ユークリッド空間Rn上の対称変換

・定義：対称変換　
・性質：対称変換の行列表示

※計量ベクトル空間上で定義される〈一次写像の下位類型〉： ユークリッド空間Rn上の直交変換/計量実ベクトル空間上の対称変換/計量実ベクトル空間上の随伴写像/計量同型写像
※線形代数目次・総目次

定義：ユークリッド空間Rn上の対称変換　symmetric transformation


定義


・「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が対称変換である」とは、
　n次元ユークリッド空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトル v1, v2にたいして、
　　　f (v1 )・v2 = v1 ・ f (v2 )　　
　が満たされること
　　（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　f (v1 )・v2 = v1 ・ f (v2 )　）　
　をいう。
　
・随伴写像という用語を用いると…
　「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f :Rn→Rn』が対称変換である」とは、
　　「『f : Rn→Rn』の随伴写像」が「f : Rn→Rn」自身であること
　をいう。
　

[文献]
・斎藤『線形代数入門』5章§3(p.149)
・永田『理系のための線形代数の基礎』4.5問3(pp.123-4)

設定

なお、この定義がなされる舞台は、以下のように設定されている。
R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn　　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　

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定理：ユークリッド空間Rn上の対称変換の行列表現　


定理


1.
次の二つの命題は同値。
命題P：「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換
命題Q：「標準基底に関する線型変換fの表現行列は、実対称行列」

2. 次の二つの命題は同値。
命題P：「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換
命題R：「任意の「Rnの正規直交基底」に関する線形変換fの行列表示は、実対称行列」


・「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換であるならば、
　標準基底に関する線型変換fの表現行列は、
　実対称行列となる。　　
・「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」の標準基底に関する表現行列が、
　実対称行列ならば、
　「f : Rn→Rn」は対称変換である。　　

2.
・「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換であるならば、
　任意の「Rnの正規直交基底」に関する線形変換fの行列表示は、
　実対称行列となる。　　
・「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が
　ある「Rnの正規直交基底」に関して実対称行列で表現されるならば、
　「f : Rn→Rn」は対称変換である。
　　

[文献]
・斎藤『線形代数入門』5章§3(p.149)証明なし・結論だけ。
・永田『理系のための線形代数の基礎』4.5問3(pp.123-4)

※対称行列について：
　対称行列の定義/対称行列の固有値/対称行列の対角化/　　

設定

なお、この定理は、以下の舞台設定上で得られる。
R ：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2：実n次元数ベクトルの縦ベクトル
　　　具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=t( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=t( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn　　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　

証明

1.
[参照文献なし。自力。]
　命題P「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』が対称変換」
　⇔（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　f (v1 )・v2 = v1 ・ f (v2 )　）　∵対称変換の定義　　
　⇔　線形変換『f : Rn→Rn』の標準基底に関する表現行列をAで表すと、
　　　（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　(Av1 )・v2 = v1 ・ (Av2 )　）　　∵一次変換の標準基底に関する行列表示　
　⇔　（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　t (Av1 ) v2 = t v1 (Av2 )　）　　∵行列積を用いた自然な内積の表現　　
　⇔　（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　t v1 tA v2　= t v1 (Av2 )　）　　∵行列積と転置行列　　
　⇔　（∀v1∈Rn）（∀v2∈Rn）（　t v1 tA v2　= t v1 A v2　）　　∵行列積の結合則　　
　⇔　　 tA= A　　　　　
　⇔命題Q「標準基底に関する線型変換fの表現行列Aは実対称行列」　

証明

2.
[命題P⇒命題R] [参照文献なし。自力。]
(step1)
・{ p1, p2, …, pn }は、任意の「Rnの正規直交基底」を表すものとする。
・「『Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }』から任意の『Rnの正規直交基底{ p1, p2, …, pn }』への基底変換行列」をPとおく。
　つまり、その第1列をp1, その第2列をp2, …, その第n列をpnとする実n次正方行列を、Pとおく。…(1-1)
・基底変換行列の性質から、Pは正則行列になる。
・{ p1, p2, …, pn }は「Rnの正規直交基底」だから、p1, p2, …, pnは「n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系」をなす。
　　したがって、Pの各列は「n次元ユークリッド空間Rnの正規直交系」をなすことになるから、
　　　　　　　　Ｐは直交行列である。
・直交行列の性質により、P−１＝tP　…(1-2)
(step2)
・標準基底に関する線型変換fの表現行列をAとおく。…(2-1)
・任意の「Rnの正規直交基底」{ p1, p2, …, pn }に関する一次変換fの行列表示は
　　P−１AP　　　∵一次変換の行列表示に関する基底変換公式と、(1-1),(2-1)　
　　＝(tP) AP　　　∵(1−2)
(step3)
　命題P「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換」
　　⇒　「 (tP) APは、実対称行列」　
　なぜなら、
　・本定理-1.より、命題P「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換」
　　　　　　　　　　⇒命題Q「標準基底に関する線型変換fの表現行列Aは、実対称行列」　…(3-1)
　・t ((tP) AP) =(tP) ( tA) t (tP) 　∵行列積の転置行列　　
　　　　　　　　= (tP) ( tA) P　　　　　　　∵転置行列の転置行列　　
　　　　　　　　　　= (tP) AP　　　　　　　　　　∵(3-1)より、Aは実対称行列
(step4)
　step3,4より、　　
　命題P「n次元ユークリッド空間Rn上の線形変換『f : Rn→Rn』」が対称変換」
　　⇒命題R「任意の『Rnの正規直交基底』{ p1, p2, …, pn }に関する一次変換fの行列表示(tP) APは、実対称行列」　

[命題R ⇒命題P ] [参照文献なし。自力。]
命題R「任意の『Rnの正規直交基底』に関する一次変換fの行列表示は、実対称行列」
⇒命題Q「標準基底に関する線型変換fの表現行列は、実対称行列」
⇔命題P　　∵本定理-1.より。
よって、命題R⇒命題P　　

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