一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立) : トピック一覧
・定理:
一次写像と線形独立
/
単射である一次写像と線形独立
/
同型写像と一次独立
/
同型写像と基底
※一次写像関連ページ:
定義
/
ベクトル演算の一次写像
/
一次写像の代数系
/
一次写像―全射・単射
/
階数
同型写像
/
同型写像と線形独立
※
実ベクトル空間から実ベクトル空間への一次写像と一次独立
→
線形代数目次
→
総目次
定理:一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立)
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理1.3.4(p.20);砂田『
行列と行列式
』§5.3c問9(p.176);]
(舞台設定)
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
+
:
ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
+
:
ベクトル空間
V'において定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:K
上のベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
および、K
上のベクトル空間
V'において定義されている
スカラー乗法
f
:V→V'
:K
上のベクトル空間
VからK
上のベクトル空間
V'への
一次写像
(本題)
任意
の
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
∈
Vについて、次のことが成り立つ。
f
(
v
1
),
f
(
v
2
),
f
(
v
3
),
…
,
f
(
v
l
)
が
一次独立
ならば
、
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
は
一次独立
。
定理:単射である一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立)
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理1.3.4(p.20);志賀『
線形代数30講
』16講(p.102);]
(舞台設定)
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
+
:
ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
+
:
ベクトル空間
V'において定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:K
上のベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
および、K
上のベクトル空間
V'において定義されている
スカラー乗法
f
:V→V'
:K
上のベクトル空間
VからK
上のベクトル空間
V'への
一次写像
(本題)
一次写像
f
:V→V'
が単射ならば、
任意
の
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
∈
Vについて、次の2つの命題は
同値
。
命題P:
f
(
v
1
),
f
(
v
2
),
f
(
v
3
),
…
,
f
(
v
l
)
が
一次独立
命題Q:
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
は
一次独立
。
→
トピック一覧:一次写像と線形独立
→
線形代数目次
・
総目次
定理:同型写像と線形独立(一次独立)
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理1.3.4(p.20);志賀『
線形代数30講
』16講(p.102);
砂田『
行列と行列式
』§5.3c補題5.49(p.176);]
(舞台設定)
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
f
:V→V'
:K
上のベクトル空間
VからK
上のベクトル空間
V'への
同型写像
(本題)
任意
の
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
∈
Vについて、次の2つの命題は
同値
。
命題P:
f
(
v
1
),
f
(
v
2
),
f
(
v
3
),
…
,
f
(
v
l
)
が
一次独立
命題Q:
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
が
一次独立
。
定理:同型写像と基底
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理1.3.5(p.21);志賀『
線形代数30講
』16講(p.102);
砂田『
行列と行列式
』§5.3c定理5.52(p.178);]
(舞台設定)
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
f
:V→V'
:K
上のベクトル空間
VからK
上のベクトル空間
V'への
同型写像
(本題)
任意
の
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
∈
Vについて、次の2つの命題は
同値
。
命題P:
f
(
v
1
),
f
(
v
2
),
f
(
v
3
),
…
,
f
(
v
l
)
がV'の
基底
である。
命題Q:
v
1
,
v
2
,
v
3
,
…
,
v
l
がVの
基底
である。
→
トピック一覧:一次写像と線形独立
→
線形代数目次
・
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ:
線形代数30講
』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式
』2003年、§5.1-c(p.157).
佐武一郎『
線形代数学
(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5:
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。