2変数関数の最大値最小値定理・中間値定理:トピック一覧 |
・有界閉集合上の性質:連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値・最小値定理 関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続 ・連結な集合上の性質:中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間 |
※2変数関数に関する諸概念の定義:2変数関数/極限/極限の性質/連続性/偏微分/全微分/ ※1変数関数のケースでの最大値最小値定理・中間値定理・一様連続 ※一般化: n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/実数値関数一般/距離空間のあいだの写像のケース →参考文献/総目次 |
定理:2変数連続関数による有界閉集合の像は、有界閉集合 |
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要旨 |
「 R2上の有界な閉集合」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の有界閉集合」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2にユークリッド距離dを定めて、 ユークリッド平面(R2,d)を設定。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「平面R2上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。 つまり、「P, Q∈D⊂R2」 *P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。 |
[ 活用例]・「有界閉集合で連続な2変数関数は有界」の証明 ・最大値最小値定理の証明 [類例]1変数関数のケース [一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 木『解析概論』定理13(p.26); 小平『解析入門U』定理6.3(p.263):証明付; 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付; ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「2変数関数f (P)=f (x,y)が、R2上の点集合Dで連続である」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R 「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が R上の点集合として有界な閉集合である」 が成り立つ。 ※ なぜ?→証明 |
[ 予備情報]・命題Q「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「R2上の点集合Dが点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) ・命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が R上の点集合として有界な閉集合」 ⇔命題R'「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が R上点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) |
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定理:有界閉集合で連続な2変数関数は有界 | |||
要旨 |
R2上の有界な閉集合Dで連続な2変数関数はDで有界。 | ||
設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2にユークリッド距離dを定めて、 ユークリッド平面(R2,d)を設定。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「平面R2上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。 つまり、「P, Q∈D⊂R2」 *P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。 |
1変数関数のケース [一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 木『解析概論』定理13(p.26); 小平『解析入門U』定理6.3(p.263):証明付; 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付; ルディン『現代解析学』4.15(p.87)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「2変数関数f (P)=f (x,y)が、R2上の点集合Dで連続」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R「2変数関数f (P)=f (x,y)は、点集合Dで有界」 が成り立つ。 |
[ 予備情報]・命題Q「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「R2上の点集合Dが点列コンパクトである」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) ・命題R「2変数関数f (P)は、点集合Dで有界」 ⇔命題R'「『2変数関数f による点集合Dの像』f (D)が R上の点集合として有界」 (∵有界関数の定義) |
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証明 |
・ 定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の点集合として有界な閉集合」。つまり、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の有界な点集合」。 ・有界関数の定義より、 「2変数関数f (P)=f (x,y)は、点集合Dで有界」とは、 「『f による点集合Dの像』f (D)が、R上の有界な点集合である」の意。 ・以上2点から、命題Pかつ命題Qならば、命題R「2変数関数f (P)=f (x,y)は、点集合Dで有界」が成り立つといえる。 |
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2変数関数の最大値・最小値定理 | |||
要旨 |
有界な閉集合Dで連続な2変数関数には、Dにおける最大値・最小値が存在する。 | ||
設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2にユークリッド距離dを定めて、 ユークリッド平面(R2,d)を設定。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「平面R2上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。 つまり、「P, Q∈D⊂R2」 *P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。 |
[一般化] n変数関数の最大値最小値定理/距離空間のあいだの写像のケース [ 文献]木『解析概論』定理13(p.26); 小平『解析入門U』§6.1定理6.3(p.263):証明付 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付; ルディン『現代解析学』4.16(p.87)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「2変数関数f (P)=f (x,y)が、R2上の点集合Dで連続である」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R 「2変数関数f (P)=f (x,y)の、点集合Dにおける最大値・最小値が存在する」 が成り立つ。 |
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証明 |
・ 定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の点集合として有界な閉集合」。・定理より、R上の点集合として有界な閉集合には、その最大元・最小元が存在する。 ・上記2点より、 命題Pかつ命題Qならば、 『f による点集合Dの像』f (D)には、その最大元 max f (D)・最小元 min f (D)が存在する。 ・「f の点集合Dにおける最大値・最小値」の定義は、max f (D)・min f (D)であったから、 上記は、 命題Pかつ命題Qならば、命題R「f の点集合Dにおける最大値・最小値が存在する」 と言換えてよい。 |
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ハイネの定理:有界閉集合上連続な関数はそこで一様連続 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2にユークリッド距離dを定めて、 ユークリッド平面(R2,d)を設定。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「平面R2上の点集合D」に属す点を、P=(x, y)と名づける。 つまり、「P∈D⊂R2」 *Pは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。 |
