随伴写像　[数学についてのwebノート]

随伴写像　adjoint mapping

定理：随伴写像を基礎付ける定理
本題	計量実ベクトル空間Vから実数体Rへの一次写像「 g：V→R 」にたいして、　　　　　　「　任意のベクトルx∈Vについて、g ( x )=〈x,a〉　」　　　　　　　　 ( ∀x∈V ) ( g ( x )=〈x,a〉 ) 　　　を満たすベクトルa∈V　が、ただ一つだけ存在する。	[文献] ・砂田『行列と行列式』§5.1(p.158);定理7.26(p.251) ・志賀『固有値問題30講』10講(p.78) ・永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.1(p.121)
設定	なお、この議論は、以下の舞台設定のもと、なされている。 R　　：実数体R　　 V　　：計量実ベクトル空間。〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　「g：V→R 」：計量実ベクトル空間Vから実数体Rへの一次写像　　　　　　　　なお、ここで、「一次写像」と言っているのは、　　　　　　　　実数体Rを実ベクトル空間と見なしてのこと[砂田『行列と行列式』§5.1(p.158)]。


定義：　随伴写像 adjoint mapping、随伴作用素adjoint operator
定義	・一次写像「 f：V→W 」の随伴写像adjoint mapping・随伴作用素adjoint operatorとは、　　任意のベクトルx∈V、任意のベクトルy∈Wについて、　　　　　　「『 fによるxの像』とyとの、Wにおける内積」と、　　　　　　「 xと『 f^によるyの像』との、Vにおける内積」とが一致する　　写像「 f^：W→V 」のことをいう。・論理記号を用いてあらわすと、　一次写像「 f：V→W 」の随伴写像adjoint mapping・随伴作用素adjoint operatorとは、　　（∀x∈V）（∀y∈W）（　（ f (x), y ）＝〈 x, f^* (y) 〉　）　　を満たす写像「 f^*：W→V 」のことをいう。　。	[文献] ・砂田『行列と行列式』§7.2.a(p.251); ・志賀『固有値問題30講』10講(p.78); ・永田『理系のための線形代数の基礎』4.4(pp.121-2)　 ※随伴写像の具体例：対称変換
設定	なお、この定義は、以下の舞台設定のもと、なされている。 R　　：実数体R　　 V　　：計量実ベクトル空間〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　 W　　：計量実ベクトル空間（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像

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定理：　随伴写像の基本性質
本題	1. 一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素「 f^：W→V 」は、一次写像である。　　※証明→永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.2(p.121)　　 2. 一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素「 f^：W→V 」は、一意的に存在する。　　※証明→永田『理系のための線形代数の基礎』(p.121); 　　　　　　砂田『行列と行列式』§7.2.a(p.251-2);　　　　　　　　志賀『固有値問題30講』10講(pp.78-9);	[文献] ・砂田『行列と行列式』§7.2.a(p.251) ・志賀『固有値問題30講』10講(p.78) ・永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.2(p.121)
設定	なお、この議論は、以下の舞台設定のもと、なされている。 R　　：実数体R　　 V　　：計量実ベクトル空間〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　 W　　：計量実ベクトル空間（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　「 f^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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