計量同型写像　〜　数学についてのwebノート

[トピック一覧：計量同型]
・定義：計量同型写像、計量同型　　　　
※計量実ベクトル空間関連ページ：ノルムとノルム空間/内積・計量実ベクトル空間の定義/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/直交補空間　
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定義：計量同型写像
　　　　 isomorphism of metric vector spaces, isomorphism of a metric linear space onto another　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.118);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124);砂田『行列と行列式』§7.1-(d)(p.247):ユニタリ同型写像.]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。　
V'　　：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。　　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　
‖x‖　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxのノルム　　　
f：V→V'：計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間V'への写像　　　

(定義1：同型写像の定義を既知として)　

写像f：V→V'が計量同型写像であるとは、写像f：V→V'が次の２要件を満たすことをいう。　　　
　[要件1]　写像f：V→V'が同型写像であること。　　　　
　[要件2]　写像f：V→V'が内積を保存すること。　　　
　　　　　　すなわち、計量実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルx,yについて、　　　
　　　　　　　　　　　　　　　〈f (x), f (y)〉=〈x,y〉　　　
　　　　　　　　　　　が満たされること。
　　　　　　　　　　　論理記号で書けば、（ ∀x,y∈V ）（〈f (x), f (y)〉=〈x,y〉　）　

(定義2：同型写像の定義に遡って)　

　写像f：V→V'が計量同型写像であるとは、写像f：V→V'が次の要件を満たすことをいう。　　　
　　[要件1-1]　写像f：V→V'が、VからV'への一次写像であること。
　　　　　　　　論理記号で表すと、すなわち、　
　　　　　　　　(1-1-1)　(∀x,y∈V) ( f ( x+y )=f ( x )+f ( x ) )　　
　　　　　　　　(1-1-2)　(∀x∈V) (∀a∈R) ( f (a x )=af ( x ) )　　
　　[要件1-2]　写像f：V→V'が全単射であること。[→一次写像が単射・全射となるための必要十分条件]　
　　　　　　　　論理記号で表すと、すなわち、　
　　　　　　　　(1-2-1) f (V)=V'　　つまり、Imagef=V'　　
　　　　　　　　(1-2-2) 　v,v'∈Vかつf ( v )=f ( v' )　⇒　v =v' 　
　　[要件2]　写像f：V→V'が内積を保存すること。　　　
　　　　　　　すなわち、計量実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルx,yについて、　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　〈f (x), f (y)〉=〈x,y〉　　　
　　　　　　　　　　　　が満たされること。
　　　　　　　論理記号で書けば、
　　　　　　　　(2)（ ∀x,y∈V ）（〈f (x), f (y)〉=〈x,y〉　）　

定義：計量同型isometric,isomorphic as metric verctor spaces,isomorphic as metric linear spaces 　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.118);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124)]
(舞台設定)
V　　：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。　
V'　　：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。　　
(本題)
計量実ベクトル空間VとV'が計量同型であるとは、
VからV'への計量同型写像が存在することを言う。　　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、�Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(d)ユニタリ空間の同型 (pp.247-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。