定義:《実数の集合》の外点 exterior point


ビギナー向け「外点」定義 

厳密な「外点」定義

  → 距離のみを用いた表現
  → 開区間を用いた表現
  → 近傍を用いた表現
  → 内点を用いた表現 

 【一般化】
  → R2における外点 / Rnにおける外点  
  → 距離空間一般における外点 


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【ビギナー向け】 きわめて感覚的な「外点」定義

・「実数aが『《実数の集合E》の外点である」とは、

   【条件1】 実数a自体が「Eに属さない実数」であって、
   なおかつ 
   【条件2】 実数aの両隣(直前・直後)も、「Eに属さない実数」である 
       (実数aは、「Eに属さない実数」に両隣から挟まれている)
 ということ。

外点感覚が馴染んだところで、
 下記《厳密な外点定義》への即時アップグレード推奨。
 この定義には、決定的な不備があるので[→下欄]。





【一般化】
 R2における外点 / Rnにおける外点 / 距離空間一般における外点
【性質】
 ・「Eの外点」は全て、E補集合(RE)に属す。 extE Ec  [松坂『解析入門3』12.1-C(p.52)] 
 ・内点・外点・境界点の関係 


 ・触点と内点・外点・境界点との関係 
 ・内点・外点・境界点と集積点との関係









【上記の「外点」定義の 曖昧さ】

 ・自然数や整数のなかで考えるときは、自然数nの「直前」「直後」「両隣」は、ハッキリしている。
  たとえば、「3の直前」は2、「3の直後」は4、したがって、「3の両隣」は2と4、というように。

 ・ところが、実数の範囲に広げて考 えると、実数aの「直 前」「直後」「両隣」は、何を指すのか、不明確になってしまう。 
  たとえば、πの「直前」「直後」「両隣」とは、何を指すのだろう? 
     ・3は、πの「前」にはあるけれど、
         3よりは、3.1のほうが、πの「直前」には相応しい。
     ・しかし、3.1よりは、3.14のほうが、πの「直前」には相応しい。
     ・しかし、3.14よりは、3.145のほうが、πの「直前」には相応しい。
     ・しかし、3.145よりは、3.1459のほうが、πの「直前」には相応しい。
     :
     :
  こんな具合で、
  実数aの「直前」 「直後」「両隣」は、確かにあるはずなのだけども、
  これだと思って捕まえようとした途端、もっと、実数aに近い「直前」「直 後」「両隣」が必ず現れてくるので、
  どこまでいっても、どの実数実数aの「直前」「直後」 「両隣」なのか、明示できなくなってしまうのだ。
  どの実数実数aの「直前」「直後」 「両隣」なのか、明示できないということは、
   実数aの両隣 (直前・直後)が、「Eに属 さない実数」なのかどうか も、明示できない。
  だから、上記の定義に照らし合わせて、
  「実数aが『E外 点である」がどうか判定しようとしても、
  その結果を明示することは出来ないということになる。

 ・こうした事態は、《切れ目がない》という実数の性質に起因する。
  実数には《切れ目がない》から、実数aの 「直前」「直後」「両隣」にあたる実数は? という発想が不適切になるのだ。
  ならば、
  実数aの「直前」 「直後」「両隣」ではなく、
  実数aの前後をカ バーする《切れ目がない》ゾーンに着目すれば、
  もっと明確に「実数aが 『E外点である」ということを定義できるのではないか。
  この発想で組み立てられたのが、下段の厳密な「外点」定義になる。








厳密的な「外点」定義 〜 アイデアだけ 

実数aが『《実数の集合E》の外点である」とは、

  実数aの前方から後方にかけて、
  「Eに属さない実数」に満たされた《切れ目のないゾーン》が、
  カバーしている

ということ。

 *高木『解析概論』第1章12(p.29)では、
  「Sに属しないPに十分近い点が、一つもSに属しないとき、PS外点であるという」
  と定義。

 *松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)では、
  「a点集合E外点である」を、
  aに十分近いところの点が、(a自身も含めて)すべてEに属していないこと
  と定義。

