定義：《実数の集合》の境界点　boundary point　　

→ビギナー向け「境界点」定義　

→厳密な「境界点」定義：

　　→　距離のみを用いた表現
　　→　開区間を用いた表現
　　→　近傍を用いた表現
　　→　内点・外点を用いた表現　
　　→　内点・補集合を用いた表現

　【一般化】
　　→　R²における境界点/Rⁿにおける境界点　
　　→　距離空間一般における境界点

→実数－《実数の集合》間の位置関係一覧
→[トピック一覧：距離空間(R,d)]
→総目次　

厳密な「境界点」定義　～　開区間を用いた表現　　　　　　

・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、

　　実数a、《実数の集合E》が、

　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　

　　　　　　　　 (a－ε, a＋ε) には《Eに属す実数》も《Eに属さない実数》も存在する　」　　

　という位置関係に、置かれているということ[→表現5]。

　　　[能代『極限論と集合論』7章3(p.131):Rn]　　


	[文献] 　・高木『解析概論』第1章12(p.29):特にRの例をあげず、一般的に。　・吹田・新保『理工系の微分積分学』6-§1(pp.154-155) 　・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141) 　・松坂『解析入門3』12.1-C集合の内部・外部・境界・閉包(p.5２): 　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(ii)(p.59):距離空間一般において。∃ε>0 U_ε(a)⊂A^c 　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101)　：Rnにおいて。Aの外点とは、Aの補集合の内点。　・能代『極限論と集合論』7章3(p.131):Rn 　・黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271): 　・笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2 　・杉浦『解析入門I』言及見当たらず。
	・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録Ⅰ-2-B(pp.262-3)Rn上

近傍概念を用いた厳密な「境界点」定義　～　集合の記号・論理記号による様々な表現　　　

・開区間の概念を用いて操作化した「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」の定義　


		実数a、《実数の集合E》が、　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　　 (a－ε, a＋ε) には《Eに属す実数》も《Eに属さない実数》も存在する　」という位置関係に、置かれているということ

　は、集合概念と論理を用いて厳密に表現すると、どうなるのだろう？

・実のところ、さまざまな同義異表現が可能。
　ざっと挙げただけで、
　→【表現1】
　→【表現2】
　→【表現3】
　→【表現4】
　→【表現5】
　→【表現6】
　→【表現7】
　→【表現8】
　→【表現11】
　→【表現12】

・これらの表現は、あまりに多様すぎて、同じ事態を表していると思えないほど。混乱してくる。

・しかし、実のところ、これらの表現が表しているのは、次に述べるごく単純な事態。
　あらかじめ、この事態を頭に入れておいて、【表現1】～【表現12】を読むと、無用な混乱を避けられる。　　　　

・集合概念をつかうと、一般に、
　(a－ε, a＋ε)　と、　空でない《実数の集合》E　の位置関係を、
　次の5パターンに分類できる。

	【パターン1】	【パターン2】	【パターン3】	【パターン4】	【パターン5】
	(a－ε, a＋ε)とEは、互いに素	「(a－ε, a＋ε)⊃E かつ (a－ε, a＋ε)E」　　というかたちで　　U_ε(a)とEは交わる	「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)E」　　というかたちで、　　U_ε(a)とEは交わる。	「(a－ε, a＋ε) ＝E」　　すなわち　「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)⊃E」　　　　というかたちで、　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。	「(a－ε, a＋ε)Eかつ (a－ε, a＋ε)E」　　　というかたちで、　　U_ε(a)とEは交わる。

・この分類のなかで考え直してみると、
　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」
　すなわち、


		実数a、《実数の集合E》が、　「　(a－ε, a＋ε)の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　　 (a－ε, a＋ε) には《Eに属す実数》も《Eに属さない実数》も存在する　」という位置関係に、置かれている

　とは、

(a－ε, a＋ε)の幅εを、どんな値に変更したときでも、
　(a－ε, a＋ε) と、《実数の集合》Eの位置関係が、

【パターン2】
　

　
「(a－ε, a＋ε)⊃E かつ (a－ε, a＋ε)

E」
　　というかたちで
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる

【パターン5】
　

　
　「(a－ε, a＋ε)

Eかつ (a－ε, a＋ε)

E」　
　　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。　

　のいずれかに収まり、[→表現6]

