定義　：　二つの集合が 「互いに素 disjoint 」　

【はじめに読む定義】


・「集合Aと集合Bとは互いに素(疎)・分離している 」とは、集合A,Bの両方に属している元が皆無だということ。
　　　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない
・反意語は、「集合Aと集合Bとは交わる 」



[文献]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目162B(p.429);
　・竹内『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』1章-「空集合」(pp.53-54):「互いに疎」
　・中内『ろんりの練習帳』定義3.1.25(p.144)
　・松坂『集合・位相入門』1章§2-B(p.14);1章§2問題2(p.21):解答なし
　・松坂『解析入門3』12.1-c(p.7)
　・黒崎達『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(2) (p.26)
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』1.1.2(p.1)
　・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-１(p.5)"Two sets A and B are disjoint if they have no elements in common."
　・Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd ed), 2.9(p.27)

※「互いに素」の述語論理による表現　　　　

【厳密な定義】


・「集合Aと集合Bとは互いに素(疎)・分離している 」
　　"set A and set B are disjoint "
　　"set A and set B are mutually disjoint " [中内p.144]
　　"set A and set B are nonintersecting"  [永倉・宮岡p.1]
　とは、

　集合A,Bが
　　「《集合A,Bの共通部分》が空集合」　
　という状況に置かれているということ、

　集合の記号で表すと、　A∩B ＝ φ　

　を表す。

　[　→言い換え可能な表現一覧 / 述語論理への還元　]　　

→[交わる/互いに素]冒頭
→集合の基本概念－定義と記号一覧
→集合論目次

「互いに素」の同値条件一覧



【活用例】
　・外点定義の諸表現/境界点定義の諸表現　

【文献】
　・竹内『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』1章-「空集合」(pp.53-54):「互いに疎」
　・松坂『集合・位相入門』1章§2-B(p.14);1章§2問題2(p.21):解答なし
　・黒崎達『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(2) (p.26)


　・彌永『集合と位相I』 問題1.9(1)(pp.22-23)：証明なし
・全体集合Ωのなかで集合を考えているとき、
　「集合A,Bは互いに素」　A∩B ＝ φ　　…　(表現1)
　　　　つまり、
　　　　集合A,Bが　
　　　　　　「《集合A,Bの共通部分》が空集合」
　　　　という状況に置かれているということ

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない
　は、
　下記表現
　　(1')　
　　(2-1)(2-2)
　　(3-1)(3-2)(3-3)
　　(4)(4')　　　　　「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）　」　
　　(5)(5')　　　　　「∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc ）」「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac  ）　」　
　　(6)(6')　　　　　「∀ω∈A　 （ω属さないB  ）」　　　　「∀ω∈B　 （ω属さないA  ）　」
　　(7)(7')　　　　　「∀ω∈A　 （ω∈Bc  ）」　　　　「∀ω∈B　 （ ω∈Ac ）　」
　　(8)(8') 　　　　　「A⊂Bc」　 「Ac ⊃B」
　　(9)
　のどれとでも言い換え可能。



【表現1'】　　


・「集合A,Bが互いに素」　「集合A,Bが交わらない」は、互いに言い換え可能。

・論理記号・集合の記号で表すと、
　　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現1')　￢（ A∩B ≠ φ ）　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現1']

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　









【「互いに素」(表現1)⇔(表現2-1)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現2-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？

　【A】　「＝φ」の同値条件にしたがっ て、言い換えられるから。
　



　　



【表現2-1】　「＝ φ」を用いずに　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　「 A∩Bに属している元が、(Ωのなかに)一つも存在しない 」　　
　と、互いに言い換え可能。　

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　
　　　　PerfumeとAKB48は互いに素


・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現2-1)　￢（ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ）　　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現2-1]

【反意語】

  　・(表現2-1)の否定は、「交わる」言い換え(表現2-1)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　










【「互いに素」(表現1)⇔(表現2-2)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現2-2)「 ∀ω∈Ω　（ωの元ではないA∩B） 」　「 ∀ω∈Ω　￢（x∈A∩B） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？

　【A】　「＝φ」の同値条件にしたがっ て、言い換えられるから。
　




　　



