恒真命題/恒偽命題　：　トピック一覧　　

・恒真命題・恒真式・トートロジー / 恒偽命題・恒偽式・矛盾式 / 整合式・事実式 / 充足可能式/充足不能式
・恒真命題・恒真式・トートロジーの頻出例　　
　　・排中律/矛盾律　　
　　・または恒真命題/かつ恒真命題
　　・または恒偽命題/かつ恒偽命題 

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恒真命題・恒真式・トートロジー　tautology 　　

【ビギナー向け定義】

・恒真命題・トートロジーtautology とは、
　どんなときも真である命題のこと。

・たとえば、
　「 Aまたは『Aでない』」は、
　　Aが真であるときも、Aが偽であるときも、
　　真になる。(排中律)

　　このような意味で
　　「どんなときも」真になる命題が
　　　恒真命題。


・恒真命題 は、記号「I」「T」などで表される。
　　　　　(清水p.15:注意,戸次,戸田山p.45)

【厳密な定義】
  




【文献−ビギナー向け】
　・中内『ろ んりの練習帳』1.7(p.40)恒真命題tautology
　●中谷『論理』 1.5-A (p.24) ：　
　　「…。このような真理関数(論理式)をトートロジーまたは恒真関数といい、記号Iで表す。そして、この場合の関数値命題を恒真命題という。また、論理式に着目して恒真式という。」　　　
【文献−厳密に】
　・井関清志『集合と論理』§1.4定義1.1(p.21)。
　・清水『記号論理学』§1.2(p.13)。恒真式
　・野矢茂樹『論理学』1-1-5(p.37)：恒真関数＝原子式の真理値に何をいれてもつねに結果が1になる真理関数。トートロジー＝恒真関数を表す論理式。
　・戸田山『論理学をつくる』3.3.1 (p.43) 　tautology,恒真式,真理関数的に妥当な式truth-functionally valid wff｝
　　　　　　3.3.2代表的なトートロジー(p.44)27個列挙、名称付。
　●松本『数理論理学』1.1(p.4)定義2：あらゆる付値に対し、論理式が真の値をとるとき、論理式をトートロジーという。トートロジーの列挙(p.5)
　・戸次 『数理論理学』3.2.4(pp.37-8)恒真式・トートロジー　：解釈によらず常に真である論理式。トートロジー列挙・名称付：pp.38-39.



　

・n個の命題変数P1,P2,...,Pnを含む論理式A(P1,P2,...,Pn)が恒真式・トートロジーtautologyである　　とは、
　n個の命題変数P1,P2,...,Pnに対して、真理値をどのような組み合わせで与えても、
　　　　（　つまり、《論理式A(P1,P2,...,Pn)の付値》を、2n通りあるうちのどれに切り替えても、）
　《論理式A(P1,P2,...,Pn)の真理値》が真にしかならない
　　　　（　つまり、《論理式A(P1,P2,...,Pn) の真理関数》が真を値とする定値写像 になる）　　
　ということ。

・「論理式A(P1,P2,...,Pn)が恒真式・トートロジーtautologyである」は、しばしば
　
 ⊨  A(P1,P2,...,Pn)
　　と表される。

【例】

　→¬(恒真命題)　/　¬(恒偽命題)　　
　→A∨(恒真命題)、（恒真命題)∨A 　/　A∧(恒真命題)、（恒真命題)∧A 　　
　→A∨(恒偽命題)、（恒偽命題)∨A 　/　A∧(恒偽命題)、（恒偽命題)∧A 　　
　→排中律　A∨(¬A)　/　矛盾律　¬(A∧(¬A))　

　そのほか→頻出トートロジー一覧　　

恒偽命題・矛盾　contradiction 　・恒偽式・矛盾式contradictory wff, inconsistent wff.

