一般の数ベクトル空間における一次結合・線形結合　：　トピック一覧　

・定義：一次結合･線形結合/～から生成された部分ベクトル空間　
・定理：単位ベクトルの一次結合/一次結合の和/一次結合のスカラー倍/一次結合と部分ベクトル空間
※数ベクトル空間関連ページ：数ベクトル空間の定義/一次独立･一次従属/基底/次元　　　
※一般のベクトル空間における一次結合の定義/実n次元数ベクトル空間における一次結合/実2次元数ベクトル空間における一次結合 　

→線形代数目次　
→総目次　
 

定義：数ベクトルの一次結合・線形結合　linear combination　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：K上のn次元数ベクトル空間において定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　

【本題1】

　l個の「体Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl の一次結合・線形結合とは、
　　　　それらの（Knで定義された）スカラー倍 a1v1, a2v2, …, alvl　(a1, a2, …, al ∈K)　
　　　　の（Knで定義された）ベクトル和 a1v1＋a2v2＋…＋alvl
　　　　　　　　　　　
のこと。
なお、Knに定義されているスカラー倍 ・ベクトル和にしたがって、
　v1, v2, …, vl の一次結合を具体的に計算してみると、
　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl　　
　　　=( a1v11, a1v12, …, a1v1n )＋( a2v21, a2v22, …, a2v2n )＋…＋( alvl1, alvl2, …, alvln )　　
　　　=( a1v11＋a2v21＋…＋alvl1, a1v12＋a2v22＋…＋alvl2, …, a1v1n＋ a2v2n＋…＋ alvln )　　
　　　　　　　　　　　※上記の＋はKnに定めたベクトルの加法ではなく、体Kに定められた加法。　
　　　　　　
【本題2】

「体Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlの一次結合・線形結合も、　　
「体Kからつくったn次元数ベクトル」である。　　
なぜなら、
　　「体Kからつくったn次元数ベクトル」のスカラー倍は、「体Kからつくったn次元数ベクトル」（∵）。
　　「体Kからつくったn次元数ベクトル」のベクトル和は、「体Kからつくったn次元数ベクトル」（∵）。
　　だから、「体Kからつくったn次元数ベクトル」のスカラー倍のベクトル和として定義された一次結合は、
　　　　　　「体Kからつくったn次元数ベクトル」　
【一般化】
　一般のベクトル空間における一次結合の定義

【具体化】
　実n次元数ベクトル空間における一次結合 /実２次元数ベクトル空間における一次結合
　
【文献】

　・『岩波数学辞典』210線形空間:C線形結合(p.571)
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.4)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10)


 
→[トピック一覧：一次結合]
→線形代数目次・総目次　

定理：単位ベクトルの一次結合　

　Knに属す任意のn次元数ベクトルは、単位ベクトルe1, e2, …, enの一次結合として一意的に表せる　　　
　実際、　　
　　任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Knは、v =v1e1+v2e2+…+vnel 　としか表せない。

【関連事項】

　単位ベクトル関連：単位ベクトルの定義、単位ベクトルは一次独立、単位ベクトルは基底をなす

【文献】

　　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.4)


定理：一次結合の和　　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：体Kにおいて定義されている加法
　+：K上のn次元数ベクトル空間において定義されているベクトルの加法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　
　b1, b2, …, bl ：スカラー。b1, b2, …, bl ∈K　　

【本題】

任意の「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl ∈Knと、
任意のスカラーa1, a2, …, al , b1, b2, …, bl ∈Kにたいして、
（あるいは、任意の「Kからつくったn次元数ベクトルの一次結合」
　　　　　　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl, b1v1＋b2v2＋…＋blvlにたいして）
　　（a1v1＋a2v2＋…＋alvl）＋（b1v1＋b2v2＋…＋blvl）＝(a1+b1)v1＋(a2+b2)v2＋…＋(al+bl)vl　　
　　つまり、
　　　　

【なぜ？】

　　（a1v1＋a2v2＋…＋alvl）＋（b1v1＋b2v2＋…＋blvl）
　　＝（a1v1+b1v1）+（a2v2+b2v2）+…+（alvl+blvl）　∵ベクトル和の結合則・可換則　
　　＝(a1+b1)v1＋(a2+b2)v2＋…＋(al+bl)vl　　　　　　∵スカラー積のスカラーに関する分配則　