　(a－ε, a＋ε) と、《実数の集合》Eの位置関係が、

【パターン1】
　

　
　(a－ε, a＋ε)とEは、互いに素

【パターン3】
　

　
　「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)

E」　
　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。

【パターン4】
　

　　「(a－ε, a＋ε) ＝E」
　　　すなわち
　「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)⊃E」　
　　　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。　　

　に該当することはありえない

　という事態に他ならないと気づく。

・この

(a－ε, a＋ε)の幅εを、どんな値に変更したときでも、
　(a－ε, a＋ε) と、《実数の集合》Eの位置関係が、

【パターン2】
　

　
「(a－ε, a＋ε)⊃E かつ (a－ε, a＋ε)

E」
　　というかたちで
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる

【パターン5】
　

　
　「(a－ε, a＋ε)

Eかつ (a－ε, a＋ε)

E」　
　　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。　

　のいずれかに収まり、[→表現6]

　(a－ε, a＋ε) と、《実数の集合》Eの位置関係が、

【パターン1】
　

　
　(a－ε, a＋ε)とEは、互いに素

【パターン3】
　

　
　「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)

E」　
　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。

【パターン4】
　

　　「(a－ε, a＋ε) ＝E」
　　　すなわち
　「(a－ε, a＋ε)⊂Eかつ (a－ε, a＋ε)⊃E」　
　　　というかたちで、
　　(a－ε, a＋ε)とEは交わる。　　

　に該当することはありえない

　という事態を様々なかたちで表したのが、

　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」定義の【表現1】【表現2】【表現3】【表現4】【表現5】【表現6】【表現7】【表現8】【表現11】【表現12】。

・これらはどれも同じことだから、互いに言い換えてよい。


		【表現1】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　(a－ε, a＋ε) は、《実数の集合E》との交わりを維持するものの、《実数の集合E》に部分集合として吸収されてしまうことはない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「∀ε>0　（(a－ε, a＋ε) ∩E ≠ φ かつ (a－ε, a＋ε) E　）」という関係　～　　に、置かれているということないし・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　《実数の集合E》は、(a－ε, a＋ε) との交わりを維持するものの、(a－ε, a＋ε) を部分集合として吸収してしまうことはない　」　　　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「∀ε>0　（ E∩ (a－ε, a＋ε) ≠ φ かつ E (a－ε, a＋ε) ）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【文献】
		小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)


		【表現1'】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　(a－ε, a＋ε) は、《実数の集合E》と互いに素になったり、《実数の集合E》に部分集合として吸収されたり、しない。　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「∀ε>0　￢（ (a－ε, a＋ε) ∩E ＝ φ　または　 (a－ε, a＋ε) ⊂E ）」という関係　～　　に、置かれているということないし・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　《実数の集合E》は、(a－ε, a＋ε) と互いに素になったり、(a－ε, a＋ε) を部分集合として吸収したり、しない　」　　　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「∀ε>0　￢（ E∩ (a－ε, a＋ε) ＝ φ　または　E⊃(a－ε, a＋ε) ）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現1'】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現2】 (1)「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数a、《実数の集合E》が、　　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　(a－ε, a＋ε) は、「実数の集合E」に部分集合として吸収されてしまうこともなければ、「《実数の集合E》の補集合」に部分集合として吸収されてしまうこともない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　∀ε>0　（ (a－ε, a＋ε) E かつ (a－ε, a＋ε) E^c ）　」という関係　～　　に、置かれているということないし (2)「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数a、《実数の集合E》が、　　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　　《実数の集合E》が (a－ε, a＋ε) を部分集合として吸収してしまうこともなければ、　　　　　　《実数の集合E》が「(a－ε, a＋ε) の補集合」に部分集合として吸収されてしまうこともない　　」　　　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　∀ε>0　（ E (a－ε, a＋ε) かつ E (a－ε, a＋ε) ^c ）　」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現2】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現２’】 (1)　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　(a－ε, a＋ε) は、「実数の集合E」に部分集合として吸収されてしまうこともなければ、「《実数の集合E》の補集合」に部分集合として吸収されてしまうこともない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　∀ε>0　￢（ (a－ε, a＋ε) ⊂E または (a－ε, a＋ε) ⊂E^c ）　」という関係　～　　に、置かれているということないし (2)　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　(a－ε, a＋ε) は、「実数の集合E」に部分集合として吸収されてしまうこともなければ、「《実数の集合E》の補集合」に部分集合として吸収されてしまうこともない　」　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「∀ε>0 ￢（ E⊃(a－ε, a＋ε) または E⊂(a－ε, a＋ε) ^c ）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現2'】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現3】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　(a－ε, a＋ε) のなかに《Eに属す実数》が存在するが、「すべての《 (a－ε, a＋ε) に属す実数》が、Eに属す」ことはない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0　（「∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E」かつ「￢ ∀ω∈(a－ε, a＋ε) ( ω∈E )」）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現３】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現4】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　(a－ε, a＋ε) は、《実数の集合E》《Eの補集合》の両方と交わる　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0　（「(a－ε, a＋ε) ∩E ≠ φ」かつ「 (a－ε, a＋ε) ∩E^c ≠ φ」）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現4】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【文献】　吹田・新保『理工系の微分積分学』』6-§1(pp.154-155):R2; 　松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.14２); 　笠原『微分積分学』1.3(p.18;19):R2; 　杉浦『解析入門I』Ⅱ章§8定義3(p.150):Rn　　de la Fuente; 　黒田『微分積分』8.1.4(8.1.7)(p.272):Rn一般,境界点を「内点でも外点でもない点」として定義したあと、その必要十分条件として提示


