「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、
実数の小数表示の理論付け・定義づけのための準備として、しつらえられている。
しかし、何をやっているのか、これだけでは、わかりづらい。
そこで、順序はあべこべになるけれども、
実数を小数として表示できることを前提してしまったとき、
「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、何を意味するのか?
具体的な数値例を通して、みてみよう。
[具体例]
・「有限桁の小数で表せる正の有理数」の十進近似列(定義1/定義2)
・「有限桁の小数で表せる負の有理数」の十進近似列 (定義1/定義2)
・「循環小数で表せる正の有理数」の十進近似列(定義1/定義2)
・「循環小数で表せる負の有理数」の十進近似列(定義1/定義2)
・「循環しない無限桁の小数でしか表せない正の無理数」の十進近似列(定義1/定義2)
・「循環しない無限桁の小数でしか表せない負の無理数」の十進近似列(定義1/定義2)
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1/7 の十進近似列(定義1)cf.1/7の十進近似列(定義2)・1/7=0.142857 142857 …に随伴する数列とは、以下の数列。 a1=10(1/7−[1/7])=10(0.142857…−[0.142857…])=10(0.142857… −0)=1.42857142857 … 要するに、a1は、1/7=0.142857 142857 …の整数部分を消去したものを10倍して、一桁ずらしたもの。 a2=10(a1−[a1])=10(1.42857…−[1.42857…])=10(1.42857…−1)= 10・0.42857…=4.2857 142857 … 要するに、a2は、1/7=0.142857 142857 …の整数部分と小数点以下第一位を消去したものを、100倍して、2桁ずらしたもの。 a3=10(a2−[a2])=10(4.2857…−[4.2857…])=10(4.2857…−4)=10・0.2857…=2.857 142857… 要するに、a3は、1/7=0.142857 142857 …の整数部分から小数点以下第二位までを消去したものを、1000倍して、3桁ずらしたもの。 : an =「1/7=0.142857 142857 …の整数部分から小数点以下第(n−1)位までを消去したものを、10n倍して、n桁ずらしたもの」 an+1=「1/7=0.142857 142857 …の整数部分から小数点以下第n位までを消去したものを、10n+1倍して、n+1桁ずらしたもの」 : 1/7=0.142857 142857 …に随伴する整数列とは、以下の数列。 d1=[a1]=[1.42857142857 …]=1 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第一位。 d2=[a2]=[4.2857 142857 …]=4 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第二位。 d3=[a3]=[2.857 142857…] =2 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第三位。 : dn =「1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第n位」 : 1/7=0.142857 142857 …の十進近似列とは、以下の数列。 r1=[1/7]+d1/10 =[0.142857 142857 …]+1/10 =0.1 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てたもの。 r2=[1/7]+d1/10+d2/100 =[0.142857 142857 …]+1/10+4/100 =0.14 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てたもの。 r3=[1/7]+d1/10+d2/100+d3/103=[0.142857 142857 …]+1/10+4/100+2/103=0.142 つまり、1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てたもの。 : rn =「1/7=0.142857 142857 …の小数点以下第n位までを残し、小数点以下第(n+1)位以下を切り捨てたもの。」 : ここで、1/7=0.142857 142857 …の十進近似列 の極限とは?1/7の小数表示0.142857 142857 …にほかならない。
=[1/7]+d1/10+d2/100+d3/103+… =0 +1/10+4/100+2/103+… =0.142857 142857 … |
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1/7の十進近似列(定義2)cf.1/7の十進近似列(定義1) step1-1:d1とは? d1を、「d1/10≦r−[r]<(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−[r]=9/8−[9/8]=1.125−[1.125]=1.125−1=0.125だから、 「d1/10≦r−[r]<(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」d1とは、1。 つまり、d1は、9/8=1.125の小数点以下第一位。 step1-2:r1とは? r1=[r]+d1/10=[9/8]+1/10=1.1 つまり、r1は、9/8=1.125の小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てたもの。 step2-1:d2とは? d2を、「d2/100≦r−r1<(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−r1=9/8−1.1=1.125−1.1=0.025だから、 「d2/100≦r−r1<(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」d2とは、2。 つまり、d2は、9/8=1.125の小数点以下第二位。 step2-2:r2とは? r2=[r]+d1/10+d2/100=[9/8]+1/10+2/100=1.12 つまり、r2は、9/8=1.125の小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てたもの。 step3-1:d3とは? d3を、「d3/103≦r−r2<(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−r2=9/8−1.12=1.125−1.12=0.005だから、 「d3/103≦r−r2<(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」d3とは、5。 つまり、d3は、9/8=1.125の小数点以下第三位。 step3-2:r3とは? r3=[r]+d1/10+d2/100+d3/103=[9/8]+1/10+2/100+5/103=1.125 つまり、r3は、9/8=1.125の小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てたもの。 step4-1:d4とは? d4を、「d4/104≦r−r3<(d4+1)/104」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−r3=9/8−1.125=1.125−1.125=0だから、 「d4/104≦r−r3<(d4+1)/104」を満たす「0から9までの整数」d4とは、0。 つまり、d4は、9/8=1.125の小数点以下第四位。 step4-2:r4とは? r4=[r]+d1/10+d2/100+d3/103+d4/104=[9/8]+1/10+2/100+5/103+0/104=1.1250 つまり、9/8=1.125の小数点以下第四位まで表示したもの。 step5-1:d5とは? d5を、「d5/105≦r−r4<(d5+1)/105」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−r4=9/8−1.1250=1.125−1.1250=0だから、 「d5/105≦r−r4<(d5+1)/105」を満たす「0から9までの整数」d5とは、0。 つまり、d5は、9/8=1.125の小数点以下第五位。 step5-2:r5とは? r5=[r]+d1/10+d2/100+d3/103+d4/104+d5/105=[9/8]+1/10+2/100+5/103+0/104+0/105=1.12500 つまり、9/8=1.125の小数点以下第五位まで表示したもの。 : step (n+1)-1:dn+1とは? dn+1を、「dn+1/10n+1≦r−rn<(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」に、定める。 r−rn=9/8−1.1250…0=1.125−1.1250…0=0だから、 「dn+1/10n+1≦r−rn<(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」dn+1とは、0。 つまり、dn+1は、9/8=1.125の小数点以下第(n+1)位。 step5-2:rn+1とは? rn+1=[r]+d1/10+d2/100+d3/103+d4/104+d5/105+…+dn+1/10n+1=[9/8]+1/10+2/100+5/103+0/104+0/105+…+0/10n+1=1.12500…0 つまり、9/8=1.125の小数点以下第(n+1)位まで表示したもの。 : |
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