実数の十進近似列の具体例

　「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、
　　実数の小数表示の理論付け・定義づけのための準備として、しつらえられている。

　しかし、何をやっているのか、これだけでは、わかりづらい。

　そこで、順序はあべこべになるけれども、
　　実数を小数として表示できることを前提してしまったとき、
　　　「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、何を意味するのか？
　具体的な数値例を通して、みてみよう。

　　　　[具体例]
　　　　　・「有限桁の小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）　
　　　　　・「有限桁の小数で表せる負の有理数」の十進近似列 （定義1/定義2）
　　　　　・「循環小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）　
　　　　　・「循環小数で表せる負の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）
　　　　　・「循環しない無限桁の小数でしか表せない正の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）
　　　　　・「循環しない無限桁の小数でしか表せない負の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）

-9/8 の十進近似列(定義1) 　 ・−9/8＝−1.125＝−2+0.875 に随伴する数列とは、以下の数列。 　　　　a1＝10（−9/8−[−9/8]）＝10（−1.125−[−1.125]）＝10（−1.125 −(−2)）＝10・(2−1.125)＝10・0.875＝8.75 　                 要するに、a1は、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875を10倍して、一桁ずらしたもの。 　　　　a2＝10（a1−[a1]）＝10（8.75−[8.75]）＝10（8.75−8）＝　10・0.75＝7.5                 要するに、a2は、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第一位を消去したものを、100倍して、2桁ずらしたもの。 　　　　a3＝10（a2−[a2]）＝10（7.5−[7.5]）＝10（7.5−7）＝10・0.5＝5                 要するに、a3は、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第二位までを消去したものを、1000倍して、3桁ずらしたもの。。 　　　　a4＝10（a3−[a3]）＝10（5−[5]）＝10（5−5）＝0                 要するに、a4は、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第三位までを消去したものを、104倍して、4桁ずらしたもの。 　　　　a5＝10（a4−[a4]）＝10（0−[0]）＝10（0−0）＝0                 要するに、a5は、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第四位までを消去したものを、105倍して、5桁ずらしたもの。 　　　　： 　　　　an ＝「−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第(n−1)位までを消去したものを、10n倍して、n桁ずらしたもの」 　　　　an+1＝「−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第n位までを消去したものを、10n+1倍して、n+1桁ずらしたもの」  　　　　： 　　−9/8＝−1.125＝−2+0.875に随伴する整数列とは、以下の数列。 　　　　d1＝[a1]＝[8.75]＝8　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第1位 　　　　d2＝[a2]＝[7.5]＝7　  つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第2位 　　　　d3＝[a3]＝[5]　＝5　　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第3位 　　　　d4＝[a4]＝[0]　＝0　　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第4位　　 　　　　d5＝[a5]＝[0]　＝0　　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第5位 　　 　　： 　　　　dn　＝「−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第n位」　 　　　　：  　　　　 　　−9/8＝−1.125＝−2+0.875の十進近似列とは、以下の数列。 　　　　r1＝[r]＋d1/10　　　　　　　　＝[−1.125]＋8/10　　　　　　＝−2+0.8　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てたもの。 　　　　r2＝[r]＋d1/10＋d2/100　　　　＝[−1.125]＋8/10＋7/100　　　＝−2+0.87　　　　つまり、9−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てたもの。 　　　　r3＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＝[−1.125]＋8/10＋7/100＋5/103＝−2+0.875　　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てたもの。 　　　　r4＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋d4/104＝[−1.125]＋8/10＋7/100＋5/103＋0/104＝−2+0.8750　　つまり、−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第四位まで表示したもの。 　　　　r5＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋d4/104＋d5/105＝[−1.125]＋8/10＋7/100＋5/103＋0/104＋0/105＝−2+0.87500　　つまり−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第五位まで表示したもの。 　　 　　： 　　　　rn　＝「−9/8を−2+0.875と表したときの、0.875の小数点以下第n位まで表示したもの」　 　　　　：  　　　　 　　　ここで、−9/8＝−1.125＝−2+0.875の十進近似列　の極限とは？−9/8の小数表示−2+0.875にほかならない。 　　　 ∞ 　　　　 lim  rn  ＝ [r] ＋   di/10i 　 n→∞ i=1 　 　　　　　　　　　＝[−9/8]+d1/10+d2/100+d3/103+d4/104+d5/105+…　 　　　　　　　　　　＝−2　+8/10+7/100+5/103＋0/104+0/105＋… 　　　　　　　　　　＝−2　+0.87500… 　　　　　　　　　　＝−2　+0.875 　　→[冒頭/結論]