数ベクトル空間における基底
： トピック一覧
・基底の定義/単位ベクトルは基底の一つ/基底の存在
※数ベクトル空間関連ページ：数ベクトル空間の定義、線形結合、一次独立・一次従属、次元
※上位概念：一般のベクトル空間における基底
※具体例：実n次元数ベクトル空間における基底/実2次元数ベクトル空間における基底
定義：数ベクトル空間における基底 basis
【舞台設定】
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
Kn：体K上のn次元数ベクトル空間
+：体K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法
u1, u2, …, ul：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、ui1, ui2, …, uin∈Kとして、ui=( ui1, ui2, …, uin )
したがって、u1, u2, …, ul ∈Kn。
なお、個数lが有限個であることに注意。
v：「Kからつくったn次元数ベクトル」。
具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Kとして、v=( v1, v2, …, vn )
したがって、v ∈Kn。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K
【本題】
「K上のn次元数ベクトル空間Knに属すn次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が、
K上のn次元数ベクトル空間Knの基底basisである」とは、
{ u1, u2, …, ul }が次の2条件を満たすことを言う。
条件P1：u1, u2, …, ulが線形独立となること。
条件P2：u1, u2, …, ulの一次結合として、Knに属す任意のn次元数ベクトルを表せること。
( ∀v ∈Kn ) ( ∃a1, a2, …, al ∈Ｋ) ( v =a1u1+a2u2+…+alul )
なお、この2条件は、次の条件と同値。
条件Q：u1, u2, …, ulの一次結合としてKnに属す任意のn次元数ベクトルを一意的に表せる。
【証明：条件P1;P2⇔命題Q】
・条件P1;P2⇒条件Q
永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(pp.17-8);
・条件Q⇒条件P1;P2
永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(p.18);
【関連】
・K上のn次元数ベクトル空間Knの基底（の定義を満たすKnの部分集合）は、複数セット存在しうる。
・上位概念：一般のベクトル空間の有限集集合が基底であるということ、
・具体例：実n次元数ベクトル空間の基底/実2次元数ベクトル空間の基底
【文献】
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11)
定理：単位ベクトルは基底
【舞台設定】
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
Kn：体K上のn次元数ベクトル空間
【本題】
体K上のn次元数ベクトル空間Knの単位ベクトルは、Knの基底である。
【証明】
・単位ベクトルe1, e2, …, enは線形独立（∵）。
・単位ベクトルe1, e2, …, enの一次結合として、Knに属す任意のn次元数ベクトルを表せる
実際、
任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Knは、v =v1e1+v2e2+…+vnel と表せる。
【文献】
永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11)
定理：基底の存在
【舞台設定】
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
Kn：体K上のn次元数ベクトル空間
【本題】
したがって、体K上のn次元数ベクトル空間Knは、すべて、(少なくとも一セット以上の)基底を有す。
【証明】
少なくとも、体K上のn次元数ベクトル空間Knの単位ベクトルは、Knの基底であるから。
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、15講基底と次元(pp.94-99):有限次元ベクトル空間のみ扱っている。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-b(p.173).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22):数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
