、表せない。
　　　　かつ、実2次元数ベクトルv2を、実2次元数ベクトルv1のスカラー倍として、表せない。
命題R：原点,v1,v2が、一直線上に並ばない（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なるということもない。）。

次の三つの命題も同値。
　命題Pの否定命題：実2次元数ベクトルv1,v2が一次従属。
　命題Qの否定命題：実2次元数ベクトルv1を、実2次元数ベクトルv2のスカラー倍として、表せる。
　　　　　　　　　　または、実2次元数ベクトルv2を、実2次元数ベクトルv1のスカラー倍として、表せる。
　命題Rの否定命題：原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ。（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なってもよい。）　
　　　　　
図解
[図解：二つの実2次元数ベクトルの一次独立/従属]
　v1＝（ , ）
　v2＝（ , ）について、

実2次元数ベクトルの一次独立の判定
左図をいじると、
原点,v1,v2が、一直線上に並ぶかどうかで、
v1,v2の一次独立/従属が決定されることがわかる。

証明
v1,v2の一次結合を零ベクトルにする係数は、は存在するか。]
step1:「（￢命題P）⇒(￢命題Q)」の証明
　 ￢命題P「v1,v2が一次従属」とは、「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」のこと。
　したがって、￢命題P 「v1,v2が一次従属」ならば、
　　　　　　　　　　(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)を満たすa1,a2∈Rのうち、　　　
　　　　　　　　　　　　a1が0でない場合、v1=－(a2/a1)v2　と表せ、
　　　　　　　　　　　　a2が0でない場合、v2=－(a1/a2)v1　と表せる。
　つまり、￢命題P 「v1,v2が一次従属」ならば、(￢命題Q)が成立する。
step2:「（￢命題P）⇒(￢命題Q)」が示されたので、その対偶「命題Q⇒命題P」も成り立つ（∵）。　　　　　　　　　　
step3:「（￢命題Q）⇒(￢命題P)」の証明
　　　 ￢命題Qとは、「（∃a2∈R）（v1＝a2v2）または（∃a1∈R）（v2＝a1v1）」。
　　　・（∃a2∈R）（v1=a2v2）⇔（∃a2∈R）（1v1－a2v2=０）だから、
　　　　　　　（∃a2∈R）（v1＝a2v2）　⇒　（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）
　　　　　つまり、（∃a2∈R）（v1＝a2v2）ならば、v1,v2について一次従属の定義が満たされる。
　　　　　　　　　　　（たとえ、a2＝０であっても、成り立つことに注意。）
　　　・（∃a1∈R）（v2＝a1v1）⇔（∃a1∈R）（a1v1－v2=０）だから、
　　　　　　　（∃a1∈R）（v2＝a1v1）　⇒　（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）
　　　　　つまり、（∃a1∈R）（v2＝a1v1）ならば、v1,v2について一次従属の定義が満たされる。
　　　　　　　　　　　（たとえ、a1＝０であっても、成り立つことに注意。）
　　　したがって、（￢命題Q）が成り立つならば、￢命題P 「v1,v2が一次従属」が成り立つ。　　　　
step4:「（￢命題Q）⇒(￢命題P)」が示されたので、その対偶「命題P⇒命題Q」も成り立つ（∵）。　
step5:「（￢命題Q）⇒(￢命題R)」の証明
　　　　　￢命題Qとは、「（∃a2∈R）（v1＝a2v2）または（∃a1∈R）（v2＝a1v1）」。
　　　　・（∃a2∈R）（v1＝a2v2）が成り立つケースについて考える。
　　　　　（∃a2∈R）（v1＝a2v2）が成り立つケースは、以下の4ケースで、言い尽くされる。
　　　　　　　[ケース1]　v2＝０　である場合
　　　　　　　　　　　　　このとき、a2の値にかかわりなくv1＝０。
　　　　　　　　　　　　　だから、この場合、v1＝v2＝０。つまり、　v1、v2、原点は、同一点。　
　　　　　　　[ケース2]　v2≠０　かつ　a2＝０である場合
　　　　　　　　　　　　　このとき、v1＝０。　
　　　　　　　　　　　　　だから、この場合、v1＝０かつv2≠０。つまり、v1、原点は同一で、v2は、別の一点。　
　　　　　　　[ケース3]　v2≠０　かつ　a2≠０かつa2≠1である場合
　　　　　　　　　　　　　この場合、v1≠０　かつ　v2≠０　であって、v1＝a2v2(a2≠０,1)が満たされている。
　　　　　　　　　　　　　つまり、v1,v2,原点は別の3点であって、原点を通る同一直線上に並ぶ。　　　　　　
　　　　　　　[ケース4]　v2≠０　かつ　a2≠1である場合
　　　　　　　　　　　　　この場合、v1≠０　かつ　v2≠０　であって、v1＝v2が満たされている。
　　　　　　　　　　　　　つまり、v1,v2、原点とは異なる同一点。
　　　　　　　※（∃a2∈R）（v1＝a2v2）が成り立つとき、「v2＝０かつv1≠０」のケースはありえないことに注意。　　　　　　　　　　
　　　　　　以上の検討から、
　　　　　　（∃a2∈R）（v1＝a2v2）が成り立つ　ならば、　　　　
　　　　　　　　￢命題R「原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ。（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なってもよい）」が成立する
　　　　　　といえる。　
　　　　・（∃a1∈R）（v2＝a1v1）が成り立つケースについて考える。
　　　　　（∃a1∈R）（v2＝a1v1）が成り立つケースは、以下の4ケースで、言い尽くされる。
　　　　　　　[ケース1]　v1＝０　である場合
　　　　　　　　　　　　　このとき、a1の値にかかわりなくv2＝０。
　　　　　　　　　　　　　だから、この場合、v1＝v2＝０。つまり、　v1、v2、原点は、同一点。　
　　　　　　　[ケース2]　v1≠０　かつ　a1＝０である場合
　　　　　　　　　　　　　このとき、v2＝０。　
　　　　　　　　　　　　　だから、この場合、v1≠０かつv2＝０。つまり、v2,原点は同一で、v1は別の一点。　
