n変数ベクトル値関数の方向微分可能・方向微分係数・導関数の定義：トピック一覧　　

　・定義：方向微分可能・方向微分係数/方向導関数　
　・定理：方向微分係数の計算公式　　

※関連ページ
　・微分定義－n変数ベクトル値関数：偏微分の定義/微分の定義/ヤコビ行列とヤコビアン　　
　・n変数ベクトル値関数微分の応用：
　・方向微分定義－n変数ベクトル値関数以外： ２変数関数の方向微分/ n変数実数値関数の方向微分
　・n変数ベクトル値関数の諸概念―微分以外： n変数ベクトル値関数の定義と属性/極限/連続/極限の性質　
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定義：n変数ベクトル値関数は点A=(a1, a2, …,an)で方向微分可能・点A=(a1, a2, …,an)における方向微分係数　

定義

[角度で方向を指定する場合の方向微分の定義－ベクトルを使わない表現]

・「 n変数ベクトル値関数(y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)において、
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向　　　
　　に方向微分可能である」
　とは、
　 1変数ベクトル値関数
　　　(y1,y2,…,ym)=φ (t)=f (a1+t cosθ1 , a2+t cosθ2 , …, an+t cosθn)　
　について、
　t =０における右微分係数　
　　　すなわち、
　　　有限な右極限値
　　　　
　　　　
が存在することを言う。

・ n変数ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)において
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向　　　
　　に微分可能であるとき、
　「f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　　の方向微分係数」　
　とは、
　 1変数ベクトル値関数
　　　(y1,y2,…,ym)=φ(t)=f (a1+t cosθ1 , a2+t cosθ2 , …, an+t cosθn)　
　の、
　t =０における右微分係数　
　　　すなわち、
　　　有限な右極限値
　　　　
　　　　
　のことをいう。

[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3定義1 (p.107)：n変数m値ベクトル値関数；
・
※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分


[角度で方向を指定する場合の方向微分の定義－ベクトル表現]

・「 y= f ( x) は 実n次元数ベクトルaにおいて
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　に微分可能」
　とは、
　実n次元数ベクトル e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　にたいして、
　有限な右極限値
　　
　が存在することをいう。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元数ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+he(θ)　は、aとh eとのベクトル和を表す。　

・y= f ( x)は実n次元数ベクトルaにおいて
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　に微分可能であるとき、
　「aにおけるy= f ( x )のe方向微分係数」とは、
　　e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　にたいする有限な右極限値
　　　
　　のことを指す。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元数ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+he　は、aとh eとのベクトル和を表す。　
　　　
・「aにおけるy= f ( x)のe方向微分係数」を、
　e=( cosθ1 , cosθ2 , …, cosθn )　を用いて、
　　　De f (a)
　と表す。　

[文献－数学]
・黒田『微分積分学』8.3.3定義8.10(pp.287) ：n変数実数値関数；.



※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分

　 　 　
　

[単位ベクトルで方向を指定する場合の方向微分の定義]
角度θ1 ,θ2 , …,θnの代わりに、単位ベクトルを用いて方向を指定して、
方向微分を定義することもできる。
・「y= f ( x)は実n次元数ベクトルaにおいてe方向に微分可能」とは、
　　実n次元単位ベクトルe=( e1 , e2 ,…, en )　にたいして、
　　有限な有限な右極限値
　　　
　が存在することをいう。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元単位ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+ h e　は、aとh eとのベクトル和を表す。

・y= f ( x)は実n次元数ベクトルaにおいてe方向に微分可能であるとき、
　「y= f ( x )」とは、
　実n次元単位ベクトルe=( e1 , e2 ,…, en )にたいする有限な右極限値
　　　
　のことを指す。
　　*　hは実数、　
　　　 heは、実n次元単位ベクトルeのスカラー倍、
　　　 a+ h e　は、aとh eとのベクトル和を表す。　

・「aにおけるy= f ( x)のe方向微分係数」を、
　　　De f (a)
　と表す。　

[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3定義1 (p.107)：n変数m値ベクトル値関数；



※方向微分係数の計算公式
※２変数関数の方向微分
　



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定理：n変数ベクトル値関数の方向微分係数の計算公式 － 偏微分係数から計算可能
　 　 　
　

[角度で方向を指定された方向微分係数の場合－ベクトルを使わない表現]

 n変数ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) が点(a1, a2, …,an) において微分可能 ならば、
 n変数ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「 (y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　　の方向微分係数」
は、
　　
となる。


　 　 　

　

[角度で方向を指定された方向微分係数の場合－ベクトルを使う表現]

 n変数ベクトル値関数(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)において微分可能ならば、
 n変数ベクトル値関数(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn )の点(a1, a2, …,an)における
　　　x1軸プラス方向に対して角度θ1方向　
　　　x2軸プラス方向に対して角度θ2方向　
　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　
　　　xn軸プラス方向に対して角度θn方向
　の方向微分係数」
は、
　　《( cosθ1 , cosθ2 ,…, cosθn )の縦ベクトル》の左から、　
　　点(a1, a2, …,an)における(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn )のヤコビ行列　
　　をかけた行列積　
　　　　
　　となる。


[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§6定理6.2-(3) (p.129)


[具体例]
・2変数関数の方向微分の計算公式　

・ｎ変数実数値関数の方向微分の計算公式
　

[単位ベクトルで方向を指定された方向微分係数の場合]

 n変数ベクトル値関数(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) が点(a1, a2, …,an)において微分可能ならば、
 n変数ベクトル値関数(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能で、
「(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn ) の点(a1, a2, …,an)におけるe =( e1 , e2 ,…, en ) 方向微分係数」De f (a1, a2, …,an)は、
　　《eの縦ベクトル》の左から、　
　　点(a1, a2, …,an)における(y1,y2,…,ym) = ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f (x1,x2,…,xn )のヤコビ行列　
　　をかけた行列積　
　　　　
　　となる。
　 　 　

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定理：n変数ベクトル値関数の方向導関数 directional derivative

　 　 　
　


n変数ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) = f (x1,x2,…,xn )が各点でe=( e1 , e2 ,…, en )方向に微分可能であるとき、
点a＝(a1, a2, …,an)においてe 方向微分係数の値は、
点a＝(a1, a2, …,an)のとりかたによって変わってくるから、
点a＝(a1, a2, …,an)の n変数ベクトル値関数。
 n変数ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) = f (x1,x2,…,xn )のe方向の導関数directional derivativeとは、
この点a＝(a1, a2, …,an)に対して、a＝(a1, a2, …,an)におけるe 方向微分係数の値を返す n変数ベクトル値関数
のことをいう。


[文献－数学]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3定義1 (p.107)：n変数m値ベクトル値関数；

※ n変数実数値関数の方向導関数
　 　 　

　

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