[予備知識]点での連続性/Dで連続:δが各A∈D毎にちがっていてもよい/Dで一様連続:すべてのA∈Dに共通なδ [類例]1変数関数のケース [一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 小平『解析入門U』定理6.2(p.262):証明付 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 木『解析概論』定理14(p.27) 杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般・証明付; ルディン『現代解析学』4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。 |
定理 |
命題 P「2変数関数f (P)=f (x,y)が、R2上の点集合Dで連続」が成り立ち、 かつ 命題Q「R2上の点集合Dが有界な閉集合(コンパクト)である」 が成り立つ ならば、 命題R「2変数関数f (P)=f (x,y)は、点集合Dで一様連続」 |
[ 予備情報]命題Q「R2上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「R2上の点集合Dが点列コンパクトである」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) |
証明 |
2 変数関数に限定:小平『解析入門U』定理6.2(p.262)n変数関数一般: ベクトル値関数一般:杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226) 距離空間から距離空間への関数一般:ルディン『現代解析学』4.19(p.88) |
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intermediate value theorem | |||
要旨 |
D で連続な2変数関数fは、f (P)≠f (Q)とすると、D上でf (P)とf (Q)の間の全ての値をとる。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2に距離dを定めて、距離空間(R2,d)を設定。 *普通は、平面R2にユークリッド距離を与えて ユークリッド平面を考える。 Step3:平面R2上の弧状連結な点集合を選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 かつ、 点集合Dに属す任意の2点を結ぶ曲線を点集合Sが含む。 *Dは、弧状連結な「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 Step5:「平面R2上の弧状連結な点集合D」に属す点を、 P=(x, y) , Q=(xq, yq) , R=(xr, yr) , S=(xs, ys) と名づける。 つまり、「P,Q,R,S∈D⊂R2」 *Pは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。 |
[一般化] n変数関数の中間値定理/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース [文献] 木『解析概論』定理12(pp.26-7):証明付 吹田・新保『理工系の微分積分学』6章U-7(p. 161):木と同じ証明付. 杉浦『解析入門I』I-8-問題13(p.80);解答.(p.405):木と同じ. 高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.145; |
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定理 |
2変数関数f (P)=f (x,y)が、R2上の弧状連結な点集合Dで連続ならば、 「弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (Q)=f (xq, yq)<f (R)=f (xr, yr)」を満たす限りで任意の点Q=(xq, yq),R=(xr, yr)にたいして、 「『f (Q)=f (xq, yq) < c < f (R)=f (xr, yr)』を満たす限りで任意の実数cにたいして、 『弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (S)=f (xs, ys)=c』を満たす点S=(xs, ys)が存在する。」 が成立する。 論理記号で表すと、 「f (P)=f (x,y)が、R2上の弧状連結な点集合Dで連続」 ⇒ ( ∀ Q,R ∈D ) ( f (Q)<f (R) ⇒ ( ∀c∈R ) ( f (Q) < c < f (R) ⇒ (∃S∈D ) ( f (S)=c ) ) ) ※なぜ?→証明 |
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※ |
関連事項: 1変数関数についての中間値定理、 |
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定理:2変数連続関数による領域の像は、区間 |
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要旨 |
「 R2上の領域」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の区間」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2に距離dを定めて、距離空間(R2,d)を設定。 *普通は、平面R2にユークリッド距離を与えて ユークリッド平面を考える。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 |
[文献] 小平『解析入門U』定理6.4(p.263):証明付; ルディン『現代解析学』4.22(p.91)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「2変数関数f : D→R (D⊂R2 )が、R2上の点集合Dで連続である」が成り立ち、かつ 命題Q「R2上の点集合Dが領域である」が成り立つ ならば、 命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)は、R上の区間である」が成り立つ。 |
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→ [トピック一覧:連続2変数関数の性質]→総目次 |
定理:2変数連続関数による有界な閉領域の像は、閉区間 | |||
要旨 |
「 R2上の閉領域」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の閉区間」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 *R2とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。 実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2:平面R2に距離dを定めて、距離空間(R2,d)を設定。 *普通は、平面R2にユークリッド距離を与えて ユークリッド平面を考える。 Step3:平面R2上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。 つまり、「D⊂R2」 *Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4:平面R2上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。 つまり、f : D→R (D⊂R2 ) z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R2 ) , z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R2 ) *fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」 だとも言える。 |
[文献] 小平『解析入門U』定理6.5(p.264):証明付; |
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定理 |
命題 P「2変数関数f : D→R(D⊂R2 )が、R2上の点集合Dで連続である」が成り立ち、かつ 命題Q「R2上の点集合Dが有界な閉領域である」が成り立つ ならば、 命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)は、R上の閉区間である」が成り立つ。 |
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→ [トピック一覧:連続2変数関数の性質]→総目次 |
(
reference)『
岩波数学辞典(第三版)』項目441連続関数 (pp.1329-1331).神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.高木貞治『
解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 26-8.小平邦彦『
解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.260-264.和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.115-6.吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.160-1。杉浦光夫『
解析入門』岩波書店、1980年、pp.55-56;74-75. 極限の定義が特殊なので注意。高橋一『
経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.144-146.ルディン『
現代解析学』共立出版、1971年、4.5-4.24(pp.83-91)。一般の距離空間の上で論じている。→
[トピック一覧:連続2変数関数の性質]