操作化された厳密な「外点」定義

・上記アイデアの《実数aの前方》《実数aの後方》《切れ目のないゾーン》を、
 操作化したのが、下記外点定義。

 ・距離のみを用いて、《実数aの前方》《実数aの後方》《切れ目のないゾーン》を操作化
  → 距離を用いた外点定義   

 ・開区間 を用いて、《実数aの前方》《実数aの後方》《切れ目のないゾーン》を操作化
  → 開区間を用いた外点定義  

 ・近傍概念を用いて、《実数aの前方》《実数aの後方》《切れ目のないゾーン》を操作化
  → 近傍を用いた外点定義  

内点の概念を用いて、外点の定義を簡潔に表現することもできる。[→内点を用いた表現] 




【一般化】
 R2における外点 / Rnにおける外点 / 距離空間一般における外点

【性質】
 ・「Eの外点」は全て、E補集合(RE)に属す。 extE Ec  [松坂『解析入門3』12.1-C(p.52)] 
 ・内点・外点・境界点の関係 
 ・触点と内点・外点・境界点との関係 
 ・内点・外点・境界点と集積点との関係 

【文献】
 ・高木『解析概論』第1章12(p.29):特にRの例をあげず、一般的に。
 ・吹田・新保『理工系の微分積分学』6-§1(pp.154-155):Pのある近傍でEと共有点をもたないものがとれるとき、PはEの外点であるという。
 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)
 ・松坂『解析入門3』12.1-C集合の内部・外部・境界・閉包(p.52):
 ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(ii)(p.59):距離空間一般において。∃ε>0 Uε(a)Ac 
 ・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101) :Rnにおいて。Aの外点とは、Aの補集合の内点。
 ・能代『極限論と集合論7章3(p.131):Rn
 ・黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271):
 ・笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2
 ・杉浦『解析入門I』言及見当たらず。


 ・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(pp.262-3)Rn上



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操作化された「外点」定義 : 距離を用いた表現

・「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

  《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
 
   「点集合Eに属さない実数」で埋め尽くした《aからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる
      すなわち、点集合Eとは交わらないaからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる   
 ということ。  

論理記号で表すと、

 【距離のみを用いた外点定義】


  「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

  (1-0) ε>0 xR ( |x-a| xの元ではないE )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、aからの距離ε以内に位置するならば、Eに属さない 」
      を成立させることができる。

  ないし

  (1-1) ε>0 x{ x'R | |x'-a|}  (  xの元ではないE )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「Eに属さない実数」で埋め尽くした《aからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる   

  ないし

  (1-2) ε>0 xR ( x{ x'R | |x'-a|} xの元ではないE )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、《aからの距離ε以内のゾーン》に属すならば、Eに属さない 」
      を成立させることができる。

  ないし

  (1-3) ε>0 { xR | |x-a|} E =φ

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Eとは交わらないaからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる  

  ということ。

 【補集合と距離を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (2-0) ε>0 xR ( |x-a| xEc )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、aからの距離ε以内に位置するならば、 Ec に属す。」
      を成立させることができる。

 ないし

 (2-1) ε>0 x{ x'R | |x'-a|}  ( xEc )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「 Ec に属す実数」で埋め尽くした《aからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる 

 ないし

 (2-2) ε>0 xR ( x{ x'R | |x'-a|} xEc )

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、《aからの距離ε以内のゾーン》に属すならば、Ec に属す。」
      を成立させることができる。

 ないし

 (2-3) ε>0 { xR | |x-a|} Ec

      《aからの距離ε》を、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Ec にすっぽり含まれる《aからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる  

 ということ。

 【差集合と距離を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (3-0) ε>0 xR ( |x-a| x RE  )
 ないし
 (3-1) ε>0 x{ x'R | |x'-a|}  (x RE
 ないし
 (3-2) ε>0 xR ( x{ x'R | |x'-a|} x RE
 ないし
 (3-3) ε>0 { xR | |x-a|} RE
 
 ということ。

※Eの内包をPとすると、
 (4-0) ε>0 xR ( |x-a| ¬P(x) )

