「集合Aは、集合Bと交わる が、集合Bの部分集合ではない」「集合Bは、集合Aと交わる が、集合Aを含まない」

「集合Aは集合Bと交わるが、Bの部分集合ではない」「集合Bは、集合Aと交わる が、集合Aを含まない」の同値条件一覧

【表現1】	・「A∩B ≠ φ かつ AB」	集合Aは、集合Bと交わっているけれど、Bの部分集合でない。
	ないし
	・「B∩A ≠ φ」かつ「BA」	集合Bは、集合Aと交わるが、Aを含むわけではない。
【表現1'】	・ 「¬（A∩B ＝ φ　または　A⊂B）」	集合Aは、集合Bと互いに素になったり、集合Bの部分集合になったり、しない。
	ないし
	・「¬（B∩A ＝ φ　または　B⊃A）」	集合Bは、集合Aと互いに素になったり、集合Aを部分集合として吸収したり、しない。
【表現2】	・「AB」かつ「 ABc 」	集合Aは、Bの部分集合でも、《Bの補集合》の部分集合でもない。
	ないし
	・「BA」かつ「BAc 」	集合Bは、集合Aを部分集合として含まないし、《Aの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。
【表現2'】	・「 ¬ （ A⊂B または  A⊂Bc ） 」
	ないし
	・「 ¬ （ B⊃A または B⊂Ac ） 」
【表現3】	「∃ω∈A ω∈B」かつ「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」	集合Aには《集合Bに属す元》が存在するが、「すべての《集合Aに属す元》が、集合Bに属す」のではない。
【表現4】	「A∩B ≠ φ」かつ「A∩Bc ≠ φ」	集合Aは、《集合B》《集合Bの補集合》の両方と交わる。
【表現5】	「∃ω∈A　ω∈B」かつ「∃ω∈A (ω B )」	集合Aには、《集合B》に属す「集合Aの元」も、《集合B》に属さない「集合Aの元」も存在する。
【表現5'】	「∃ω∈A　ω∈B」かつ「∃ω∈A (ω∈Bc)」	集合Aには、《集合B》に属す「集合Aの元」も、《集合Bの補集合》に属す「集合Aの元」も存在する。
【表現6】	「B≠φ かつ AB かつ A⊃B 」 または  「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」

	どうして、 【表現1】と【表現1'】 を言い換えてもいいの？ 【表現1】　「A∩B ≠ φ」かつ「AB」	⇔ 　【どうして？】	【表現1’’】　「¬ A∩B ＝ φ」 かつ 「 ¬ A⊂B  」	⇔ 　　【どうして？】	【表現1’】　 「¬（A∩B ＝ φ　または　A⊂B）」
		「A∩B ≠ φ」の定義、 「AB」の定義にしたがって。		《かつ》《または》と否定の性質にしたがって。

