体上の行列の定義 : トピック一覧

定義:体上の行列[成分記号]
定義:同じ型の行列・行列の型の一致/等号 
定義:正方行列/矩形行列/零行列/行列単位  
定義:転置行列/対称行列/交代行列

【体上の行列関連ページ】
 ・正方行列に関する様々な定義 
 ・行列の和・スカラー倍の定義 
 ・行列積の定義/行列の積の性質 
 ・逆行列・正則行列・特異行列の定義 
 ・転置行列の性質/行列の代数系  
 ・行列の階数 

【体として実数体を指定した具体例】
 ・実行列の定義 
 

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定義:体上の行列matrix  


【舞台設定】
K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
aijKの 

【本題】 
K上の行列とは、「Kのaij を、縦・横に並べて、長方形に配列したもの。
 次のように、大型の丸括弧・亀甲括弧・鍵括弧などで括って表すのが普通。
 












a11
a12
a1n




a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn




















a11
a12
a1n




a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn




















a11
a12
a1n




a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn








rowとは、行列の横の並びを指す。







第1行→



a11
a12
a1n



第2行→ a21
a22 a2n

: 

i行→ ai1 ai2
ain


m行→
am1
am2 amn







 
columnとは、行列の縦の並びを指す。
 上記の例では、
 第1列とは、



a11

a21

 :

am1



 第2列とは、



a12

a22

 :

am2


      
 第n列とは、



a1n

a2n

 :

amn


 のこと。
 
・行列の(i, j)成分 element,entry,component とは、
 行列の第i行第j列におかれた「Kのaij のことを指す。
  上記の例では、
   (1,1)成分とは、行列の第1行第1列におかれた「Kのa11 のこと、   
   (1,2)成分とは、行列の第1行第2列におかれた「Kのa12 のこと、
    : 
   (m,n)成分とは、行列の第m行第n列におかれた「Kのamn のこと、
  となる。 

m×n行列m×n matrixmn列行列(m,n)行列(m,n)型行列matrix of (m,n)-type とは、
 mn個の「Kの」を、mnに並べた行列のことをいう。  

 たとえば、











a11
a12





a21
a22






 は、2×2行列ないし(2,2)型行列、











a11
a12





a21
a22

a31 a31






 は、2×3行列ないし(2,3)型行列。
 また、
 n次元横ベクトルは、1×n行列ないし(1,n)型行列。
 n次元縦ベクトルは、n×1行列ないし(n,1)型行列。  

【記号】 

・行列を書くたびに、成分をすべて書き出すのは、余りにわずらわしいので、
 はじめに、 












a11
a12
a1n



A=
a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn







 などと定義したうえで、あとは、この英大文字で表すのが普通。

・行列Aの(i,j)成分を、Aijと表す。

・行列Aの(i,j)成分aijと一般的に表せることを、A=(aij)と略記する。  

【例】 
 ・単位行列I=(δij )  
 ・m×n行列A=(aij), B=(bij)にたいして、AB=(aijbij) 
 ・kK, A=(aij)にたいして、kA=(kaij)  

【具体例】
 ・Kとして実数体を指定した際の「K上の行列実行列   
 

【文献】
 ・『岩波数学辞典』83行列A(pp.219-220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.23)
 ・斎藤『線形代数入門』2章§1-1〇(p.31)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.21)]



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定義:同じ型の行列、行列の型の一致  

・「行列A行列Bの型が一致する」、「行列A行列B同じ型の行列である」とは、
 行列A行列Bも、両方とも、(m,n)型行列であること、

 すなわち、 
  行列A行数と、行列B行数とが、一致し、
  なおかつ、
  行列A列数と、行列B列数とが、一致すること
 をいう。

【文献】
 『岩波数学辞典』83行列(p.220)
 『高等学校代数幾何』(p.77)

【体として実数体を指定した具体例】
 ・実行列の型の一致 

定義:行列のあいだの等号 

・「行列A行列Bが等しい」「行列A=行列B」とは、
  ABの型が一致しかつA成分B成分がすべて一致することをいう。 

・つまり、A=Bとは、

 A行数B行数もともにmA列数B列数もともにnで一致して、













a11
a12
a1n



A=
a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn




















b11
b12
b1n



B=
b21
b22 b2n

 :


bm1
bm2 bmn







           
 と、表せて、

 なおかつ  

   i=1,2,…,m、 j=1,2,…n に対して、aij=bij 

 であることを指す。

【体として実数体を指定した具体例】
 ・実行列のあいだの等号 

【文献】
 ・『岩波数学辞典』83行列(pp.219-220)
 ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.31)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.22)]