【表現2-2】　「＝ φ」を用いずに


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　「 すべての《Ωの元》が、A∩B に属してない 」　
　と、互いに言い換え可能。
　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集合」(p.54)]
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現2-2)　∀ω∈Ω （ωの元ではないA∩B） 　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ないし
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ω∈Ω ￢（ω∈A∩B） 　　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現2-2]

【反意語】

  　・(表現2-2)の否定は、「交わる」言い換え(表現2-2)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 







【「互いに素」(表現1)⇔(表現3-1)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B　 ） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　「＝φ」の同値条件にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現2-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「ω∈A∩B」 ⇔「ω∈A かつ ω∈B」という同値条件にしたがって、
　　　　　　　　　(表現2-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　⇔　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B） 」　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B　 ） 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現3-1】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、

　「 集合A,Bが互いに素」　は、　

　「 《集合Aに属し、かつ,集合Bにも属す元》
　　　すなわち《集合A,B両方に属す元》が、一つもない 」

　と、互いに言い換え可能。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現3-1)　￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつω∈B ）　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現3-1]

【反意語】

  　・(表現3-1)の否定は、「交わる」言い換え(表現3-1)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 






【「互いに素」(表現1)⇔(表現3-1')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1')　￢（ ∃ω∈A　ω∈B ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(表現3-1'')　￢（∃ω∈B　ω∈A ）　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-1)吹き出しコラムで述べた理由にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B　 ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∃ω∈A　P(ω)」 という記号が、「∃ω（ω∈A　かつ　P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B　 ） 」　⇔　(表現3-1')　￢（ ∃ω∈A　ω∈B ） 　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「∃ω∈B　P(ω)」 という記号が、「∃ω（P(ω) かつ ω∈B ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　(表現3-1)「 ￢（ ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B　 ） 」　⇔　(表現3-1'')　￢（∃ω∈B　ω∈A ）　
　　　　　　　　と言い換えていい。









【表現3-1'】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、

　「 集合A,Bが互いに素」　は、　
　
　「 集合Aのなかに、《集合Bに属す元》が、一つもない 」
　ないし
　「 集合Bのなかに、《集合Aに属す元》が、一つもない 」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現3-1')　￢（ ∃ω∈A　ω∈B ）　　
　　　　　　　　　　　　　　(表現3-1'')　￢（∃ω∈B　ω∈A ）　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現3-1']

【反意語】

  　・(表現3-1)の否定は、「交わる」言い換え(表現3-1')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 









【「互いに素」(表現1)⇔(表現3-2)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-2)「 ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　「＝φ」の同値条件にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現2-2)「 ∀ω∈Ω　￢（ω∈A∩B）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「ω∈A∩B」 ⇔「ω∈A かつ ω∈B」という同値条件にしたがって、
　　　　　　　　　(表現2-2)「 ∀ω∈Ω　￢（ω∈A∩B）」　⇔　(表現3-2)「 ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　　　　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-2)「 ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。




　





【表現3-2】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、

　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　

　「すべての《Ωの元》が、
　　　《集合Aに属していて、かつ,集合Bにも属している》という行為をおかしてない　　
　　　つまり《同時に集合A,B両方に属している》という行為をおかしてない」

　と、互いに言い換え可能。　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集合」(p.54)]

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　　　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現3-2)　∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B）　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現3-2]

【反意語】

  　・(表現3-2)の否定は、「交わる」言い換え(表現3-2)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　










【「互いに素」(表現1)⇔(表現3-3)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-2)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-2)「 ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつ ω∈B） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「～かつ─」の否定の性質にしたがって、「￢　ω∈Aかつω∈B」と「ωの元ではないA または ωの元ではないB」 とを言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現3-2)「 ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつ ω∈B） 」　⇔　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現3-3】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。　　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、

　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　

　　「集合A,Bが
　　　『 すべての《Ωの元》は、
　　　　　集合Aに属してないか、
　　　　　集合Bに属してないか、
　　　　　（あるいはその両方にに属してないか）
　　　　のいずれか 』
　　という状況に置かれている」

　と、互いに言い換え可能。
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現3-3)　∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB）
　　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集 合」(p.54)　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現3-3]

【反意語】

  　・(表現3-3)の否定は、「交わる」言い換え(表現3-3)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 
　　　



