中間値定理 intermediate value theoremの証明

要旨

Dで連続な2変数関数fは、f (P)≠f (Q)とすると、D上でf (P)とf (Q)の間の全ての値をとる。

設定

平面R²：実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　※これは実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある
(R²,d)　：平面R²に距離dを与えてつくった距離空間。　
　　　　　普通は、
　　　　　平面R²にユークリッド距離を与えたユークリッド平面　
　　　　　を考える。　
D ：平面R²上の弧状連結な点集合。
　　つまり、D⊂R² であり、
　　かつ、
　　点集合Ｄに属す任意の2点を結ぶ曲線を点集合Sが含む。
　　　※D,Eは、弧状連結な「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
P=(x, y)：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、P=(x, y)∈D⊂R²　
Q=(x_q, y_q)：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、Q=(x_q, y_q)∈D⊂R²　
R=(x_r, y_r)：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、R=(x_r, y_r)∈D⊂R²　
S=(x_s, y_s)：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、S=(x_s, y_s)∈D⊂R²　
　　　※「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

cf. 1変数関数についての中間値定理

[文献]
��木『解析概論』定理12(pp.26-7):証明付
吹田・新保『理工系の微分積分学』6章�U-7(p. 161):��木と同じ証明付.
杉浦『解析入門I』I-8-問題13(p.80);解答.(p.405):��木と同じ.
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.145;

f：平面R²上の弧状連結な点集合Dで定義された2変数関数。　
　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　※fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」だとも言える。

定理

2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の弧状連結な点集合Dで連続ならば、
「弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (Q)＝f (x_q, y_q)<f (R)＝f (x_r, y_r)」を満たす限りで任意の点Q=(x_q, y_q),R=(x_r, y_r)にたいして、
「『f (Q)＝f (x_q, y_q) < c < f (R)＝f (x_r, y_r)』を満たす限りで任意の実数cにたいして、
　　『弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (S)＝f (x_s, y_s)=c』を満たす点S=(x_s, y_s)が存在する。」
が成立する。

論理記号で表すと、
「f (P)＝f (x,y)が、R²上の弧状連結な点集合Dで連続」
　　⇒ ( ∀ Q,R ∈D ) ( f (Q)<f (R) ⇒ ( ∀c∈R ) ( f (Q) < c < f (R) ⇒ (∃S∈D ) ( f (S)＝c ) ) )

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証明

��木『解析概論』定理12(pp.26-7).吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161.
step1:
点集合Dは弧状連結だから、
「弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (Q)＝f (x_q, y_q)<f (R)＝f (x_r, y_r)」を満たす限りで任意の点Q=(x_q, y_q),R=(x_r, y_r)
を結ぶ曲線のなかに、まるごとDに含まれるものが、一つ以上存在する。
点Q=(x_q, y_q),R=(x_r, y_r)から定まる、この曲線を、Cと置く。　
つまり、
　「『弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (Q)＝f (x_q, y_q)<f (R)＝f (x_r, y_r)』
　　を満たす限りで任意の点Q=(x_q, y_q),R=(x_r, y_r)を結び、
　　かつ、
　　まるごとDに含まれる」
　限りで任意の曲線を、Cと置く。
Step2:
まず、曲線C全体のC上を辿っていった長さをTとおく。　
次に、曲線C上を動く動点をS=(x_s, y_s)とおき、
曲線Cの端点Q=(x_q, y_q)から動点S=(x_s, y_s)までのC上を辿っていった長さをtとおく。　　　
長さtの値にたいして、S=(x_s, y_s)の値がきまる。
そこで、長さtからS=(x_s, y_s)を定める関数を、x_s=g (t)、y_s=h (t)で表すことにする。
すると、z=f (S)=f (x_s, y_s) ( z∈R) は、合成関数z=f ( g (t),h (t)) ( t,z∈R , ０≦t≦T ) として表せる。　　
ここで、g 、h は、閉区間[０, T]上連続な1変数関数であり、仮定より、f も曲線C上で連続だから、
合成関数z=f ( g (t),h (t)) ( t,z∈R , ０≦t≦T ) は、閉区間[０, T]上連続な1変数関数となる。
ここから1変数関数についての中間値定理を適用して、
　f ( g (０) , h (０) ) =f (Q) < c < f (R)＝f ( g (T) , h (T) )　を満たす限りで任意の実数cにたいして　　　
　　f ( g (t),h (t))=f (S)=c　を満たすtが、閉区間[０, T ]上に少なくとも一つは存在する
といえる。
したがって、
　f ( g (０) , h (０) ) =f (Q) < c < f (R)＝f ( g (０) , h (０) )　を満たす限りで任意の実数cにたいして　　　
　　　f ( g (t),h (t))=f (S)=c　を満たす　S＝ ( g (t),h (t) )が曲線C上に、従ってD上に存在する
といえる。　　

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