【文献】

 ・目下、見当たらず。
 ・上記(1-1)(1-2)(1-3)(2-1)(2-2)(2-3)(3-1)(3-2)(3-3)は、「外点の定義−近傍表現」を、Uε(a)(a−ε, a+ε){ xR | |x-a|}をつかって、書き換えただけ。  
 ・上記(1-0)(2-0)(3-0)は、 、命題関数P(x)の集合表現∈を表す述語・命題関数をつかって、(1-2)(2-2)(3-2)を書き換えただけ。




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操作化された「外点」定義 : 開区間を用いた表現


・「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

  開区間 (a−ε, a+ε) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
 
   「点集合Eに属さない実数」で埋め尽くした開区間 (a−ε, a+ε)を最低一個はつくれる
      すなわち、点集合Eとは交わらない(互いに素となる)開区間 (a−ε, a+ε)を最低一個はつくれる   

 ということ。  


論理記号で表すと、

 【開区間のみを用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (1-1) ε>0 x(a−ε, a+ε) xの元ではないE )

       (a−ε, a+ε)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「Eに属さない実数」で埋め尽くした (a−ε, a+ε) を最低一個はつくれる  

 ないし

 (1-2) ε>0 xR ( x (a−ε, a+ε) xの元ではないE )

      (a−ε, a+ε)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、(a−ε, a+ε)属すならば、Eに属さない 」
      を成立させることができる。

 ないし

 (1-3) ε>0 (a−ε, a+ε) E =φ

      (a−ε, a+ε)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Eとは交わらない (a−ε, a+ε) を最低一個はつくれる  

 ということ。

【補集合と開区間を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (2-1) ε>0 x(a−ε, a+ε)  xEc 

      (a−ε, a+ε) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「 Ec に属す実数」で埋め尽くした (a−ε, a+ε) を最低一個はつくれる 

 ないし

 (2-2) ε>0 xR ( x(a−ε, a+ε) xEc )

      (a−ε, a+ε) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、(a−ε, a+ε)属すならば、Ec に属す。」
      を成立させることができる。

 ないし

 (2-3) ε>0 (a−ε, a+ε) Ec

      (a−ε, a+ε) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Ec にすっぽり含まれる《aからの距離ε以内のゾーン》を最低一個はつくれる  

 ということ。

【差集合と距離を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (3-1) ε>0 x(a−ε, a+ε) x RE 
 ないし
 (3-2) ε>0 xR ( x (a−ε, a+ε) x RE
 ないし
 (3-3) ε>0 (a−ε, a+ε) RE
 
 ということ。


【文献】

 目下、見当たらず。
 上記は、「外点の定義−近傍表現」を、Uε(a)(a−ε, a+ε)をつかって、書き換えただけ。  



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操作化された「外点」定義 : 近傍を用いた表現

 
・「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 実数aの適当な近傍が、「点集合Eに属さない実数」ばかりからなるということ、

 つまり、

 「点集合Eに属さない実数」のみが属す実数a近傍」をつくれるということ。

  ※教科書にでている定義の引用(記号等一部調整)
   ・能代『極限論と集合論7章3(p.131)
    「a点集合E外点である」とは、aの適当な近傍を選んで、そのなかにEの点が一つも存在しないようにできるということ。」
   ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)
    「a点集合E外点である」とは、aに十分近いところの点が、(a自身も含めて)すべてEに属していないということ。
   ・吹田・新保『理工系の微分積分学』6-§1(pp.154-155)
    「aのある近傍でEと共有点をもたないものがとれるとき、aE外点であるという。」
・操作的に言うと、

  「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

   aのε近傍 Uε(a)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
 
    「点集合Eに属さない実数」のみで埋め尽くした「aのε近傍 Uε(a)」を最低一個はつくれる
     つまり、「点集合Eに属す実数」が一つも属さないaのε近傍 Uε(a)」を最低一個はつくれる
       すなわち、点集合Eとは交わらない(互いに素な)「aのε近傍 Uε(a)」を最低一個はつくれる   

  ということ。

    R上の点集合の外点ではない点の例
    R上の点集合の外点の図例
    R上の点集合の外点ではない点の例

論理記号で表すと、

 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (1-1) ε>0 xUε(a) xの元ではないE 

      Uε(a)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「Eに属さない実数」で埋め尽くした Uε(a)を最低一個はつくれる  

 ないし

 (1-2) ε>0 xR ( xUε(a) xの元ではないE )