	どうして、 　　　　　　【表現1】〜【表現5】を 　　　　　　言い換えてもいいの？		【表現３】　「∃ω∈A ω∈B」かつ「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」 　　　　　集合Aには《集合Bに属す元》が存在するが、 　　　　　「すべての《集合Aに属す元》が、集合Bに属す」のではない。 　　【例】　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「¬ ∀ω∈原子力村 ( ω∈東大 )」　 　　　　　　原子力村に《東大所属者》がいるのは確かだが、 　　　　　　「原子力村に属す者の全員が《東大所属者》」ということはない。
			【どうして？】　交わるの同義表現(3-1') : 「A∩B ≠ φ」⇔「∃ω∈A ω∈B」  、「AB」「BA」の同値表現1l：「AB」「BA」⇔「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」
	【表現4】　「A∩B ≠ φ」かつ「A∩Bc ≠ φ」 　 　　　　　　集合Aは、《集合B》《集合Bの補集合》の両方と交わる。 　　【例】　「原子力村∩東大≠ φ」かつ「原子力村∩東大c  ≠ φ」 　　　　　　原子力村は、東大だけでなく《東大の補集合》 とも交わっている。	⇔ 【どうして？】	【表現1】 　・「A∩B ≠ φ かつ AB」　集合Aは、集合Bと交わっているけれど、Bの部分集合でない。 　ないし 　・「B∩A ≠ φ かつ BA」　集合Bは、集合Aと交わるが、Aを含むわけではない。 【例】 　・「原子力村∩東大 ≠ φ」かつ「原子力村東大」 　　　　　原子力村は、東大と交わっておるが、東大の部分集合ではない。 　ないし 　・「東大∩原子力村 ≠ φ」かつ「東大原子力村」 　　　　　東大は、確かに原子力村と交わってるけど、原子力村を部分集合として含んではない。	⇔ 【どうして？】	【表現２】 　(1)「AB」かつ「 ABc 」　　　集合Aは、Bの部分集合でも、《Bの補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　(2)「BA」かつ「BAc 」　　　　集合Bは、集合Aを部分集合として含まないし、《Aの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 【例】 　・「原子力村東大」かつ「 原子力村東大c 」　原子力村は、東大の部分集合でも、《東大の補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　・「東大原子力村」かつ「東大原子力村c 」　　東大は、原子力村を部分集合として吸収したのでも、《原子力村の補集合》に部分集合として吸収されたのでもない。	⇔ 【どうして？】	【表現２''】 　(1)「 ¬ A⊂B 」かつ「 ¬ A⊂Bc 」　　　集合Aは、Bの部分集合でも、《Bの補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　(2)「 ¬B⊃A」かつ「 ¬ B⊂Ac 」　　　　集合Bは、集合Aを部分集合として含まないし、《Aの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 【例】 　・「 ¬原子力村⊂東大 」かつ「 ¬原子力村⊂東大c 」　原子力村は、東大の部分集合でも、《東大の補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　・「 ¬東大⊃原子力村 」かつ「 ¬東大⊂原子力村c 」　　東大は、原子力村を部分集合として吸収したのでも、《原子力村の補集合》に部分集合として吸収されたのでもない。	⇔ 【どうして？】	【表現２'】 　(1)　¬ （ A⊂B または  A⊂Bc ）　　　集合Aは、Bの部分集合でも、《Bの補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　(2)　¬ （ B⊃A または B⊂Ac ）　　　　集合Bは、集合Aを部分集合として含まないし、《Aの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 【例】 　(1)　¬ （ 原子力村⊂東大 または　原子力村⊂東大c ）　原子力村は、東大の部分集合でも、《東大の補集合》の部分集合でもない。 　ないし 　(2)　¬ （ 東大⊃原子力村 または 東大⊂原子力村c ）　　東大は、原子力村を部分集合として吸収したのでも、《原子力村の補集合》に部分集合として吸収されたのでもない。
	「AB」「BA」の同値表現4：「AB」「BA」⇔「A∩Bc ≠ φ」
交わるの同義表現(3-1') : 「A∩B ≠ φ」⇔「∃ω∈A ω∈B」、「AB」の同値表現5：			「AB」⇔「∃ω∈A ωB」から。　【どうして？】	交わるの同値表現(8)(8')：「A∩B ≠ φ」⇔「　ABc　」「　Ac B　」		「」「」の定義にしたがって。		《かつ》《または》と否定の性質にしたがって。
			【表現５】　　「∃ω∈A　ω∈B」かつ「∃ω∈A (ω B )」 　　　　　　　Bに属す「Aの元」も、Bに属さない「Aの元」も存在する。 　　【例】　　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「∃ω∈原子力村 ( ω 東大 )」 　　　　　　　　原子力村には、《東大所属者》《東大非所属者》の両方いる。
			【どうして？】　　　「補集合に属す」の 同値条件にしたがっ て、ωBとω∈Bc とを、互いに言い換えてよいから、
			【表現5'】　　「∃ω∈A　ω∈B」かつ「∃ω∈A (ω∈Bc)」 　　　　　　　Bに属す「Aの元」も、《Bの補集合》に属す「Aの元」も存在する。 　　【例】　　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「∃ω∈東大 ( ω∈原子力村c  )」 　　　　　　　　原子力村には、《東大所属者》《東大の補集合所属者》の両方いる。

	どうして、 【表現1】のとき 【表現6】と言ってもいいの？ 【表現1】　「A∩B ≠ φ」かつ「AB」	⇔ 　【どうして？】	【表現6-3】　「A∩B ＝ φ かつ AB  かつ 『A⊃BまたはAB』」	⇔ 　　【どうして？】	【表現6-2】　(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊃B」　または　 　　　　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 　　【どうして？】	【表現6-1】　(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊃B かつ B≠φ」　または　 　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 　　【どうして？】	【表現6】　(a)「B≠φ かつ AB かつ A⊃B 」　または　 　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」
		・排中律より、 　　『A⊃BまたはAB』は、恒真命題であること、 ・「Pかつ恒真命題」と「P」とは互いに言い換えてよいこと から。		《かつ》《または》の分配律にしたがって。		・「A⊃B」⇔「A∩B＝B」だから、 　「A∩B ≠ φ かつ A⊃B」⇔「A∩B ≠ φ かつ A∩B＝B」⇔「A∩B＝B≠φ」 ・だから、「『かつ』の導入則」にしたがって、【表現6-2】(a)が成立するとき、【表現6-1】(a)を導いてよい。		「かつ」の除去則に従って、 【表現6-1】(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊃B かつ B≠φ」から 【表現6】　(a)「B≠φ かつ AB かつ A⊃B 」　を導いてよいから。

	どうして、 【表現6】から【表現1】に 言い換えてもいいの？
	【表現6a】　「B≠φ かつ AB かつ A⊃B 」	【どうして？】 ⇒	「A⊃B」⇔「A∩B＝B」だから、 　「 B≠φ かつ A⊃B 」ならば、「A∩B＝B≠φ」 【表現1】 　「A∩B ≠ φ」 　　かつ 　「AB」 　集合Aは、 　　集合Bと交わってるけれど、 　　集合Bの部分集合にはなってない。 「かつ」の除去則
	【表現6b】「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 【どうして？】
	一般に、 「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」は、「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」 に言い換えてよいから(→含意の言換3)、 上記は下記に言い換えてよい。
	【表現6】　「B≠φ かつ AB かつ A⊃B 」　 　　　　　 　　　　　または　 　　　　　「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒	【表現1】 　「A∩B ≠ φ」 　　かつ 　「AB」 　集合Aは、 　　集合Bと交わっているけれど、 　　集合Bの部分集合にはなってない。