【意義】

この定理は、以下の点を意味している。
・「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl の任意の二つの一次結合の「Knで定義されたベクトル和」も、
　同じ「Kからつくったn次元数ベクトルv1, v2, …, vl の一次結合となる。　　　　　
　　∵体の定義より、体の加法"+"は二項演算だから、Kが体でai ,bi∈Kならば、ai +bi∈K。
　　　したがって、上記右辺は「Kからつくったn次元数ベクトルの一次結合」の定義を満たす。

【具体例】

　　実n次元数ベクトルの一次結合の和/実2次元数ベクトルの一次結合の和

【関連】

　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(p.32)

→[トピック一覧：一次結合]
→線形代数目次・総目次　

定理：一次結合のスカラー倍　　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてスカラーを並べて書いたもの：体Kにおいて定義されている乗法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：Knにおいて定義されているスカラー乗法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　
　c, a1, a2, …, al ：スカラー。c, a1, a2, …, al ∈K　　

【本題】

任意の「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl ∈Knと、
任意のスカラーa1, a2, …, al , b1, b2, …, bl ∈Kにたいして、
（あるいは、任意の「Kからつくったn次元数ベクトルの一次結合」 a1v1＋a2v2＋…＋alvlにたいして）
　　　　　c (a1v1＋a2v2＋…＋alvl）＝(ca1)v1＋(ca2)v2＋…＋(cal)vl　　
　　　　　つまり、　　　　
　　　　　　

【なぜ？】　　　　
　c (a1v1＋a2v2＋…＋alvl）
　＝c {a1v1＋(a2v2＋…＋alvl)}　　　　　∵ベクトル和の結合則　
　＝(ca1)v1＋c(a2v2＋…＋alvl)　　　　　∵スカラー積のベクトルに関する分配則　
　＝(ca1)v1＋c{a2v2＋(a3v3＋…＋alvl)}　　∵ベクトル和の結合則　
　＝(ca1)v1＋(ca2)v2＋c (a3v3＋…＋alvl)　　∵スカラー積のベクトルに関する分配則　
　　：　　
　　：　　
　＝(ca1)v1＋(ca2)v2＋…＋(cal)vl　　

【意義】
　この定理が意味しているのは、
　「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlの任意の一次結合の、任意の「Knで定義されたスカラー倍」も、「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlの一次結合となる
ということ。
∵体の定義より、体の乗法は二項演算だから、Kが体で c,ai∈Kならば、cai∈K。
したがって、上記右辺は「体Kからつくったn次元数ベクトルの一次結合」の定義を満たす。

【文献】
　
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(p.32)



→[トピック一覧：一次結合]
→線形代数目次・総目次　

定義：～から生成された部分ベクトル空間、～の線形包linear hull　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　S：Knの部分集合。つまり、「Kからつくったn次元数ベクトル」の集合。
　　（Knの部分ベクトル空間である必要はない。また、無限個のベクトルがKnに属していてもよい。）
　
【本題】

1. Sから取り出した任意の有限個のn次元数ベクトルの任意の一次結合をすべてあつめた集合　
　　　　〈S〉＝{ a1v1＋a2v2＋…＋alvl | a1, a2, …, al ∈K , v1, v2, …, vl ∈S⊂Kn }　
　は、Sを含む最小の「Knの部分ベクトル空間」となる。（→証明）　
2.「Sを含む最小の「Knの部分ベクトル空間」」は、「Sが張る部分空間」《S》と一致するから（→理由）、
　　上記の〈S〉は、「Sが張る部分空間」《S》と一致する。　　　
3. そこで、Sに属す任意のn次元数ベクトルの任意の一次結合をすべてあつめた集合〈S〉を、　
　　Knの部分集合Sから生成された部分ベクトル空間、Knの部分集合Sの線形包とよぶ。　

【文献】

　・佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.94)


→[トピック一覧：一次結合]
→線形代数目次・総目次　

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-9)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
草場公邦『線形代数(増補版)』（森毅、斉藤雅彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻）朝倉書店、1999年。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。