　　　　　　　[ケース3]　v1≠０　かつ　a1≠０かつa1≠1 である場合
　　　　　　　　　　　　　この場合、v1≠０　かつ　v2≠０　であって、v2＝a1v1(a1≠０,1)が満たされている。
　　　　　　　　　　　　　つまり、v1,v2は、原点とは異なる点であって、
　　　　　　　　　　　　　　　　　原点を通る同一直線上に並ぶ別々の点。　
　　　　　　　[ケース4]　v1≠０　かつ　a1＝1 である場合
　　　　　　　　　　　　　この場合、v1≠０　かつ　v2≠０　であって、v2＝v1。
　　　　　　　　　　　　　つまり、v1,v2は、原点とは異なる同一点。
　　　　　　　※（∃a1∈R）（v2＝a1v1）が成り立つとき、「v1＝０かつv2≠０」のケースはありえないことに注意。　　　　　　　　　　　　
　　　　　　以上の検討から、
　　　　　　（∃a2∈R）（v1＝a2v2）が成り立つ　ならば、　　　　
　　　　　　　　￢命題R「原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ。（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なってもよい）」が成立する
　　　　　　といえる。　
　　　　・以上から、
　　　　　（∃a2∈R）（v1＝a2v2）であれ、（∃a1∈R）（v2＝a1v1）であれ、
　　　　　　￢命題Qが成り立つ　ならば、　　　　
　　　　　　　　￢命題R「原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ。（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なってもよい）」が成立する
　　　　　　といえる。
step6:「（￢命題Q）⇒(￢命題R)」が示されたので、その対偶「命題R⇒命題Q」も成り立つ（∵）。
step7:「（￢命題R）⇒(￢命題Q)(￢命題P)」の証明
　　　・￢命題R「原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ（三点のうち、二点ないし三点が、同一点上に重なってもよい）」は、
　　　　以下の5ケースで、言い尽くされる。
　　　　[ケース1：原点,v1,v2が同一点である場合]　　
　　　　　　これは、v1＝v2＝０　である場合だから、v1＝0v2, v2＝0v1　と表せ、(￢命題Q)が成り立つ。
　　　　　　また、v1＝v2＝０　である場合、
　　　　　　　(￢命題P)」「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」の成立は、容易に確認できよう。　　　　　　　　　　
　　　　[ケース2：原点,v1が同一点であって、v2のみが原点とは異なる一点である場合]　
　　　　　　これは、v1＝０かつv2≠０　である場合だから、
　　　　　　v2はv1のスカラー倍として表しようがないが、
　　　　　　v1＝0v2というかたちで、v1はv2のスカラー倍として表せる。
　　　　　　また、v1＝０かつv2≠０　である場合、
　　　　　　　(￢命題P)」「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」の成立も、
　　　　　0以外の適当な実数をa1、0をa2とすることで、　容易に確認できよう。　　
　　　　[ケース3：原点,v2が同一点であって、v1のみが原点とは異なる一点である場合]
　　　　　　これは、v2＝０かつv1≠０　である場合だから、
　　　　　　v1はv2のスカラー倍として表しようがないが、　　　
　　　　　　v2＝0v1というかたちで、v2はv1のスカラー倍として表せる。
　　　　　　また、v2＝０かつv1≠０　である場合、
　　　　　　　(￢命題P)」「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」の成立も、
　　　　　0をa1、0以外の適当な実数をa2とすることで、容易に確認できよう。　　
　　　　[ケース4：v1,v2が、原点とは異なる同一点である場合]　　
　　　　　　これは、v1＝v2≠０　である場合だから、
　　　　　　v1＝1v2というかたちで、v1はv2のスカラー倍として表せ、
　　　　　　v2＝1v1というかたちで、v2はv1のスカラー倍として表せる。
　　　　　　また、v1＝v2≠０　である場合は、
　　　　　　　(￢命題P)」「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」の成立を、
　　　　　　1をa1、-1をa2とすることで、容易に確認できよう。
　　　　[ケース5：原点,v1,v2が、一直線上に並ぶ異なる三点である場合]　　
　　　　　　これはv1≠０かつv2≠０かつv1≠v2であって、ある実数c≠０,1が存在して、v1=cv2が満たされる場合だから、
　　　　　　v1＝cv2というかたちで、v1はv2のスカラー倍として表せ、
　　　　　　v2＝(1/c)v1というかたちで、v2はv1のスカラー倍として表せる。
　　　　　　また、この場合は、a1v1+a2v2＝a1v1+(a2/c)v1に注意して、
　　　　　　　(￢命題P)「（∃a1,a2∈R）（(a1v1+a2v2=０)かつ￢(a1＝a2＝０)）」の成立を、
　　　　　　1をa1、－cをa2とすることで確認できよう。
step7:「（￢命題R）⇒(￢命題Q)(￢命題P)」が示されたので、その対偶「命題R⇒命題P,Q」も成り立つ（∵）。
[3つ以上の実2次元数ベクトルに関する一次独立/従属の判定]
設定
 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
v1,v2,…,vl：l個(l≧3)の実2次元数ベクトル。
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( xv1, yv1 )　　ただし、xv1, yv1 ∈R　
　　　　v2= ( xv2, yv2 )　　ただし、xv2, yv2 ∈R　
　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　vl= (  xvl, yvl )　　ただし、xvl, yvl ∈R　　　
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが3以上の有限個数であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　