		【表現4'】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　(a－ε, a＋ε) は、《実数の集合E》《Eの補集合》の両方と交わる　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0　（「 (a－ε, a＋ε) ∩E ≠ φ」かつ「 (a－ε, a＋ε) ∩(R－E) ≠ φ」）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現4'】は【表現4】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　－の定義


		【文献】　　奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録Ⅰ-2-B(pp.262-3)Rn上示


		【表現5】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　　 (a－ε, a＋ε) には《Eに属す実数》も《Eに属さない実数》も存在する　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0　（「∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E」かつ「∃ω∈(a－ε, a＋ε) (ωE )」）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【文献】　　能代『極限論と集合論』7章3(p.131):Rn.実数aのいかなる近傍にも、《Eに属す実数》と《Eに属さない実数》とが同時にはいってくるということ。


		【表現5'】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　 (a－ε, a＋ε) のなかに、『Eに属す実数』も、『《Eの補集合》に属す実数』も存在する　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　∀ε>0　（「∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E」かつ「∃ω∈(a－ε, a＋ε) (ω∈E^c)」）　」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5'】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現5-2】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属す実数》が存在し、　　　　　なおかつ　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属さない実数》が存在する　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ωE）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-2】は【表現5】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∀と∧の分配則


		【表現5-2'】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に『Eに属す実数』が存在し、　　　　　なおかつ　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に『《Eの補集合》に属す実数』が存在する　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E^c）」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-2'】は【表現5'】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∀と∧の分配則


		【表現5-3】・　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　実数a、《実数の集合E》の位置関係が、次にあげる位置関係の少なくとも一方に該当すること。　　位置関係１：　実数aは《実数の集合E》に属しているが、　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属さない実数》が存在する。　　　位置関係2：　実数aは《実数の集合E》に属さないが、　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属す実数》が存在する。　・　以上を、論理記号・集合の記号で表すと、　　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　　　　　　　　　　　　　（　a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE　）　　　　　　または　　　　　　　（　 aE 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　　　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係

【表現5-3】は【表現5-2】と同じこと。互いに言い換えてよい。

※どうして？　　　

【表現5-2】 ⇒【表現5-3】　

【表現5-3】 ⇒【表現5-2】

【表現5-2】　∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）
⇔∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）かつ　（ a∈E または a

E ）　　　
　　∵排中律より「 a∈E または a

E 」は恒真命題であること、「Pかつ恒真命題」と「P」とは互いに言い換えてよいことから。　　　
⇔（　∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）かつ　a∈E ）
　または
　（　∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）かつ　 a

E ）　　　　　
　　　　　　　　　∵《かつ》《または》の分配律にしたがって　　
⇒【表現5-3】　（a∈Eかつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω

E）または（a

E かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　　　
　　　　∵「かつ」の除去則　

・一般に、「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」は、「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」と言い換え可能だから(→含意の言換3)、
　　　　【表現5-3】　（a∈Eかつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω

