定義：《実数の集合》の境界点　boundary point　　

→ビギナー向け「境界点」定義　
→厳密な「境界点」定義：

　　→　距離のみを用いた表現
　　→　開区間を用いた表現
　　→　近傍を用いた表現
　　→　内点・外点を用いた表現　
　　→　内点・補集合を用いた表現

　【一般化】
　　→　R²における境界点/Rⁿにおける境界点　
　　→　距離空間一般における境界点

→実数－《実数の集合》間の位置関係一覧
→[トピック一覧：距離空間(R,d)]
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厳密な「境界点」定義　～　距離を用いた表現　　　　　


		【表現5】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　距離εの大きさを操作して　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅を変えていくと、　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　その都度その都度、　　《実数aから距離ε以内のゾーン》には　　　　《Eに属す実数》《Eに属さない実数》の両方が存在している　　　　　　　ということ。　　　　[→能代『極限論と集合論』7章3(p.131):Rn]　　・論理記号・集合の記号で表すと、　　　　∀ε>0　（　「　∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　」かつ「　∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ωE )　」　）

　　※　上記の定義は、　【開区間を用いた表現5】【近傍を用いた表現5】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　

　・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」を、下記のように定義しても同じこと。
　　だから、これらを互いに言い換えても差し支えない。


		【表現3】「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　距離εの大きさを操作して　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅を変えていくと、　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》のなかに《Eに属す実数》が存在するが、　　　　　　　そのとき《実数aから距離ε以内のゾーン》のなかにある実数のすべてが、Eに属すのではない　　ということ、　論理記号・集合の記号で表すと、　　　 ∀ε>0　（「 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) 」かつ「￢ ∀ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε⇒ ω∈E )」）　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		この定義は、
		【開区間を用いた表現3】【近傍を用いた表現3】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。


		【表現5'】「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　距離εの大きさを操作して　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅を変えていくと、　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》には　　　　　　　『Eに属す実数』『《Eの補集合》に属す実数』の両方が存在しているということ、　論理記号・集合の記号で表すと、　　　∀ε>0　（「∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)」かつ「∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E^c )」）　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		この定義は、
		【開区間を用いた表現5'】【近傍を用いた表現5'】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。


		【表現5-2】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　距離εの大きさを操作して　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅を変えていくと、　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、《実数aから距離ε以内のゾーン》には《Eに属す実数》が存在し、　　　　なおかつ　　　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、《実数aから距離ε以内のゾーン》には《Eに属さない実数》が存在する　ということ。・論理記号・集合の記号で表すと、　　　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE）　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-2】は【表現5】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∀と∧の分配則


		【表現5-2'】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　距離εの大きさを操作して　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅を変えていくと、　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、《実数aから距離ε以内のゾーン》には『Eに属す実数』が存在し、　　　　なおかつ　　　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、《実数aから距離ε以内のゾーン》には『《Eの補集合》に属す実数』が存在する　ということ。・論理記号・集合の記号で表すと、　　　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E^c）　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-2'】は【表現5'】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？　→　∀と∧の分配則


		【表現5-3】・　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　実数a、《実数の集合E》の位置関係が、次にあげる位置関係の少なくとも一方に該当すること。　　位置関係１：　実数aは《実数の集合E》に属しているが、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に《Eに属さない実数》が、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　　　　　存在する。　　　位置関係2：　実数aは《実数の集合E》に属さないが、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に《Eに属す実数》が、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　　　　　存在する。・　以上を、論理記号・集合の記号で表すと、　　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　　　　　　　　　　　　　（　a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE）　）　　　　　　または　　　　　　　（　 aE 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）　　　　ということ。　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係

【表現5-3】は【表現5-2】と同じこと。互いに言い換えてよい。

※どうして？　　　

【表現5-2】 ⇒【表現5-3】　

【表現5-3】 ⇒【表現5-2】

【表現5-2】　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）
⇔∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）かつ　（ a∈E または a

E ）　　　
　　∵排中律より「 a∈E または a

E 」は恒真命題であること、「Pかつ恒真命題」と「P」とは互いに言い換えてよいことから。　　　
⇔（　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）かつ　a∈E ）
　または
　（　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)）　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）かつ　 a

E ）　　　　　
　　　　　　　　　∵《かつ》《または》の分配律にしたがって　　
⇒【表現5-3】　（a∈Eかつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E））または（a

E かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）　　　
　　　　∵「かつ」の除去則　

・一般に、「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」は、「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」と言い換え可能だから(→含意の言換3)、
　　　　【表現5-3】　
　　　　　（　a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）　）または（　 a

E 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）
　　 ⇒　【表現5-2】　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）
　を示すには、
　　(1)　「a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）」　 ⇒　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）
　　(2)　「a

E 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)」　 ⇒　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）
　の両方が成り立つことを示せばよい。
・a∈E　 ⇒　「∀ε>0 （a－ε<a<a＋εかつ a∈E ）」。なので、　a∈E　 ⇒　「∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)」。だから、(1)は成り立つ。　
・a

E　 ⇒　「∀ε>0 （a－ε<a<a＋ε かつ a

E ）」。なので、　a

E　⇒　「∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつω

E）」。だから、(2)は成り立つ。


		【表現5-4】・「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　ケース1：　実数aがEに属すならば、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に《Eに属さない実数》が、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　　　　　存在する。　ケース2：　実数aがEに属さないならば、　　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に《Eに属す実数》が、　　　　　　　　《実数aから距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、　　　　　　　　存在する。・以上を、論理記号・集合の記号で表すと、　「実数aが『《実数の集合E》の境界点』である」とは、　　　　　「　a∈E　⇒　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））　」　　　　　かつ　　　　　「　aE　⇒　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)）　」　　ということ。　　※　上記の定義は、【開区間表現】/【近傍表現】の開区間・近傍の定義を、距離を用いて書き下して得たもの。　【一覧】　→境界点の定義　→実数－《実数の集合》間の位置関係


		【表現5-4】は【表現5-2】と同じこと。互いに言い換えてよい。
		※どうして？【表現5-4】「a∈E ⇒ （∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））」　　　かつ「aE ⇒ （∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）」　　　⇔　「 aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））」かつ「a∈E　または　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）」　∵「ならば」の同義異表現　　　　　 ⇔　（　「aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））」かつ　a∈E ）　　　　　　または　　　　　（　「aE　または　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））」かつ　（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）　）　　　　　　　∵《かつ》《または》の分配律　　　　　　 ⇔　（aEかつa∈E）　または　　　　　　（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつa∈E）　または　（aEかつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　∵《かつ》《または》の分配律　　　　　　 ⇔　（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつa∈E）　または　（aEかつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　∵矛盾律より（aEかつa∈E）は恒偽命題であること、「恒偽命題またはP」と「P」は互いに言い換えてよいこと、から。　　　⇔　（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　　　　　　　　または（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　∵【表現5-3】の右コラムに示したように、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【表現5-3】　（　a∈E　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE）　）または（　 aE 　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ）　⇔　【表現5-2】　∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E)　かつ　 ∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE）　　　　　⇔　【表現5-2】（（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつωE））かつ（∀ε>0 ∃ω∈R ( a－ε<ω<a＋ε かつ ω∈E) ））　　　　∵　ベキ等律

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厳密な「境界点」定義 ～ 距離を用いた表現

定義：《実数の集合》の境界点　boundary point　　

厳密な「境界点」定義　～　距離を用いた表現　　　　　