本題 三つ以上の実2次元数ベクトルv1,v2, …, vl （個数lが3以上の有限個数）は、
無条件に、一次従属である。




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定理：単位ベクトルは一次独立
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間

 ※一般化：実n次元数ベクトルのケース　

[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.11)
本題

実2次元数ベクトル空間R2の基本ベクトルは、一次独立。
※ 基本ベクトルは基底をなす
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定理：一次結合を用いた一次独立の言い換え
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。
　　　　具体的に書くと、
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( xv1, yv1 )　　ただし、xv1, yv1 ∈R　
　　　　v2= ( xv2, yv2 )　　ただし、xv2, yv2 ∈R　
　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　vl= (  xvl, yvl )　　ただし、xvl, yvl ∈R　　　
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　
※一般化：実n次元数ベクトルのケース　

[文献]
志賀『線形代数30講』14講(p.90)
高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10);
本題 次の二つの命題は同値。
命題P：実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立。
命題Q：実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlのどの一つも、
　　　　　残りの(l－1)個の実2次元数ベクトルの一次結合では表されない。　
　　　　　
証明 志賀『線形代数30講』14講(p.90)



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定理：一次結合を用いた一次従属の言い換え
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間
+：実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法

v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。　
　　　　具体的に書くと、
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( xv1, yv1 )　　ただし、xv1, yv1 ∈R　
　　　　v2= ( xv2, yv2 )　　ただし、xv2, yv2 ∈R　
　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　vl= (  xvl, yvl )　　ただし、xvl, yvl ∈R　　　
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　　　