E）または（a

E かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　
　　 ⇒　【表現5-2】　∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）
　を示すには、
　　(1)　「a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）」　 ⇒　「∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）」
　　(2)　「 a

E 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）」　 ⇒　「∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）」
　の両方が成り立つことを示せばよい。
・a∈E　 ⇒　「∀ε>0 （a∈(a－ε, a＋ε) かつ a∈E ）」　なので、　a∈E　 ⇒　「∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω∈E ）」。だから、(1)は成り立つ。　
・a

E　 ⇒　「∀ε>0 （a∈(a－ε, a＋ε) かつ a

E ）」なので、　a

E　⇒　「∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) （ω

E）」。だから、(2)は成り立つ。


		【表現5-4】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　ケース1：　実数aがEに属すならば、　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属さない実数》が存在し、　ケース2：　実数aがEに属さないならば、　　　　　　　　　　　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、 (a－ε, a＋ε) に《Eに属す実数》が存在する　ということ。・以上を、論理記号・集合の記号で表すと、　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　　　「　a∈E　⇒　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）　」　　　　　かつ　　　　　「　aE　⇒　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　」　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-4】は【表現5-2】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？【表現5-4】「a∈E ⇒ （∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）」　　　かつ「aE ⇒ （∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）」　　　⇔　「 aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）」かつ「a∈E　または　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）」　∵「ならば」の同義異表現　　　　　 ⇔　（　「aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）」かつ　a∈E ）　　　　　　または　　　　　（　「aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）」かつ　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　）　　　　　　　∵《かつ》《または》の分配律　　　　　　 ⇔　（aEかつa∈E）　または　　　　　　（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつa∈E）　または　（aEかつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　∵《かつ》《または》の分配律　　　　　　 ⇔　（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつa∈E）　または　（aEかつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　　　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　∵矛盾律より（aEかつa∈E）は恒偽命題であること、「恒偽命題またはP」と「P」は互いに言い換えてよいこと、から。　　　⇔　（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　∵【表現5-3】の右コラムに示したように、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【表現5-3】　（a∈Eかつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）または（aE かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　⇔　【表現5-2】　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ）　かつ　（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）　　　　　⇔　【表現5-2】（（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ωE）かつ（∀ε>0 ∃ω∈(a－ε, a＋ε) ω∈E ））　　　　∵　ベキ等律


		【表現6】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを、どんな値に変更したときでも、　　　　　　　「E≠φ かつ (a－ε, a＋ε) E かつ (a－ε, a＋ε) ⊃E 」または「 (a－ε, a＋ε) ∩E ≠ φ かつ (a－ε, a＋ε) E かつ (a－ε, a＋ε) E」　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、　　　　　「　∀ε>0　（「E≠φ かつ (a－ε, a＋ε) E かつ (a－ε, a＋ε) ⊃E 」または「 (a－ε, a＋ε) ∩E ≠ φ かつ (a－ε, a＋ε) E かつ (a－ε, a＋ε) E」）　」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現6】は【表現1】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　「A∩B ≠ φ かつ AB」の言い換え可能表現一覧


		【表現7】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを変更して、　　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》と互いに素にしてやろう、とか、　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》に部分集合として吸収させてやろう、とか、　　　　いくら目論んだところで、　　　　そんな (a－ε, a＋ε) の幅εなんて、ありゃしない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「￢ ∃ε>0　（ (a－ε, a＋ε) ∩E ＝ φ　または　 (a－ε, a＋ε) ⊂E ）」という関係　～　　に、置かれているということないし・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを変更して、　　　　　　　《実数の集合E》を、(a－ε, a＋ε) と互いに素にしてやろう、とか、　　　　　　《実数の集合E》に、(a－ε, a＋ε) を部分集合として吸収させてやろう、とか、いくら企んだところで、　　　　そんな(a－ε, a＋ε) の幅εなんて、ありゃしない　」　　　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　￢ ∃ε>0　（E∩ (a－ε, a＋ε) ＝ φ　または　E⊃(a－ε, a＋ε) 　）　」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現1’】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　全体否定の2表現　にしたがって。


