二つの2変数関数と一つの2変数関数との合成関数 ：トピック一覧

　連続微分可能な関数の合成関数の連続微分可能性/全微分可能な関数の全微分/連鎖公式Chain Rule 　
　n回連続微分可能な(Cn級)関数の合成関数のn回連続微分可能性/C∞級関数の合成関数もC∞級/Cn級C∞級関数の多項式・有理式の連続微分可能性　
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定理：連続微分可能な関数の合成関数の連続微分可能性

（設定）
　　　D,Eは、それぞれ、平面R2上の領域、
　　　z = f (x,y)は、定義域に領域Dを部分集合として含む2変数関数
　　　g(s,t),h (s,t) は領域Eで定義された2変数関数、
　　　( s,t ) ∈Eならば、つねに( g(s,t), h(s,t) ) ∈Dであるとして、
　　　合成関数z = f ( g(s,t) , h(s,t) )　を考える。
（本題）
　　　このとき、g(s,t) , h(s,t) がs,tについて連続微分可能、f(x,y) が D で x,y について連続微分可能ならば
　　　合成関数 f ( g(s,t) , h(s,t) ) は s,t について連続微分可能。
（証明）
　　　小平『解析入門II』p.280;

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定理：全微分可能な関数の合成関数の全微分　

（設定）

　D,Eは、それぞれ、平面R2上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域に領域Dを部分集合として含む2変数関数
　g(s,t),h (s,t) は領域Eで定義された2変数関数、
　( s,t ) ∈Eならばつねに( g(s,t), h(s,t) ) ∈Dであるとして、
　合成関数z = f ( g(s,t) , h(s,t) )　を考える。

（本題）

　 このとき、g(s,t) , h(s,t) が s,t について全微分可能、f(x,y)がDで全微分可能ならば、
　合成関数 f ( g(s,t) , h(s,t) ) は s,t について全微分可能である。

 （証明）

　　小平『解析入門II』p.281;和達『微分積分』p.122;　　
　　　
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定理：連鎖公式　　

（設定）

　D,Eは、それぞれ、平面R2上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域に領域Dを部分集合として含む2変数関数
　g(s,t),h (s,t) は領域Eで定義された2変数関数、
　( s,t ) ∈Eならばつねに( g(s,t), h(s,t) ) ∈Dであるとして、
　合成関数z = f ( g(s,t) , h(s,t) )　を考える。

（本題）　
　このとき、g(s,t) , h(s,t) が s,t について偏微分可能、f(x,y)がDで全微分可能 ならば
　合成関数 f ( g(s,t) , h(s,t) ) は s,tについて偏微分可能であり、
　以下が成り立つ。
　　　　
　　　　
（証明1〜微分differentialを用いて）
　　[小平『解析入門II』.281;和達『微分積分』122;小林『Mathematicaによる微積分』105-6.]
　　　
（証明2〜1変数関数と2変数関数の合成則から導出）[吹田・新保『理工系の微分積分学』166]

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定理：n回連続微分可能な関数(Cn級関数)の合成関数のn回連続微分可能性　　

（設定）

　D,Eは、それぞれ、平面R2上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域に領域Dを部分集合として含む2変数関数
　g(s,t),h (s,t) は領域Eで定義された2変数関数、
　( s,t ) ∈Eならばつねに( g(s,t), h(s,t) ) ∈Dであるとして、
　合成関数z = f ( g(s,t) , h(s,t) )　を考える。


（本題）

　このとき、g(s,t) , h(s,t) が s,t についてn回連続微分可能、
　f(x,y) が D で x,y について n回連続微分可能ならば　　
　合成関数 f ( g(s,t) , h(s,t) ) は s,t について n回連続微分可能。

（証明）

　[小平『解析入門II』p.282;]　　

　
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定理： C∞級関数の合成関数もC∞級　　

（設定）

　D,Eは、それぞれ、平面R2上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域に領域Dを部分集合として含む2変数関数
　g(s,t),h (s,t) は領域Eで定義された2変数関数、
　( s,t ) ∈Eならばつねに( g(s,t), h(s,t) ) ∈Dであるとして、
　合成関数z = f ( g(s,t) , h(s,t) )　を考える。


（本題）　
 
　このとき、g(s,t) , h(s,t) が s,t についてC∞級関数、
　f(x,y) がDで x,y についてC∞級関数ならば、　
　合成関数 f ( g(s,t) , h(s,t) ) は s,t のC∞級関数。

（証明）

　[小平『解析入門II』p.282;]　→Cn級関数の合成関数の証明から　
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定理： Cn級C∞級関数の多項式・有理式　　

（設定）　

　g(s,t) , h(s,t) は平面R2上の領域Eで定義された2変数関数であるとして、
　その多項式、有理式 g(s,t) / h(s,t) を考える。　

（本題）　

　このとき、
　g(s,t) , h(s,t) が s,t についてCn級関数ならば、
　g(s,t) , h(s,t) の多項式はCn級関数。　
　g(s,t) , h(s,t) の有理式は、その分母が0にならない限り、Cn級関数。
　また、　
　g(s,t) , h(s,t) が s,t についてC∞級関数ならば、
　g(s,t) , h(s,t) の多項式はC∞級関数。　
　g(s,t) , h(s,t) の有理式は、その分母が0にならない限り、C∞級関数。


（証明）

　　[小平『解析入門II』p.284;] 　→Cn級関数の合成関数の証明から　


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（reference）

高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 60.
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年 p.278-282。
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.121-123.126.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.165-168.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.154-159。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.93-96。n変数関数一般。
小林道正『Mathematicaによる微積分』朝倉書店、1995年、pp.106-7.
未チェック
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.235-227.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.118-126. 　ただし、いきなり多次元。