      Uε(a) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、Uε(a)属すならば、Eに属さない 」
      を成立させることができる。

 ないし

 (1-3) ε>0  Uε(a)E=φ   「ある」Uε(a)に対して、Uε(a)と E は、互いに素

        Uε(a)の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Eとは交わらない Uε(a) を最低一個はつくれる
            [吹田・新保『理工系の微分積分学p.155;松坂;『解析入門3』12.1-C(p.52);
             黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271):Rn一般 ;笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2]
 ということ。   

【補集合と近傍を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (2-1) ε>0 xUε(a)  xEc 

      Uε(a) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           「 Ec に属す実数」で埋め尽くした Uε(a) を最低一個はつくれる 

 ないし

 (2-2) ε>0 xR ( xUε(a) xEc )

      Uε(a) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
       条件「あらゆる実数は、Uε(a)属すならば、Ec に属す。」
      を成立させることができる。
 ないし

 (2-3) ε>0 Uε(a) Ec  

       Uε(a) の幅εを、Eに応じた《ちょうどよい》値に設定することによって、 
           Ec にすっぽり含まれるUε(a)を最低一個はつくれる 

           [de la Fuente;松坂;『解析入門3』12.1-C(p.52);黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271):Rn一般;
            笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2 ]
 ということ。

【差集合と距離を用いた外点定義】


 「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

 (3-1) ε>0 xUε(a) x RE 
 ないし
 (3-2) ε>0 xR ( xUε(a)  x RE
 ないし
 (3-3) ε>0 Uε(a) RE  [奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(p.263)Rn上]
 
 ということ。

(1-3)(2-3)(2-1)(2-2) (1-2)(1-1)は、「交わらない」「互いに素」の定義の同値条件から。
(2-1)(2-2)(2-3)(3-1)(3-2)(3-3)は、 Ecが「Ec 普遍集合 E 」が定義されること、ここでは、普遍集合Rに設定していることから。

【文献】

 ・高木『解析概論』第1章12(p.29):特にRの例をあげず、一般的に。
 ・吹田・新保『理工系の微分積分学』6-§1(pp.154-155)
 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)
 ・松坂『解析入門3』12.1-C集合の内部・外部・境界・閉包(p.52):
 ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(ii)(p.59):距離空間一般において。∃ε>0 Uε(a)Ac 
 ・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101) :Rnにおいて。Aの外点とは、Aの補集合の内点。
 ・能代『極限論と集合論7章3(p.131):Rn
 ・黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271):
 ・笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2
 ・杉浦『解析入門I』言及見当たらず。
 ・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(pp.262-3)Rn上


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操作化された「外点」定義 : 内点を用いた表現 


・「実数aが『R部分集合E外点である」とは、

    実数aが「点集合Eの(Rに対する)補集合EcRE内点になっているということ。 

・「外点の定義−近傍表現(2-3)(3-3)を、内点の概念を用いて、言い換えたもの。

  →「外点の定義−近傍表現(2-3): 「a点集合Eの外点」とは、「 ε>0 Uε(a) Ec 」  
  →近傍を用いた内点定義:「aは「点集合E'内点」とは、「 ε>0 Uε(a)E'

【文献】

 ・高木『解析概論』第1章12(p.29)
 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)
 ・『解析入門3』12.1-C(p.52)
 ・能代『極限論と集合論7章3(p.131)
 ・一楽:定義3.3.3(pp.100-101)



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reference


 ・高木『解析概論』第1章12(p.29):特にRの例をあげず、一般的に。
 ・吹田・新保『理工系の微分積分学』6-§1(pp.154-155)
 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.141)
 ・松坂『解析入門3』12.1-C集合の内部・外部・境界・閉包(p.52):
 ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(ii)(p.59):距離空間一般において。∃ε>0 Uε(a)Ac 
 ・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101) :Rnにおいて。Aの外点とは、Aの補集合の内点。
 ・能代『極限論と集合論7章3(p.131):Rn
 ・黒田『微分積分』8.1.4-(ii)(p.271):
 ・笠原『微分積分学』1.3(p.18):R2
 ・杉浦『解析入門I』言及見当たらず。
 ・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(pp.262-3)Rn上