定理「2変数連続関数による有界閉集合の像は、有界閉集合 」の証明

要旨

「R²上の有界な閉集合」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の有界閉集合」。

設定

平面R²：実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　※これは実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある
(R²,d)　：平面R²にユークリッド距離dを与えたユークリッド平面　
D ：平面R²上の有界な閉集合。つまり、D⊂R² かつ。
　　　※Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
P=(x, y)：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、P=(x, y)∈D⊂R²　
Q=(x', y')：平面R²上の点集合Dに属す点。つまり、Q=(x', y')∈D⊂R²
　　　※ある特定の「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[活用例]
・「有界閉集合で連続な2変数関数は有界」の証明
・最大値最小値定理の証明
[文献]
��木『解析概論』定理13(p.26);
小平『解析入門�U』定理6.3(p.263):証明付;
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。

f：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数。　
　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　※fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」だとも言える。

定理

命題P
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R
　「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　R上の点集合として有界な閉集合である」
が成り立つ。

[予備情報]
・命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「R²上の点集合Dが点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
・命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　　　　R上の点集合として有界な閉集合」
　⇔命題R'「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　　　　　　　　　　　　R上点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　　

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証明

Step1: 命題Pの分析　
　命題P「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続である」
　⇔命題P'「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、点集合Dに属す任意の点で連続」（∵点集合上の連続性の定義）
　⇔命題P''「点集合Dに属す任意の点Aについて、
　　　　　　　『任意のR²上の点列{ P_n }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁ ,y₁ ) , (x₂ ,y₂ ), (x₃ ,y₃ ),…}について、
　　　　　　　　　P_n→A (n→∞) ならば、f (P_n)→f (A) (n→∞)　』　」　
　　　　　　　(∵2変数関数の点における連続性の、点列・数列の収束への言い換え)　　
Step2: 命題Qの分析　
　命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「R²上の点集合Dが点列コンパクトである」　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　　　
　⇔命題Q''「『点集合Dに属す点ばかりを集めた点列{Q_n}＝{ Q₁ , Q₂ , Q₃,…}を、どのようにつくってみても、　　
　　　　　　　　1.点列{Q_n}には、収束する部分列{Q_n(k) }が少なくともひとつ存在し、　
　　　　　　　　　かつ、　
　　　　　　　　2.この収束部分列{Q_n(k) }の極限Bは点集合Dに属す』　
　　　　　　　という条件を点集合Dが満たす」　　(∵点列コンパクトの定義　)　
Step3: 命題Rの分析　
　命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)がR上の点集合として有界な閉集合である」
　⇔命題R'「2変数関数f による点集合Dの像f (D)がR上点列コンパクト」　
　　　　　　　　　　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
　⇔命題R''「『f による点集合Dの像f (D)に属す実数ばかりを集めた数列{r_n}={r₁,r₂,r₃,…}をどのようにつくってみても、
　　　　　　　　1. 数列{r_n}={r₁,r₂,r₃,…}には収束する部分列{r_n(k)}が存在し、
　　　　　　　　　かつ、　
　　　　　　　　2.この収束部分列{r_n(k)}の極限はf (D)に属す』　
　　　　　　　という条件を点集合Dが満たす」　　(∵R上点列コンパクトの定義　)　　　
Step4: 命題P''かつ命題Q''という仮定のもとで、2変数関数f による点集合Dの像f (D)は…　
　2変数関数f による点集合Dの像f (D)に属す実数ばかりを集めた任意の数列{r_n}={r₁,r₂,r₃,…}をとる。
　ここから、
　r₁のf による逆像f^-1(r₁) ∈D⊂R²　　（複数あるときは、そのどれか一つを選ぶ）　
　r₂のf による逆像f^-1(r₂) ∈D⊂R²　　（複数あるときは、そのどれか一つを選ぶ）　
　r₃のf による逆像f^-1(r₃) ∈D⊂R²　　（複数あるときは、そのどれか一つを選ぶ）　
　：　　　　　　　　：　　　
　を並べた点列をつくる。　　
　点列{ f^-1(r₁) , f^-1(r₂) , f^-1(r₃) ,…}は、点集合Dに属す点ばかりを集めた点列となるから、
　命題Q''、命題P''が成り立っているとの仮定下で、
　点列{ f^-1(r₁) , f^-1(r₂) , f^-1(r₃) ,…}には、
　　ある点B∈Dに収束する部分列{ f^-1(r_n(k)) }が存在し、（∵命題Q''）
　　この収束部分列の各点をf でR上に写した像の数列{ f ( f^-1(r_n(k)) ) }={r_n(k)}は、f (B)∈f (D)に収束する（∵命題P''）。　
　以上の事態を要約すると、次のようになる。
　すなわち、
　2変数関数f による点集合Dの像f (D)に属す実数ばかりを集めた数列{r_n}={r₁,r₂,r₃,…}をどのようにつくってみても、
　　　　　　　　1. 数列{r_n}={r₁,r₂,r₃,…}には収束部分列{r_n(k)}が存在し、
　　　　　　　　　かつ、　
　　　　　　　　2.この収束部分列{r_n(k)}の極限はf (D)に属す。　　
　以上で、「『命題P''かつ命題Q''』ならば命題R''」が示された。
Step5: 　　
　Step1-3より、
　Step4の結論「『命題P''かつ命題Q''』⇒命題R''」は「『命題Pかつ命題Q』⇒命題R」と同値であるから、
　「『命題Pかつ命題Q』⇒命題R」も示されたことになる。

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