【「互いに素」(表現1)⇔(表現4)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　　　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-3)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　ωの元ではないAの 定義から、「ωの元ではないA」と「￢(ω∈A)」 とを言い換えてよいので、
　　　　　　　　　　　　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　⇔　「 ∀ω∈Ω （　￢(ω∈A) または ωの元ではないB　 ）　」
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「( ￢P )またはQ」と「P⇒Q」 とを言い換えてよいという論理の性質にしたがって、
　　　　　　　　　　　　「 ∀ω∈Ω （　￢(ω∈A) または ωの元ではないB ） 」　⇔　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step4]　だから、上記step1, step2, step3 を引き続き行うことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。










【表現4】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。　　


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「 Ωの すべての元は、集合Aに属すならば、集合Bに属さない 」
　と、互いに言い換え可能。

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現4)　∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）　　
　　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集 合」(p.54)

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現4]

【反意語】

  　・(表現4)の否定は、「交わる」言い換え(表現4)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 






【「互いに素」(表現1)⇔(表現4')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　　　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-3)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　ωの元ではないBの 定義から、「ωの元ではないB」と「￢(ω∈B)」 とを言い換えてよいので、　
　　　　　　　　　　　　(表現3-3)「 ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　⇔　「 ∀ω∈Ω （　ωの元ではないA または ￢(ω∈B)　 ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「( ￢P )またはQ」と「P⇒Q」 とを言い換えてよいという論理の性質にしたがって、
　　　　　　　　　　　　「 ∀ω∈Ω （ ωの元ではないA または ￢(ω∈B) ） 」　⇔　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step4]　だから、上記step1, step2, step3 を引き続き行うことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現4'】　「＝ φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「 Ωのすべての元は、集合Bに属すならば、集合Aに属さない 」
　と、互いに言い換え可能。　
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現4')　∀ω∈Ω（ω∈B⇒ω属さないA  ）　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現4']

【反意語】

  　・(表現4')の否定は、「交わる」言い換え(表現4')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　













【「互いに素」(表現1)⇔(表現5)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5)「∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないBとω∈Bc とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　⇔　(表現5)「∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5)「∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現5】　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「Ωの すべての元は、
　　　集合Aに属すならば、《Ωにおける集合Bの補集合》に属す」
　と、互いに言い換え可能。

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現5)　∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）　
　　　　　[竹内『集合とはなにか』 1章-「空集合」(p.54)] 　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現5]

【反意語】

  　・(表現5)の否定は、「交わる」言い換え(表現5)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 






【「互いに素」(表現1)⇔(表現5')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5')「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac ）」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないAとω∈Ac とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA ）」　⇔　(表現5')「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac ）」　 
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5')「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現5'】　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「Ωのすべての元は、
　　　　集合Bに属すならば、《Ωにおける集合Aの補集合》に属す」　
　と、互いに言い換え可能。

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現5')　∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac  ）　　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現5']

【反意語】

  　・(表現5')の否定は、「交わる」言い換え(表現5')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　










【互いに素(表現1)⇔(表現6)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6)「∀ω∈A （ω属さないB ）」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∀ω∈A　P(ω)」 という記号は、「∀ω（ω∈A⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　　　(表現4)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　⇔　(表現6)「∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6)「∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現6】　「∈」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「すべての《集合Aに属す元》が、 集合Bに属してない 」　
　と、互いに言い換え可能。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現6)　∀ω∈A （ω属さないB  ）　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現6]

【反意語】

  　・(表現6)の否定は、「交わる」言い換え(表現6)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　　










【互いに素(表現1)⇔(表現6')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　　⇔　(表現6') 「∀ω∈B （ω属さないA ）」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∀ω∈B　P(ω)」 という記号は、「∀ω（ω∈B⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　　さらに、「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　　　(表現4') 「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA ）」　⇔　(表現6') 「∀ω∈B （ω属さないA ）」　 
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6') 「∀ω∈B （ω属さないA ）」　　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現6'】　「∈」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「 すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属してない 」　
　と、互いに言い換え可能。

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現6')　∀ω∈B　 （ω属さないA  ）　　

【深化】

　→「互いに素」の述語論理への還元

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現6']