		【表現8】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを調整して、、　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》と互いに素にしてやろう、とか、　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》に部分集合として吸収させてやろう、とか　　　　いくら目論んだって、　　　　　そんな(a－ε, a＋ε) の幅εなんて、存在しない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「￢（ ∃ε>0 （ (a－ε, a＋ε) ∩E ＝ φ ）または ∃ε>0 （ (a－ε, a＋ε) ⊂E ））」という関係　～　　に、置かれているということないし・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　(a－ε, a＋ε) の幅εを調整して、　　　　　　《実数の集合E》を、(a－ε, a＋ε) と互いに素にしてやろう、とか、　　　　　　《実数の集合E》に、(a－ε, a＋ε) を部分集合として吸収させてやろう、とか、　　　　　　いくら企んだところで、　　　　　　そんな (a－ε, a＋ε) の幅εなんて、ありゃしない　」　　　という位置関係　　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「　￢（ ∃ε>0 （ E∩ (a－ε, a＋ε) ＝ φ ）または ∃ε>0 （E⊃(a－ε, a＋ε) ））　」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現7】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∃(∨)


		【表現9】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数aは、《Eの内点》にも《Eの外点》にもならない　　　　　論理記号・集合の記号で表すと、　　　　　￢（「実数aが『Eの外点』である」または「実数aが『Eの内点』である」）　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現8】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　　　内点の定義：「実数aが『Eの内点』である」⇔「∃ε>0　(a－ε, a＋ε) ⊂E」　　外点の定義：「実数aが『Eの外点』である」⇔「∃ε>0 (a－ε, a＋ε) ∩E＝φ」


		【表現１０】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数aは、《Eの内点》にも《Eの外点》にもならない　　　　　論理記号・集合の記号で表すと、　　　　　（￢「実数aが『Eの外点』である」）　かつ　（￢「実数aが『Eの内点』である」）　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現９】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　　　「または」の否定￢(∨)


		【文献】　・松坂『解析入門3』12.1-C-定義c(p.5２) 　・黒田『微分積分』8.1.4(p.271):Rⁿ一般


		【表現１１】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　　(a－ε, a＋ε) の幅εを調整して、　　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》の部分集合にしよう、とか、　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《Eの補集合E^c》の部分集合にしよう、とか、　　　　いくら目論んだところで、　　　　そんな(a－ε, a＋ε) の幅εなんて、ありゃしない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「￢ ∃ε>0　（ (a－ε, a＋ε) ⊂E または (a－ε, a＋ε) ⊂E^c ）」という関係　～　　に、置かれているということ【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現２’】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　全体否定の2表現　にしたがって。


		【表現１２】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　実数a、《実数の集合E》が、　　「　　(a－ε, a＋ε) の幅εを調整して、　　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《実数の集合E》の部分集合にしよう、とか、　　　　　　(a－ε, a＋ε) を、《Eの補集合E^c》の部分集合にしよう、とか、　　　　いくら目論んだところで、　　　　そんな (a－ε, a＋ε) の幅εなんて、ありゃしない　」　という位置関係　　～　論理記号・集合の記号で表すと、「￢（ ∃ε>0 （ (a－ε, a＋ε) ⊂E ）または ∃ε>0 （ (a－ε, a＋ε) ⊂E^c ））」という関係　～　　に、置かれているということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現】は【表現１１】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∃(∨)


		【表現13】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数aは、《Eの内点》にも《E^cの内点》にもならない　　　　　論理記号・集合の記号で表すと、　　　　　￢（「実数aが『Eの内点』である」または「実数aが『E^cの内点』である」）　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現13】は【表現12】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　　　内点の定義：「実数aが『Eの内点』である」⇔「∃ε>0　(a－ε, a＋ε) ⊂E」


		【表現14】　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　実数aは、《Eの内点》にも《E^cの内点》にもならない　　　　　論理記号・集合の記号で表すと、　　　　　　（￢「実数aが《Eの内点》である」）　かつ　（￢「実数aが《E^cの内点》である」）　　ということ。【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現14】は【表現13】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　　　　　「または」の否定￢(∨)


		【文献】　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101)：Rnにおいて。

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定義：《実数の集合》の境界点 boundary point

厳密な「境界点」定義 ～ 開区間を用いた表現

近傍概念を用いた厳密な「境界点」定義 ～ 集合の記号・論理記号による様々な表現

定義：《実数の集合》の境界点　boundary point　　

厳密な「境界点」定義　～　開区間を用いた表現　　　　　　

近傍概念を用いた厳密な「境界点」定義　～　集合の記号・論理記号による様々な表現　　　