【ビギナー向け定義】

　・恒偽命題 contradiction とは、
　　　どんなときも偽である命題のこと。　　

　・たとえば、
　　「 A かつ  ¬A 」は、
　　　Aが真であるときも、
　　　Aが偽であるときも、
　　偽になる。

　　このような意味で
　　「どんなときも」偽になる命題が、
　　　恒偽命題。

　・恒偽命題 は、記号「O」「⊥」などで表される。
　　　　　　　(清水p.15:注意,戸次,戸田山p.45)

【厳密な定義】




【文献】
　・中内『ろんりの練習帳』1.7(p.40)恒偽命題contradiction　　
　●中谷『論理』 1.5-A (pp.24-5)：　
　　「…。このような真理関数(論理式)を恒偽関数または矛盾関数contradictoryといい、記号Oで表す。そして、この場合の関数値命題を恒偽命題という。また、論理式に着目して恒偽式という。」　　　
　・野矢茂樹『論理学』1-1-5(p.37).：恒偽関数＝原子式の真理値に何をいれてもつねに結果が偽になる真理関数。矛盾式＝恒偽関数を表す論理式。
　・清水『記号論理学』§1.2(p.13)。恒偽式・矛盾式contradictory wf
　・戸田山『論理学をつくる』3.3.1 (p.43) 矛盾式inconsistent wff., 恒偽式
　●松本『数理論理学』1.1(p.6)いかなる付値に対しても常に値偽をとるような論理式を矛盾contradictionという。
　・戸次 『数理論理学』3.2.4(pp.37-8)恒偽式・矛盾式contradictory formula　：解釈によらず常に偽である論理式。



　

　・n個の命題変数P1,P2,...,Pnを 含む論理式A(P1,P2,...,Pn) が恒偽式 contradictory wff. , inconsistent wff. である　とは、
　　　n個の命題変数P1,P2,...,Pnに対して、真理値をどのような組み合わせで与えても、
　　　　　　　（　つまり、《論理式A(P1,P2,...,Pn) の付値》を、2n通りある うちのどれに切り替えても、）
　　《論理式A(P1,P2,...,Pn) の真理値》が偽にしかならない
　　　　　　　（　つまり、《論理式A(P1,P2,...,Pn) の真理関数》が偽を値とする定値写像 になる　） 　　　　
　　ということ。　

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整合式　consistent wff 　事実式contingency 　　　

【ビギナー向け定義】

・整合式 consistent wff 事実式contingency とは、
　真にも偽にもなる論理式のこと。　　

・たとえば、
　「 ¬A 」は、
　Aが真であるとき、偽
　Aが偽であるとき、真
　となる。
　このような意味で真にも偽にもなる論理式が、整合式。

【厳密な定義】




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』3.3.1 (p.43)　事実式contingency
　・清水『記号論理学』§1.2(p.13)。整合式consistent wff
　・戸次 『数理論理学』3.2.4(pp.37-8)整合式consistent formula　：真となる解釈、偽となる解釈がともに存在する論理式。

　



・n個の命題変数P1,P2,...,Pnを含む論理式A(P1,P2,...,Pn)が整合式 consistent wff 、事実式contingency である　とは、
　　論理式A(P1,P2,...,Pn)の真理値》を真にする《論理式A(P1,P2,...,Pn)の付値》もあれば、
　　論理式A(P1,P2,...,Pn)の真理値》を偽にする《論理式A(P1,P2,...,Pn)の付値》もある
　ということ。　
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充足可能式　satisfiable wff 　充足不可能式 　unsatisfiable wff　 　　　

【ビギナー向け定義】

・充足可能式 satisfiable wff とは、
　　恒真式 tautology
　　と
　　整合式 consistent wff 、事実式contingency
　の総称。

・充足不可能式とは、恒偽式 の別称。

【厳密な定義】




【関連事項】
　　→ 定義「充足」　
　　→ 複数の論理式について充足可能　
【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』3.3.1 (p.43)　充足可能式satisfiable wff. 充足不可能式



　
　　


・n個の命題変数P1,P2,...,Pnを含む論理式A(P1,P2,...,Pn)が充足可能式 satisfiable wff である　とは、
　　論理式A(P1,P2,...,Pn)の真理値》を真にする《論理式A(P1,P2,...,Pn)の付値》が、最低一通りは存在する
　ということ。　

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