【反意語】

  　・(表現6')の否定は、「交わる」言い換え(表現6')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　　



 






【互いに素(表現1)⇔(表現7)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　　⇔　(表 現7)「 ∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現６)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6)「∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないBとω∈Bc とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現6)「∀ω∈A （ω属さないB ）」　⇔　(表現7)「 ∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現7)「 ∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現7】　　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　「 集合A,Bが互いに素」　は、
　「 すべての《集合Aに属す元》が、《Ωにおける集合Bの補集合》に属してる 」　　
　と、互いに言い換え可能。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現7)　∀ω∈A　 （ω∈Bc  ）　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現7]

【反意語】

  　・(表現7)の否定は、「交わる」言い換え(表現7)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　









【互いに素(表現1)⇔(表現7')となる根拠】



　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　　⇔　(表現7')「 ∀ω∈B（ω∈Ac ） 」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現6')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6') 「∀ω∈B （ω属さないA ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないAとω∈Ac とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現6') 「∀ω∈B （ω属さないA ）」　⇔　(表現7')「 ∀ω∈B　（ω∈Ac ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現7')「 ∀ω∈B　（ω∈Ac ） 」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。




　



【表現7'】　　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　　「 すべての《集合Bに属す元》が、《Ωにおける集合Aの補集合》に属してる 」　　
　と、互いに言い換え可能。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・論理記号・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現7')　∀ω∈B　 （ ω∈Ac ）　　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現7']

【反意語】

  　・(表現7')の否定は、「交わる」言い換え(表現7')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　



 







【互いに素(表現1)⇔(表現8)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現8) 「A⊂Bc 」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現5)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5)「∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　部分集合「⊂」の定義より、「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω∈Bc ）」 が 「A⊂Bc 」の語義に他ならないから、
　　　　　　　　　　　(表現5)「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω∈Bc ）」　⇔　(表現8) 「A⊂Bc 」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現8) 「A⊂Bc 」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。



　





【表現8】　　部分集合・補集合のみを用いて。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　「 集合A,Bが互いに素」　は、　　
　「 集合Aは、《Ωにおける集合Bの補集合》の部分集合になってる 」　
　と、互いに言い換え可能。

　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　

・集合の記号で表すと、
　　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現8)　A⊂Bc　　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現8]

【反意語】

  　・(表現8)の否定は、「交わる」言い換え(表現8)。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　

【文献】

　・竹内1章-(p.54)；松坂1章§2問題2(p.21):証明なし；黒崎1章Ⅳ(2) (p.26): 証明なし
　・中谷『論理』 5.3-B-練習問題4-1(３)(p.125):証明(p.183)　



 






【互いに素(表現1)⇔(表現8')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現8')「Ac ⊃B」 　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現5')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現5')「∀ω∈Ω（ω∈B⇒ω∈Ac ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　部分集合「⊃」の定義より、「∀ω∈Ω（ω∈B⇒ω∈Ac ）」 が 「Ac ⊃B」 の語義に 他ならないから、
　　　　　　　　　　　(表現5')「∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac ）」　⇔　(表現8')「Ac ⊃B」　 　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現8')「Ac ⊃B」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現8'】　　部分集合・補集合のみを用いて。


・全体集合Ωのなかで集合A,Bを考えているとき、
　「 集合A,Bが互いに素」　は、　
　「 集合Bが、《Ωにおける集合Aの補集合》の部分集合になってる 」　　
　と、互いに言い換え可能。
 
　　　　集合A,Bは互いに素・交わらない　　

・集合の記号で表すと、
　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現8')　Ac ⊃B　　

【具体例】

　もしも集合A,BがPerfumeとAKB48だったとしたら…
　　→「PerfumeとAKB48は互いに素」同値条件[表現8']

【反意語】

  　・(表現8')の否定は、「交わる」言い換え(表現8')。

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧　　
　










【表現９】　　差集合のみを用いて。


　(表現1)　A∩B ＝ φ　⇔　(表現９)A－B＝A　

　　　　[彌永『集合と位相I』 問題1.9(1)(pp.22-23)：証明なし]　　

【一覧】

　→「集合A,Bは互いに素」同値条件一覧