距離空間(R²,d)上のコンパクト集合についての定理：トピック一覧　　

　　・ハイネ･ボレル･ルベ―グの被覆定理　　

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　　R¹上のコンパクト集合の性質/Rⁿにおけるコンパクト集合の性質　　

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定理：ハイネ･ボレル･ルベーグの被覆定理Heine-Borel's Theorem,Borel-Lubesgue's Theorem　

設定

(R²,d) :　R²に、ユークリッド距離dを与えてつくったユークリッド空間　
　　E:　　　R²の部分集合　

[文献]
小平『解析入門I』定理1.27;1.28(pp.62-4);
高木『解析概論』第1章7集積点定理11(p.16);
杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-1) :Rⁿのケース;
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』 (p.64;145-6);松坂『集合・位相入門』5章§2定理16 (p.217):;
矢野『距離空間と位相構造』定理4.5(p.128)
佐久間一浩『集合･位相』定理4.5(p.88);
『岩波数学事典』項目92距離空間Fコンパクト距離空間;
西村『経済数学早わかり』第6章§2 (pp.290-291):ユークリッド空間のケース

定義

以下の3命題は、互いに同値。
[命題1]　R²の部分集合Eは有界な閉集合である。
[命題2]　R²の部分集合EがR²上のコンパクト集合である。
[命題3]　R²の部分集合Eが点列コンパクトである。
※[命題1⇔命題2]をハイネ･ボレルの被覆定理、ボレル・ルベーグの定理などとよぶ。

　[命題1⇔命題3]をボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とよぶ。
　　　　　　　　　　　[矢野『距離空間と位相構造』定理4.5(p.128)]　

活用例

矩形のルベーグ外測度の証明　

証明

（証明：命題1⇒命題2）
以下を参照。[確認済]
　　高木『解析概論』第1章7集積点定理11(p.16):背理法。2次元での説明。
　　松坂『集合・位相入門』
　　　　5章§2定理16証明の後半部分:ユークリッド空間Rⁿ一般(p.217);
　　斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』5.2. 5後半(p. 145) Rⁿ全般
　　杉浦『解析入門I』
　　　　1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-2) : ユークリッド空間Rⁿ:背理法;　
（証明：命題2⇒命題1）
以下を参照。[確認済]
　　松坂『集合・位相入門』
　　　5章§2定理16ユークリッド空間Rⁿ一般全般.ハウスドルフ性をつかう(p.217);
　　斉藤『数学の基礎:集合･数･位相』5.2.15前半: Rⁿ全般対偶を示す(p. 146) ;
　　杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.4(pp.70-1) :
　　　　ユークリッド空間Rⁿ:対偶で有界を示し、
　　　　KがコンパクトならKの補集合が開集合となることを示すことで
　　　　Kが閉集合だと示す。;　
（証明：命題1⇒命題3）
以下を参照。[確認済]
　志賀『位相への30講』第５講コンパクト性(pp.38-9):
　　　　ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理からR¹R²;
　矢野『距離空間と位相構造』4.1.2ユークリッド空間全般(p.128);
　杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.2(pp.67-8) :
　　　　ユークリッド空間Rⁿ一般
（証明：命題3⇒命題1）
以下を参照。
　志賀『位相への30講』第５講コンパクト性(pp.39-40):対偶を示すR²;
　矢野『距離空間と位相構造』定理4.5ユークリッド空間全般(p.128);
　杉浦『解析入門I』1章§7コンパクト集合-定理7.2(pp.65-8) :
　　　　ユークリッド空間Rⁿ一般;
（証明：命題2⇒命題3）
以下を参照。
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.3距離空間全般について(p.126-7);
（証明：命題3⇒命題2）
以下を参照。
　　矢野『距離空間と位相構造』定理4.5距離空間全般について(p.126-7);