一般のベクトル空間における線形従属・線形独立

l個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを取り上げる。
このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　　
を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K　は存在するだろうか？
存在するとしたら、それは、どのようなスカラーl個の組合せになるのだろうか？

・どのようにl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを選んだとしても、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　　
　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K　は少なくとも一組は存在する。
　このことを論理記号であらわせば、　
　（∀v₁ , v₂ , …, v_l ∈V）（∃a₁, a₂, …, a_l∈K）（ a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０）
・なぜ、そうなるのかといえば、　
　どのようにl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを選んだとしても、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　l個のスカラーa₁＝a₂＝…＝a_l＝0が、　　
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　
　を満たすからである。　
　　∵ベクトルのスカラー０倍は零ベクトル、
　　　零ベクトルとのベクトル和の性質　

・つまり、
　どのようにl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを選んだとしても、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　
　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K　として、
　a₁＝a₂＝…＝a_l＝0が、いつでも存在する。
これは、見方をかえれば、
　どのようにl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを選んだとしても、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０かつa₁＝a₂＝…＝a_l＝0
　　　を満すl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K　　　
　が、いつでも存在するということ。　　　
　つまり、
　（∀v₁ , v₂ , …, v_l ∈V）
　　　（∃a₁, a₂, …, a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）

・l個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lを取り上げる。
・このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　
　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K　の組合せとしては、
　まず、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0をあげることができる（∵前段）。
・では、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　
　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈Kの組合せは、
　(i) a₁＝a₂＝…＝a_l＝0だけであって、
　　 a₁＝a₂＝…＝a_l＝0以外の組合せは存在しないのだろうか？　
　それとも、　
　(ii) a₁＝a₂＝…＝a_l＝0に加えて、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0以外の組合せも存在するのだろうか？
・つまり、
　このl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　「a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　を満たし、
　　　かつ、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0を満たさない　
　　l個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K」
　は　　　
　(i) 　存在しないのか、　
　(ii) 　存在するのか。　　
・この問いを論理記号であらわせば、　
　与えられたl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、　　
　(i) ¬（（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)））　
　であるのか、それとも、
　(ii) （∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　であるのか。　

・問2については、一概には、どちらともいえない。
　l個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lの選び方によって、
　　「a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　を満たし、
　　　　かつ、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0を満たさない　
　　　l個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K 」
　が　　　
　　(i) 　存在しない
　こともあれば、　
　　(ii) 　存在する
　こともある。　　
・(i) (ii) の２つのケースに重複はないので、
　l個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」v₁ , v₂ , …, v_lは、(i) か(ii) のいずれかである。　
・ということは、
　(i) (ii) は、あらゆるl個の「体K上のベクトル空間Vに属すベクトル」を、２つのケースに二分する分類軸として機能する。
　(i)を一次独立ないし線形独立と呼び、 (ii) 一次従属ないし線形従属をとよぶ。

(1)
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立であるとは、
・「このl個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　
　　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K の組合せは、
　　a₁＝a₂＝…＝a_l＝0だけであって、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0以外の組合せは存在しない」ということ
・つまり、
　「この『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　を満たし、かつ、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 を満たさない　
　　l個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K は存在しない」ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv₁ , v₂ , …, v_l ∈Vにたいして、　
　　　¬（（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 )））
をいう。　
(2)　この定義は、次のように述べてもよい。
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立であるとは、
・「この『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　どのようにl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈Kをとっても、
　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l≠０となるか、あるいは、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0となるか、しかない」
　　ということ。
・論理記号であらわせば、与えられたv₁ , v₂ , …, v_l ∈Vにたいして、　
　　　（∀a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l≠０)または(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 )）
　ということ。　　
(3)　この定義は、次のようにも述べてもよい。
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立であるとは、
・「この『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　どのようにl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈Kをとっても、
　　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　ならば、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 」
　　ということ。
・論理記号であらわせば、与えられたv₁ , v₂ , …, v_l ∈V にたいして、　
　　　（ ∀a₁,a₂,…,a_l ∈K ）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０) ⇒ (a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　ということ。　　
(4)　この3つの線形独立の定義が同じモノであることは、次のようにして確かめられる。
　　　¬（（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 )））
　　　⇔　（∀a₁,a₂,…,a_l∈K）¬（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵存在命題の否定は否定命題の全称命題に言いかえられる　
　　　⇔　（∀a₁,a₂,…,a_l∈K）（¬(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)または¬¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵連言の否定は、否定命題の選言に言いかえられる　　　　
　　　⇔　（∀a₁,a₂,…,a_l∈K）（¬(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)または(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵命題の２重否定はもとの命題　　
　　　⇔　（∀a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)⇒(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵ならば⇒の定義 ：「A⇒B」とは、「¬AまたはB」のこと　

(1)
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属であるとは、
・「このl個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　　
　を満たすl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K の組合せには、
　 a₁＝a₂＝…＝a_l＝0に加えて、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0以外の組合せもある」ということ
・つまり、
　「　a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　を満たし、かつ、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0を満たさない　
　　　l個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K が存在する」ということ
・論理記号であらわせば、　
　（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　ということ
をいう。　
(2)　この定義は、次のように述べてもよい。
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属であるとは、
・「この『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　『a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l≠０　または　a₁＝a₂＝…＝a_l＝0』
　　を満たさないl個のスカラーa₁, a₂, …, a_l ∈K が存在する」
　ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv₁ , v₂ , …, v_l ∈Vにたいして、　
　（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）¬（¬(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)または(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　ということ
をいう。　　
(3)　この定義は、次のようにも述べてもよい。
l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属であるとは、
・「この『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁ , v₂ , …, v_lにたいして、
　　　『a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０ ならば、a₁＝a₂＝…＝a_l＝0』
　　を満たさないl個の実数a₁, a₂, …, a_l が存在する」
　ということ
・論理記号であらわせば、与えられたv₁ , v₂ , …, v_l ∈Vにたいして、　
　　（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）¬（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０) ⇒ (a₁＝a₂＝…＝a_l＝0 )）
　ということ　　　
をいう。　　
(4)　この3つの線形従属の定義が同じモノであることは、次のようにして確かめられる。
　　（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０ )かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　⇔（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）¬（¬(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０ )または(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵命題の２重否定はもとの命題、選言の否定と否定命題の連言は言い換え可能　
　⇔（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）¬（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０ ) ⇒ (a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)）
　　　　∵ならば⇒の定義 ：「A⇒B」とは、「¬AまたはB」のこと　

・「l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属である」は、
　「l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立である」ことの否定命題。
・「l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立である」は、
　「l個の『体K上のベクトル空間Vに属すベクトル』v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属である」ことの否定命題。
・なぜなら、
　「v₁, v₂, …, v_lが一次独立・線形独立」は、
　　　¬（（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)））
　として、
　「v₁, v₂, …, v_lが一次従属・線形従属」は、　　　
　　　（（∃a₁,a₂,…,a_l∈K）（(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０)かつ¬(a₁＝a₂＝…＝a_l＝0)））　
　として、
　定義されているのだから、明らか。