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定義: n次正方行列square matrix


【舞台設定】
 K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
 aijKの  

【簡潔な定義】

 n次正方行列square matrixとは、(n,n)型行列のこと。  

【具体的な定義】

 K上のn次正方行列とは、
  n2個の「Kのaij を、次のように、nnに並べた行列のこと。












a11
a12
a1n



      a21
a22 a2n

 :


an1
an2 ann







  
 たとえば、











a11
a12





a21
a22






   
 は、2次正方行列である。

【関連事項】

 ・正方行列についての属性:対角成分対角和・トレース    
 ・正方行列の下位類型:対角行列スカラー行列単位行列  
 ・正方行列の代数系:n次全行列環  

【体として実数体を指定した具体例】
 ・実行列の正方行列  

【文献】

 ・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.23)
 ・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.40)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.21)

定義:矩形行列rectangular matrix  

正方行列にたいして、正方行列でない行列を、矩形行列rectangular matrixと呼ぶこともある。 
 [『岩波数学辞典』83行列(p.220);]



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定義:零行列 zero matrix  


【舞台設定】

K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 

【本題】
K上の零行列とは、Kにおける加法の単位元「0」をのみを並べた行列のことをいう。 
・(m,n)型零行列とは、Kにおける加法の単位元「0」をmnに並べた行列のことをいう。
・(m,n)型零行列を、Om,nあるいは単にOなどと表す。

零行列との和の演算則零行列との積の演算則   


【体として実数体を指定した具体例】
 実行列の零行列

【文献】

 ・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)
 ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.23)

定義:行列単位  


【舞台設定】

K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
  
【本題】

行列単位Eijとは、
   ( i, j )成分が「Kにおける乗法の単位元『1』」、  
   ( i, j )成分以外の成分は、すべて「Kにおける加法の単位元『0』」
 となる行列のことをいう。

【体として実数体を指定した具体例】
  行列単位 

【文献】

 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)

 

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定義:転置行列transposed matrix


【舞台設定】

 K(例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
 AK上の(m,n)型行列  

【定義】
 
 (m,n)型行列A転置行列transposed matrixとは、
 Aとし、Aとした(n,m)型行列。 
 A( i, j )成分( j,i )成分としてもつ(n,m)型行列と言ってもよい。

【記号】

 Aの転置行列を、tAA'などと表す。 

【具体的には】













a11
a12
a1n



A=
a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn







   ならば、 












a11
a21
am1



tA =
a12
a22 am2

 :


a1n
a2n amn







   
転置行列の性質

 ・転置行列の転置行列
 ・行列和の転置行列
 ・行列積の転置行列
 ・転置行列と逆行列

【体として実数体を指定した具体例】

 ・転置行列 

【文献】
 ・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.42)
 ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.37)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.28)]


定義:対称行列symmetric matrix 

 ・対称行列とは、自らの転置行列等しい行列のことをいう。

 ・つまり、












a11
a12
a1n



A=
a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn







 が対称行列symmetric matrixである 
 とは、  
 
 A = tA = 












a11
a21
am1




a12
a22 am2

 :


a1n
a2n amn







 である 
 ということであるが、

 これは、

A = 












a11
a12
a1n




a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn







 = 












a11
a21
am1




a12
a22 am2

 :


a1n
a2n amn







 であるということ、 

 すなわち、

  A行数列数が一致し(m=n、ゆえにA正方行列)であり、
  かつ
  A成分が対角線に対して対称であること(aij=aji)

 を意味する。 

【体として実数体を指定した具体例】

 実対称行列

【文献】

 ・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.43)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.28)


定義:交代行列alternating matrix,歪対称行列skew-symmetric matrix, 反対称行列antisymmetric matrix   

【掲載文献一覧】
 ・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.43);
 ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.37)
 ・藤原『線形代数』2.1(p.28)

  

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reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。

数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、2章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene(斯波・中妻・浅井訳) 『経済学体系シリーズ:グリーン計量経済分析I:改訂4版』エコノミスト社、2000年、第2章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。