同型写像と線形独立(一次独立）・基底　：　トピック一覧

定理：同型写像と線形独立(一次独立)　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.3.5(p.21);志賀『線形代数30講』16講(p.102);
　　砂田『行列と行列式』§5.3c補題5.49(p.176)；]
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上のベクトル空間　
V' ：K上のベクトル空間　
f：V→V'：K上のベクトル空間VからK上のベクトル空間V'への同型写像　
(本題)　
任意のv₁, v₂, v₃,…, v_l∈Vについて、次の２つの命題は同値。
　命題P：f (v₁), f (v₂), f (v₃),…, f (v_l)が一次独立
　命題Q：　v₁, v₂, v₃,…, v_lが一次独立。　

定理：同型写像と基底　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.5(p.21);志賀『線形代数30講』16講(p.102);
　　砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.52(p.178)；]
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上のベクトル空間　
V' ：K上のベクトル空間　
f：V→V'：K上のベクトル空間VからK上のベクトル空間V'への同型写像　
(本題)　
任意のv₁, v₂, v₃,…, v_l∈Vについて、次の２つの命題は同値。
　命題P：f (v₁), f (v₂), f (v₃),…, f (v_l)がV'の基底である。　　
　命題Q：　v₁, v₂, v₃,…, v_lがVの基底である。　

定理：ベクトル空間と数ベクトル空間の同型の条件　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.6(p.21);砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.51(p.177);
　　『岩波数学辞典』項目210線形空間C(p.571)；斎藤『線形代数入門』４章§3[3.7](p.102)]
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
Kⁿ：K上のn次元数ベクトル空間　
V ：K上のベクトル空間　
f：V→V'：K上のベクトル空間VからK上のベクトル空間V'への同型写像　
(本題)　
命題P「K上のベクトル空間Vに属すベクトルの有限集合U＝{ u₁, u₂, …, u_n}が、
　　　　　　K上のベクトル空間Vの基底である」　
ならば、
命題Q「K上のベクトル空間Vは、K上のn次元数ベクトル空間Kⁿに同型」。　
つまり、VがK上の有限次元ベクトル空間ならば、VはK上の数ベクトル空間に同型。

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.20-21)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3c(p.176-8).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§3基底および次元(p.102)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。