→ビギナー向け「境界点」定義 →厳密な「境界点」定義: → 距離のみを用いた表現 → 開区間を用いた表現 → 近傍を用いた表現 → 内点・外点を用いた表現 → 内点・補集合を用いた表現 【一般化】 → R2における境界点/Rnにおける境界点 → 距離空間一般における境界点 →実数−《実数の集合》間の位置関係一覧 →[トピック一覧:距離空間(R,d)] →総目次 |
【一般化】 距離空間一般における境界点/R2における境界点/Rnにおける境界点 【活用例】 境界の定義/閉包の定義 【 性質】 内点・外点・境界点の関係/触点と内点・外点・境界点との関係/内点・外点・境界点と集積点との関係 |
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※ 松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.142)「aにどれほど近いところにも必ずEの点もEに属さない点も存在すること」(記号のみ調整)] |
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【上記の「境界点」定義の曖昧さ】 ・自然数や整数のなかで考えるときは、自然数nの「直前」「直後」「隣」は、ハッキリしている。 たとえば、「3の直前」は2、「3の直後」は4、したがって、「3の隣」は2と4、というように。 ・ところが、実数の範囲に広げて考えると、実数aの「直前」「直後」「隣」は、何を指すのか、不明確になってしまう。 たとえば、πの「直前」「直後」「隣」とは、何を指すのだろう? ・3は、πの「前」にはあるけれど、 3よりは、3.1のほうが、πの「直前」には相応しい。 ・しかし、3.1よりは、3.14のほうが、πの「直前」には相応しい。 ・しかし、3.14よりは、3.145のほうが、πの「直前」には相応しい。 ・しかし、3.145よりは、3.1459のほうが、πの「直前」には相応しい。 : : こんな具合で、 実数aの「直前」「直後」「隣」は、確かにあるはずなのだけども、 これだと思って捕まえようとした途端、もっと、実数aに近い「直前」「直後」「隣」が必ず現れてくるので、 どこまでいっても、どの実数が実数aの「直前」「直後」「隣」なのか、明示できなくなってしまうのだ。 どの実数が実数aの「直前」「直後」「隣」なのか、明示できないということは、 実数aの直前・直後が、《Eに属す実数》なのか《Eに属さない実数》なのかも、明示できない。 だから、上記の定義に照らし合わせて、 「実数aが『Eの境界点』である」がどうか判定しようにも、 その結果を明示することは、そもそも出来ない相談だということになる。 ・こうした事態は、《切れ目がない》という実数の性質に起因する。 実数には《切れ目がない》から、実数aの「直前」「直後」にあたる実数は?という発想が不適切になるのだ。 ならば、 実数aの「直前」「直後」ではなく、 実数aの前後をカバーする《切れ目がない》ゾーンに着目すれば、 もっと明確に「実数aが『Eの境界点』である」ということを定義できるのではないか。 この発想で組み立てられたのが、下段の厳密な境界点定義になる。 |
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能代『極限論と集合論』7章3(p.131)は、 |
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【一般化】 距離空間一般における境界点/R2における境界点/Rnにおける境界点 【活用例】 境界の定義/閉包の定義 【性質】 内点・外点・境界点の関係/触点と内点・外点・境界点との関係/内点・外点・境界点と集積点との関係 【文献】 *小平『解析入門I』§1.6-b(p.56):R2 *松坂『解析入門3』12.1-C集合の内部・外部・境界・閉包(p.52): *de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(iii)(p.59):距離空間一般において。 *能代『極限論と集合論』7章3(p.131):Rn「のいかなる近傍にも、《Eに属す点》と《Eに属さない点》とが同時にはいってくる」 *黒田『微分積分』8.1.4(8.1.7)(p.272)内点でも外点でもない ・吹田・新保『理工系の微分積分学』』6-§1(pp.154-155):R2 [近傍概念を用いた定義]・Pのすべての近傍が、Eの点もEに属さない点も含む。 [近傍概念を用いた定義]・Pの任意の近傍U(P)に対して、U(P)∩E≠φ かつ U(P)∩Ec≠φ [内点・外点の概念を用いた定義]・Eの内点でも外点でもない点。 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.142) 「Rnの点でMの内点でも外点でもない点をMの境界点とよび、Mの境界点全部の集合Rn−(Mi∪Me)をMの境界という。本書ではそれをMfで表す。定義から明らかに、aがMfの点であることは、aにどれほど近いところにも必ずMの点もMに属さない点も存在すること、もっと正確に言えば、どのような正数εをとっても、B(a;ε)∩M≠φ,B(a;ε)∩Mc≠φが成り立つことを意味する。」 [直感的な定義] aにどれほど近いところにも必ずMの点もMに属さない点も存在すること [近傍概念を用いた定義]どのような正数εをとっても、Uε(a)∩E≠φ かつ Uε(a)∩Ec≠φ [内点・外点の概念を用いた定義]・Eの内点でも外点でもない点。 ・笠原『微分積分学』1.3(p.18;19):R2 [内点・外点の概念を用いた定義]「点aがAの内点でも外点でもないとき、aはAの境界点であるという。」 [近傍概念を用いた定義] 「境界点とは、どんなε>0をとっても、Uε(a)∩A≠φ かつ Uε(a)∩Ac≠φとなるような点である」 ・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises2(p.131) [近傍概念を用いた定義]"a boundary point of S is a point v∈E such that every open set U which contains v also contains an element of S and an element of E which is not in S" ・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101) : [内点・外点の概念を用いた定義]Rnにおいて。Aの境界点とは、Aの内点でも、Aの補集合の内点でもない点のこと。 ・杉浦『解析入門I』U章§8定義3(p.150):Rn [近傍概念を用いた定義] 「すべてのε>0に対し、Uε(a)∩D≠φ かつ Uε(a)∩Dc≠φとなる点である」 ・加藤『微分積分学原論』定義15.6開集合DのDに属さない集積点の全体を∂Dと書き、Dの境界という。(p.191);定義19.1(p.238):Rn;「Kの閉包−Kの内部」を、Kの境界という。 |
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・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(pp.262-3)Rn上 [近傍概念を用いた定義] 「どんな数ε>0をとっても、Uε(a)∩A≠φ かつ Uε(a)∩(R-A)≠φとなるならば、集合Aの境界点boundary pointである」 |
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