※一般化：実n次元数ベクトルのケース　

[文献]
志賀『線形代数30講』14講(p.90);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10);
柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』 §1.2(pp.5-6);
草場『線形代数』2.9定義2.2(pp.54-5);
藤原『線形代数』4.2(p.94);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.2(p.109):証明付;
高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義1.2.2(p.10);
グリーン『計量経済分析I』定義2.4(p.25)
本題 次の二つの命題は同値。
命題P：実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属。
命題Q：実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一つが、
　　　　残りの(l－1)個の実2次元数ベクトルの一次結合
　　　　として表される。
※ 上記の命題Qは、
　「実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一つは、
　　残りの(l－1)個の実2次元数ベクトルに一次従属である」
と言い表されることもある。
証明 神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.2(p.109):証明付;





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定理：一次独立な実2次元数ベクトルはすべて非零ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
+：実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：
　　　　　　　　　　実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法

v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。
　　　　具体的に書くと、
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( xv1, yv1 )　　ただし、xv1, yv1 ∈R　
　　　　v2= ( xv2, yv2 )　　ただし、xv2, yv2 ∈R　
　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　vl= (  xvl, yvl )　　ただし、xvl, yvl ∈R
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　　
※一般化：実n次元数ベクトルのケース　


[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86);
志賀『線形代数30講』14講(p.90):証明付;
永田『理系のための線形代数の基礎』1.2問1(p.11)
佐和『回帰分析』2.1.2(p.17);
本題 次の命題と、その対偶が成り立つ。　
命題：　実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立ならば、　
　　　　　　v1≠０かつv2≠０かつ…かつvl≠０　
上記命題の対偶：「v1,v2,…,vlに一つでも零ベクトルが含まれるならば、v1,v2,…,vlは一次従属。　



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定理：一次独立な実2次元数ベクトルの部分集合、一次従属な実2次元ベクトルを含む集合
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
R2：実2次元数ベクトル空間　
v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。
　　　　具体的に書くと、
　　　　v1= ( xv1, yv1 )　　ただし、xv1, yv1 ∈R　
　　　　v2= ( xv2, yv2 )　　ただし、xv2, yv2 ∈R　
　　　　：　　　　　　　　　　　　　：　　
　　　　vl= (  xvl, yvl )　　ただし、xvl, yvl ∈R　　　
　　　　したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　
※一般化：実n次元数ベクトルのケース　


[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.3(p.110);
ホフマン『線形代数学I』2.3基底と次元(p.41);
本題 次の命題とその対偶が成り立つ。
命題：　実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次独立ならば、　　
　　　　ここからm個(ただしm<l ) 除いた残りの(l－m)個の実2次元数ベクトルも一次独立。
上記命題の対偶：実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlが一次従属(一次独立でない)ならば、
　　　　　　　　これにm個の任意の実2次元数ベクトルを付け加えた　　
　　　　　　　　v1,v2,…,vl, vl＋1, …, vl＋mも一次従属(一次独立でない)。　
証明 対偶「v1,v2,…,vlが一次従属⇒v1,v2,…,vl, vl＋1, …, vl＋mは一次従属」を示す。　
v1,v2,…,vlが一次従属　　
⇒全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al が存在して、a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０　を満たす。　　
　　　　　　　　　　　　　　　∵一次従属の定義　
⇒全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al が存在して、任意の実2次元数ベクトルvl＋1, …, vl＋m　にたいして、
　　　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl＋０vl＋1＋０vl＋2＋…＋０vl＋m=０　　を満たす。　　
　すなわち、全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al と、al＋1＝al＋2＝…＝al＋m＝０と、
　　　　　　　任意の実2次元数ベクトルvl＋1, …, vl＋mにたいして、
　　　　　　　　　　　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl＋al＋1vl＋1＋…＋al＋mvl＋m=０　　
　つまり、v1,v2,…,vl, vl＋1, …, vl＋mは一次従属。　



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　 (reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
矢野・田代『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、1993年、2章§6(p.43).
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-9)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-a(p.169).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
草場公邦『線形代数(増補版)』（森毅、斉藤正彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻）朝倉書店、1999年、2.9定義2.2(pp.54-5)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.2(pp.5-6)。
木村英紀『線形代数：数理科学の基礎』東京大学出版会、2003年、3.1一次独立(pp.50-51)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,4.3pp.70-71.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10)。
二階堂副包『経済のための線型代数』培風館、1961年、I§2(pp.20-21)。
数理統計学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
佐和隆光『回帰分析』 朝倉書店、1979年、2.1.2(p.17)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。
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